Ces exercices d'entraînement sont à faire à la maison (ou en classe si vous avez terminé). Ils sont en général un peu plus difficiles que ceux vus en classe. Il est très important que vous preniez le temps de les faire.
En logique classique (c'est-à-dire avec le tiers-exclus), pour toute
proposition
A
,
~~A
est
équivalente à
A
. En logique intuitionniste (qui est celle de Coq sans
axiome supplémentaire), ce n'est pas toujours le cas. La proposition
~A
signifie
«
A
est contradictoire », c'est-à-dire
«
A
fait tout exploser »,
~~A
signifie
« il est contradictoire d'affirmer que A est contradictoire »,
autrement dit «
A
est non contradictoire », ou encore
« A ne fait pas tout exploser ».
La différence entre
A
et
~~A
est semblable à la différence entre
« je dis que c'est vrai » et « je ne dit pas que c'est faux ». On
peut décider par convention que les deux phrases veulent dire la
même chose (c'est-à-dire se placer dans une logique classique),
mais ce n'est pas obligatoire.
En fait, dans beaucoup de cas en informatique, on préfère ne pas supposer
le tiers-exclus.
On rappelle que
~~A
est une notation pour
(A -> False) -> False
.
Une proposition prouvée est toujours non contradictoire.
On peut prouver (pour deux propositions données) que le raisonnement par contraposition est non contradictoire.
Dans la même veine, on a le théorème suivant.
Les "lois" de de Morgan sont un résultat très connu (et très utile !) de logique classique. Que se passe-t-il en logique intuitionniste ?
Remarquez qu'on ne vous a demandé qu'une seule implication dans l'exercice précédent... C'est parce que l'autre n'est tout simplement pas prouvable en logique intuitionniste.
En essayant de prouver le théorème suivant, se convaincre que ce n'est pas
possible. Laisser
Abort.
(arrêter, abandonner) à la fin.
Nous verrons plus tard que le tiers-exclus permet de prouver cette dernière loi de de Morgan.