\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}


\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{bbm}
\usepackage{empheq}
\usepackage{lipsum}
\usepackage{tcolorbox}
\usepackage{multicol}

\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed}
\topmargin =-20pt
\textwidth = 460pt
\textheight = 630pt
\oddsidemargin =9pt
\footskip = 30pt
\def\BBone{{\bf 1}}

\def \R{\mathbb{R}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \Z{\mathbb{Z}}
\def \C{\mathbb{C}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}


\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{pro}{Problème}
\newtheorem{que}{Question}
\newtheorem{sol}{Solution de l'exercice}


\newcommand{\blue}[1]{{\color{blue} #1}}
\newcommand{\red}[1]{{\bf\color{red} #1}}


\usepackage[french]{babel}
%\pagestyle{empty}
\newmdenv[innerlinewidth=0.5pt, roundcorner=4pt,innerleftmargin=6pt,
innerrightmargin=6pt,innertopmargin=10pt,innerbottommargin=10pt,backgroundcolor=gray!21]{mybox}

\begin{document}


\noindent Université Sorbonne Paris-Nord\hfill Année 2022--2023  

\noindent L3 - MAP \& AED - Analyse 6 \hfill CC
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
 
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{mybox}
\centerline{\textbf{Contrôle continu, mercredi 22 février 2023}}
\end{mybox}
\bigskip
\vspace{-1cm}
%\theorembodyfont{\upshape}


\textit{\begin{center}
Durée : 1 heure 15 minutes.\\
\end{center}}

\bigskip 

\textbf{Instructions}

\bigskip

\begin{itemize}
\item Le sujet comporte 5 questions à choix multiples et 3 problèmes.\\
\item Les calculatrices, portables et documents sont interdits.\\
\item Dans le cas des questions à choix multiples, il suffit d'indiquer la réponse correcte sans justification.\\
\item Chaque question à choix multiples a une seule réponse correcte.\\
\item Une attention particulière sera portée à la qualité de la rédaction des solutions des problèmes. Les réponses non justifiées ne seront pas prises en compte.\\
\item Vous pouvez utiliser le résultat de chaque sous-problème dans la suite de la solution, même si vous ne l'avez pas résolu.\\
\item Vous n'êtes pas obligé$\cdot$es de suivre les instructions ; toute solution différente de celle proposée sera acceptée, tant qu'elle est bien argumentée.\\
\item Si vous pensez trouver une erreur dans les énoncés, n'hésitez pas à le signaler pendant l'examen. \\
\item Si vous ne comprenez pas un énoncé, n'hésitez pas à demander des clarifications.
\end{itemize}

\bigskip
\clearpage


\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\noindent \textbf{Questions à choix multiples}\\
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}

\bigskip


\begin{que}\textbf{(0.25pt)}
  L'application $f:J\times U\to\R^n$ ne vérifie pas les hypothèses du 
  théorème de Cauchy-Lipschitz si elle est seulement :
  \setlength{\columnseprule}{0pt}
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item[A.] $\mathcal{C}^1$
    \item[B.] $\mathcal{C}^0$ et localement lipschitzienne\\ en la seconde variable
    \item[C.] $\mathcal{C}^0$
    \item[D.] $\mathcal{C}^0$ et lipschitzienne\\ en la seconde variable
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\end{que}

\begin{que}\textbf{(0.25pt)}
Quelle équation différentielle comporte des solutions qui explosent en temps fini?
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
\item[A.] $x'=x$
\item[B.] $x'=x^2$
\item[C.] $x'=\sqrt{x},\quad x>0$
\item[D.] $x'=x-x^2,\quad x>0$ 
      \end{enumerate}
   \end{multicols}
\end{que}

\begin{que}\textbf{(0.25pt)}
Donner un exemple de donnée initiale d'un problème de Cauchy pour l'équation
$$x''+x'+\tan(t)x-\sin(2t)=0,\quad t\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[.$$
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
\item[A.] $x(0)=0$
\item[B.] $x(0)=0$, $x'(\frac{\pi}{4})=0$
\item[C.] $x(0)=x'(0)=0$
\item[D.] $x'(0)=x''(0)=0$ 
      \end{enumerate}
   \end{multicols}
\end{que}

\begin{que}\textbf{(0.25pt)}
Indiquer le type du portrait de phase de l'équation :
$$\begin{cases}
x'=x+3y\\
y'=\quad\quad 5y\\
\end{cases}$$
\vspace{-0.8cm}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
\item[A.] n\oe ud stable
\item[B.] n\oe ud instable
\item[C.] foyer (spirale)
\item[D.] centre (ellipse)
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{que}

\begin{que}\textbf{(0.25pt)}
\og Soit $f:\R\times\R^n\to\R^n$ une fonction $\mathcal{C}^1$. Toute solution maximale qui n'est pas globale explose en temps fini. En plus, toute solution maximale uniformément bornée est aussi globale\fg. Cette assertion est basée sur

    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
\item[A.] la formule de Duhamel
\item[B.] un argument faux
\item[C.] le théorème de Picard
\item[D.] le théorème des bouts
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{que}

\clearpage

\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\noindent \textbf{Problèmes}\\
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}

\bigskip


\begin{pro}\textbf{(0.75pt)} Résoudre l'équation différentielle suivante:
  $$
  x'=\frac{x}{\cos^2(t)}%,\quad t\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[.
  $$
\end{pro}

\medskip

\begin{pro}\textbf{(4pt)}
  Soit l'équation différentielle d'ordre $3$:  
  $$x^{(3)}-2x''+x'=e^t\quad (E)$$
  \begin{enumerate}
  \item Quelle est la régularité d'une solution maximale $x:I\to\R$ de cette équation?
  \item Soit $y:I\to\R$ telle que pour tout $t\in I$, $y(t)=x'(t)$. Réécrire l'équation précedente en $y$ et noter-la $(E_y)$. \\
    Est-elle linéaire? Homogène ou inhomogène? Quel est son ordre?
  \item \'Ecrire l'équation charactéristique associée à l'équation $(E_y)$. A-t-elle des racines simples réelles, complexes, ou a-t-elle une racine double réelle ? 
  \item Trouver les solutions $y$ de $(E_y)$.
  \item Résoudre l'équation $(E).$ 
  \end{enumerate}
\end{pro}

\medskip


\begin{pro}\textbf{(4pt)}
  Soit $f:\R\times\R\to\R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que pour tout $t\in\R$, on ait $f(t,1)= 0$ et $f(t,-1)=0$. 
  \begin{enumerate}
  \item Est-ce que $f$ vérifie les hypothèses de Cauchy-Lipschitz? Qu'est-ce qu'on peut dire sur les solutions maximales de l'équation $x'=f(t,x)$?
  \item Quelle est la solution maximale avec condition initiale $x(0)=1$ ? Et celle avec $x(0)=-1$? Sont-elles globales ?
  \item Montrer que, pour tout $a\in ]-1,1[$, la solution maximale de l'équation
    $$
    x'=f(t,x)\quad (E) 
    $$
    de condition initiale $x(0)=a$ est globale.
  \item On suppose que $f$ est $T$-périodique par rapport à la première variable. Soit \(x\) une solution de \((E)\), et soit $x_T:\R\to\R$, $x_T(t)=x(t+T)$.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $x_T$ est aussi une solution de \((E)\).
    \item Montrer que $(x(kT))_{k\in\N}$ est une suite monotone.
    \item En déduire que, si $x(0)=x_T(0)$, alors $x$ est $T$-périodique.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{pro}



\end{document}
