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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{pro}{Solution de l'exercice}


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\begin{document}

\noindent Université Sorbonne Paris-Nord\hfill Année 2022--2023  

\noindent L3 - MAP \& AED - Analyse 6 \hfill Fiche de TD n$^{\mathrm o}1$
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
 
\bigskip


\begin{mybox}
\centerline{\textbf{Introduction aux équations différentielles. \'Equations linéaires.}}
\end{mybox}


\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\noindent \textbf{Équations différentielles du premier ordre}\\
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Résoudre les équations différentielles homogènes suivantes.
    \setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item \( 2x' - 3x = 0\) sur $\R$
      \item \( x' - tx = 0 \) sur $\R$
      \item \( (1+t^2)x' + 2tx = 0\) sur $\R$
      \item \(\ds x' - \frac{\sin(t)}{2+\cos(t)}x = 0\) sur $\R$
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Résoudre les équations différentielles suivantes sur l'intervalle spécifié.
    \begin{enumerate}
    %%%%%%%%%%%
\item \( x' - 3x = 2\quad\) sur \(\R\)
\item $x'+x=\sin(t)$ sur $\R$
%%%%%%%%%%%
    \item \( x' + x = 1 + t + te^{-t} + \sin(t)\quad\) sur \(\R\)
    \item \( x' - 2t x = \sinh(t) - 2t\cosh(t)\quad\) sur \(\R\)
    \item $(1+t^2)x'-tx=(1+t^2)$ sur $\R$
 %   \item \( t^3x' + 4(1-t^2)x = t^4 \quad\) sur \(\R_+^*\)
    \item \( x' + \tan(t) x - \sin(2t)= 0\quad\) sur \(\osbra{-\frac\pi2,\frac\pi2}\)
    \end{enumerate}
  \end{exo}
 
\begin{exo}  
  Déterminer les solutions complexes, puis réelles du système différentiel : 
$$\begin{cases}x'=&x+z\\
y'=&-y-z\\
z'=&2y+z
 \end{cases}$$
\end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Résoudre les problèmes de Cauchy suivants
    \begin{enumerate}
    \item \(x' + 2tx = te^{-t^2}\) sur \(\R\), avec \(x(0)=1\).
    \item \((1-t)x' - (1+2t)x = 1 + 2t\) sur \(\osbra{-1,1}\), et avec \(x(0) = 0\).
    \item \(\cos(t)x' + \sin(t)x = 1\) sur \(\osbra{-\pi/2, \pi/2}\), avec \(x(0)=2\).
    \end{enumerate}
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Équation fonctionnelle 1]
    Déterminer l'ensemble des fonctions \(f:\R\to\R\) dérivables qui vérifient, pour tout \((s,t)\in\R^2\), \(f(s+t)=f(s)f(t)\).
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Équation fonctionnelle 2]
    Décrire toutes les fonctions \(f:\R_+\to\R\) continues vérifiant
    \[
    \forall x\in\osbrar{0,+\infty},\ 2xf(x) = 3\int_0^x f(t)dt.
    \]
  \end{exo}
  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    On considère une fonction \(a:\R\to\R\) continue et \(T\)-périodique, pour un certain \(T>0\). On pose \(\bar a = \frac1T \int_0^T a(t)dt\) la valeur moyenne de \(a\). Montrer que si \(f\) est une solution de l'équation différentielle
    \[
    x' = a(t) x
    \]
    sur \(\R\), alors \(t\mapsto e^{-\bar at} f(t)\) est \(T\)-périodique.
  \end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\noindent \textbf{Équations différentielles du deuxième ordre}\\
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


  \begin{exo}
    Résoudre les équations différentielles homogènes suivantes d'inconnue \(x\)  à valeurs dans \(\C\), puis dans \(\R\).
    \begin{enumerate}
    \item \(x'' - 3x' + 2x = 0\) sur $\R$
    \item \(x'' - 4x' + 4x = 0\) sur $\R$
    \item \(x'' + 2x' + 2x = 0\) sur $\R$
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Résoudre les équations différentielles suivantes d'inconnue \(x\) à valeurs dans \(\R\).
    \begin{enumerate}
    %%%%%%%%%%%%%
    \item $x''+2x'+x=te^t$ sur $\R$
\item $x''+x=\tan^2t$ sur  \(\osbra{-\frac\pi2,\frac\pi2}\)

%%%%%%%%%%%%%%%
%    \item \(y'' - 2y' + y = te^t \)
    \item \(x'' - 4x' + 5x = \cos(2t) - 2\sin(2t)\) sur $\R$
    \item \(x'' + 9x = \cos(2t)e^t\) sur $\R$
%    \item \(y'' + 4y' - 5y = 2e^t\)
%    \item \(y'' + y' + y = e^t\cos(t)\)
    \item \(x'' - 3x' + 2x = (t^2+1)e^t\) sur $\R$
    \item $t^2x''-2x=3t^2$ sur $\R^+$
    \end{enumerate}
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  Déterminer les solutions $(x,y)$ définies sur $\R$ et à valeurs dans $\R^2$ du système différentiel suivant : 
$$\begin{cases}x''+x'+4y'-x-3y&=0\\
y''-3y'+x+3y &=0
 \end{cases}$$
\end{exo}

  \begin{exo}
    Commenter la résolution suivante :
    \par\og On considère l'équation différentielle d'inconnue \(x\), \(t^2x(t)'' + tx(t)' = 0\) sur l'intervalle \(\osbra{0,+\infty}\). L'équation caractéristique est \(t^2r^2 + tr = 0\), dont les racines sont \(r=0\) et \(r= -1/t\). On en déduit que l'ensemble des solutions est
    \[
    \mc S = \{ t\mapsto \alpha + \beta\exp(-1/t), \ (\alpha,\beta)\in\R^2 \}. \text{\fg}
    \]
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
  \begin{exo}
    Soit \(m\in\R\). En fonction de la valeur de \(m\), trouver les solutions réelles de l'équation différentielle
    \[
    x'' - 2x' + mx = \cos(t) \tag{\(E_m\)}
    \]
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Équation fonctionnelle 1]
    Déterminer les fonctions \(f:\R\to\R\) dérivables telles que pour tout \(x\in\R\),
    \[
    f'(x) + f(-x) = e^x.
    \]
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Équation fonctionnelle 2]
    Soit \(\lambda \in\R\). Trouver toutes les fonctions \(f\) définies et dérivables sur \(\R\), et telles que, pour tout \(x\in\R\),
    \[
    f'(x) = f(\lambda -x).
    \]
  \end{exo}
  

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}
    Résoudre sur \(\R\) l'équation différentielle
    \[
    (t^2+1)x'' + (t^2-2t+1)x' - 2tx = 0
    \]
    en introduisant la fonction \(y=x'+x\).
  \end{exo}

  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[Un changement de variable pour l'équation d'Euler.]
    On cherche à résoudre l'équation différentielle
    \[
    x'' + \frac{1}{2t^2}x = 0 \tag{\(E\)}
    \]
    sur \(\osbra{0,+\infty}\). Pour ce faire, on définit, pour \(t\in\R\), \(y(t)=x(e^t)e^{-t/2}\).
    \begin{enumerate}
    \item Soit \(t>0\). Exprimer  \(x(t)\) en fonction de \(y(\ln(t))\).
    \item En déduire que la fonction \(y\) vérifie une équation différentielle \((E')\) d'ordre 2 à coefficients constants.
    \item Résoudre \((E')\), puis résoudre \((E)\).
    \end{enumerate}
    \medskip
    \par \textit{Une équation du type Euler d'ordre $n$ est définie par}
    $$t^nx^{(n)}+a_{n-1}t^{n-1}x^{(n-1)}+\dots+a_0x=0$$
    \textit{où $a_i\in\C$ et $i\in[[0,n-1]]$. Pensez à comment réduire cette équation à une équation linéaire.}
  \end{exo}
  
    \begin{exo}[\'Equation fonctionelle 3]
Déterminer les fonctions $f:]0,+\infty[\to\R$ dérivables qui vérifient $f'(x)=f(1/x)$ pour tout $x>0$.
\end{exo}

  
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \begin{exo}[e3a PSI 2019]
    On considère l'équation différentielle d'ordre 3
    \[
    x^{(3)} - x = 0. \tag{\(E_1\)}
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Soit \(f\) une solution de \((E_1)\). On pose \(g = f'' + f' + f\). Déterminer une équation différentielle du premier ordre \((E_2)\) vérifiée par \(g\).
    \item Résoudre \((E_2)\).
    \item En déduire les solutions de \((E_1)\).
    \end{enumerate}
  \end{exo}
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
\medskip
\medskip
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\noindent \textbf{Dessins}\\
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}

\begin{exo}
Soit l'équation différentielle définie sur $\R\times\R$
\[x'=f(t,x),\tag{\(*_f\)}\]
où $f(t,x)=x(x-t)$.
\begin{enumerate}
\item Dessinez l'isocline nulle $I_0=\{(t,x), f(t,x)=0\}$.
\item \`A l'aide des éléments de contact, esquisser quelques trajectoires de solutions de l'équation $(*_f)$ dans les régions de $\R\times\R$ détérminées par $I_0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Esquisser le portrait de phase des équations linéaires autonomes associées aux matrices 
$$A_1=\begin{pmatrix}
0 & 3 \\
1 & -2 
\end{pmatrix},\quad 
A_2=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1 
\end{pmatrix},\quad 
A_3=\begin{pmatrix}
-3 & -10 \\
2 & 6 
\end{pmatrix},\quad 
A_4=\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
3 & -4 
\end{pmatrix}. 
 $$
 On commence par indiquer les orbites remarquables.
\end{exo}

\medskip
\medskip
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\noindent \textbf{Problèmes}\\
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}

%\begin{exo}[Existence de solutions maximales]
%\par Soit $f:J\times U\subset \R\times\R^n\to\R^n$ une fonction continue, où $J$ est un intervalle et $U$ un ouvert. On étudie l'équation différentielle 
%\[x'=f(t,x).\tag{\(*_f\)}\]
%\par On admet que l'équation $(*_f)$ admet toujours des solutions (théorème de Cauchy-Peano-Arzéla). On s'intéressera en un premier temps aux solutions $(*_f)$ que dans le futur. On se permet donc exceptionnellement de considérer des ``solutions'' $x:[a,b[\to U$ de l'équation différentielle qui ne sont pas définies sur un intervalle ouvert ($x$ est seulmenet dérivable à droite en $a$). 
%\begin{enumerate}
%\item On se donne $x_0:[a,b_0[\subset J\to U$ une ``solution'' de $(*_f)$.
%\begin{enumerate}
%\item Construire récursivement une suite de ``solutions'' $x_k:[a,b_k[\to U$ de sorte que $x_{k+1}$ prolonge $x_k$, et avec $b_{k+1}\geq \sup(b_k, B_k-1/k)$ si $B_k<\infty$, et $b_{k+1}\geq \sup(b_k,k)$ si $B_k=\infty$, où
%$$B_k=\sup\{\beta : x_k\text{ se prolonge en une ``solution'' définie sur }[a,\beta[\}.$$
%\item En déduire que $x_0$ se prolonge en une ``solution'' $x_+:[a,b_{+}[\to U$ qui est maximale à droite (c'est à dire qui ne se prolonge pas en une ``solution'' définie sur un intervalle $[a,b_+ +\varepsilon[$ avec $\varepsilon>0$).
%\end{enumerate}
%\item En déduire que toute solution de $(*_f)$ se prolonge en une solution maximale.
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}[Solutions d'une équations différentielle d'ordre $n$ à coefficients constants]
 Pour tout polynôme complexe $P=\sum_{i=0}^n a_iX^i$, $a_n\not=0$, et pour toute fonction $f:\R\to\C$ de classe $\mathcal{C}^n$, on note 
$$P(D)(f)=\sum_{i=0}^na_if^{(i)},$$
où $D$ est l'opérateur de dérivation.
\par Pour tout polynôme $P\in\C[X]$, on note $\mathcal{S}_P$ l'espace des solutions de l'équation différentielle $P(D)(x)=0$. 
\begin{enumerate}
\item Si $P_1,\dots,P_k\in\C[X]$ sont des polynômes premiers entre eux deux à deux, montrer que $\mathcal{S}_{\P_1\dots P_k}=\mathcal{S}_{P_1}\oplus\dots \oplus \mathcal{S}_{P_k}$.
\item Si $P_n(X)=(X-\alpha)^n,$ déterminer la forme des solutions de l'équation différentielle $P_n(D)(x)=0$.
\item En déduire, pour tout $P\in\C[X]$ ($deg(P)\geq 1$), la forme des solutions de l'équation différentielle $P(D)(x)=0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème de Floquet] 
On considère un système différentiel sur $\C^n$ 
\[ X'=A(t)X, \tag{\(S\)}\] 
où $A:\R\to\mathcal{M}_n(\C)$ est une fonction continue $T$-périodique.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(S)$ admet une solution $V$ non nulle telle que 
$$\exists \lambda\in\C,\forall t\in\R,\quad V(t+T)=\lambda V(t).$$
\item On considère $n$ solutions $V_1,\dots V_n$ de $(S)$ linéairement indépendantes. En notant $M(t)$ la matrice carrée dont les vecteurs colonnes sont $V_1(t),\dots V_n(t)$, montrer que
$$\exists C\in GL_n(\C),\forall t\in\R,\quad M(t+T)=M(t)C.$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}