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\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{pro}{Solution de l'exercice}


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\begin{document}

\noindent Université Sorbonne Paris-Nord\hfill Année 2022--2023  

\noindent L3 - MAP \& AED - Analyse 6 \hfill Fiche de TD n$^{\mathrm o}2$
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
 
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{mybox}
\centerline{\textbf{Théorème de Cauchy-Lipschitz}}
\end{mybox}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\noindent \textbf{\'Equations remarquables}\\
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo} Soit $f:\R\times U\to \R$ l'application $f(t,x)=x^\alpha$,
pour $\alpha\in \R$. On considère le problème de Cauchy
$$\begin{cases}
x'(t)=f(t,x)\\
x(0)=x_{0}.
\end{cases}$$
On cherche des solutions $x:I\to U$ pour des différentes valeurs de $\alpha$ et de $U$. On essaie chaque fois de donner des solutions maximales.
\begin{enumerate}
\item Faire un tableau des domaines de définition de $f$ et des sous-ensembles où les hypothèses de Cauchy-Lipschitz sont vérifiées pour $\alpha>1$, $\alpha=1$, $\alpha\in ]0,1[$, $\alpha=0$ et $\alpha<0$.
\item Soit $\alpha=0$. Montrer que pour tout $x_0\in\R$, le problème de Cauchy admet une unique solution $x\in \mathcal{C}^{1}(\R; \R)$.
\item Soit $\alpha=1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x_{0}>0$ et $U=\R^*_+$, le problème de Cauchy admet une unique solution strictement positive et chercher sa forme explicite.
\item Montrer que pour $x_{0}\in \R$, le problème de Cauchy admet une unique solution $x\in\mathcal{C}^{1}(\R;\R)$.
\end{enumerate}
\item Soit $\alpha \in \R\setminus \left\{1\right\}$. Pour
  $x_{0}>0$, 
chercher une solution locale explicite dans un voisinage de $t=0$\,.
\item Soit $\alpha< 0$. 
\begin{enumerate}
  \item Pour $x_0>0$, chercher une
  solution qui prend aussi des valeurs négatives aurait-il un sens? Répondre sans chercher des solutions explicites. 
\item Pour $x_{0}>0$ et $U=\R^*_+$, chercher une solution explicite du problème de Cauchy. Dessiner ces solutions pour $\alpha=-1$.

\end{enumerate}
\item Soit $\alpha>1$. Pour $x_0>0$, montrer que les solutions maximales du problème de Cauchy explosent en temps fini. Preciser le temps $t^+>0$ maximal dans le futur. Dessiner ces solutions pour $\alpha=2$.

\item Soit $\alpha\in ]0,1[$. Cette fois, soit $f(t,x)=|x|^\alpha$. On étudie le problème de Cauchy de données initiales $(t_0,x_0)$
\begin{enumerate}
\item Trouver le domaine de $f$ et l'ensemble où les hypothèses de Cauchy-Lipschitz sont vérifiées. 
\item Pour $x_{0}>0$ et $t_0=0$, montrer que le problème de Cauchy admet une unique solution. 
%\item   $y(t)=1_{]t_{0},+\infty[}(t)((1-\alpha)(t-t_{0}))^{\frac{1}{1-\alpha}}$
  est une solution.
\item Pour tout $t_0\in\R$ et $x_0=0$, montrer que le problème de Cauchy admet une infinité des solutions. Dessiner plusieurs solutions pour $\alpha=1/2$.
\end{enumerate}
\item Comparer la croissance dans le futur des solutions de $\alpha=2$, $\alpha=1$ et $\alpha=-1$. Généraliser ce résultat pour $\alpha>1$, $\alpha=1$, $\alpha<1$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Dynamique d'une population] 
On s'intèresse à
l'évolution d'une population. On désigne par  $x(t)$ le ``nombre''
d'individus et $k(t,x)=\frac{x'(t)}{x(t)}$ le taux de croissance au temps
$t$. On pose la donnée initiale $(0,x_0)$, avec $x_0>0$. \'Etudier le comportement dans $t \geq 0$ des solutions  $x:I\to\R$ de classe $\mathcal{C}^1$ dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
\item $k$ est constant,
\item $k=x$,
\item $k=a-bx$ avec $a,b>0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Bernoulli, Riccati] Résoudre les équations différentielles suivantes. On
précisera chaque fois les intervalles maximaux et le raccords de solutions.
\begin{enumerate}
\item Les équations du type Bernoulli prennent la forme $x'=a(t)x+b(t)x^{\alpha}$, où $a,b\in\mathcal{C}^1(\R,\R)$ et $\alpha\in\R$. \par Les cas $\alpha=0$ ou $1$ correspondent aux équations linéaires, qu'on résoud en utilisant les méthodes qu'on connait déjà.
      \setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $\displaystyle x'=x-\sqrt{x},$
      \item $\displaystyle x'=\frac{x}{2t}+\frac{1}{2tx}.$
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \textit{Indication :} Poser $\displaystyle y=x^{1-\alpha}$.
\item Les équations du type Riccati prennent la forme $x'=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t)$, où $a,b,c\in\mathcal{C}^1(\R,\R)$.
        \setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $\displaystyle x'=x^{2}-tx+1\quad x_p(t)=t,$
      \item $\displaystyle (1+t^{3})x'=x^{2}+t^{2}x+2t \quad x_p(t)=t^{2}.$
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
    \par \textit{Indication} : On
  transforme en équation de Bernoulli en posant $x=x_p(t)+y$,
  où $x_p$ est une solution particulière.
%\item Les équations du type Lagrange prennent la forme $x=a(x')t+b(x')$ où $a,b\in\mathcal{C}^\infty(J,\R)$ définies sur un certain intervalle $J$.
%      \begin{multicols}{2}
%      \begin{enumerate}
%      \item $\displaystyle x=tx'-(x')^{3},$
%      \item $\displaystyle (x-tx')^{2}=(1+(x')^{2}).$
%      \end{enumerate}
%    \end{multicols}
%\par \textit{Indication} : On
%  cherche les solutions affines $x(t)=\alpha t+\beta$, $\alpha,\beta\in\R$. Puis on cherche les
%  solutions $x$ telles que $x''$ ne s'annule pas (donc $x\not = \alpha t+\beta$) en posant $y(t)=x'(t)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\noindent \textbf{Temps de vie, solutions maximales, estimations et comparaisons}\\
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Hypothèses de Cauchy-Lipschitz] Soit $f:J\times U\to\R^n$.
Montrer que si l'application $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ dans un ouvert $\Omega\subset J\times U$, alors elle vérifie les hypothèses de Cauchy-Lipschitz dans $\Omega$.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[\'Equations à variables séparées]
Soitent $a:J\to \R^n$ et $b:U\to\R^n\setminus\{0\}$ deux fonctions continues. On s'intéresse à l'équation différentielle $x'=f(t,x)$, où $f(t,x)=\frac{a(t)}{b(x)}$.
\begin{enumerate}
\item Soit $t_0\in J$. Soient $A$ et $B$ deux primitives de $a$, respectivement $b$. Montrer que pour tout solution $x:I\to U$, $B(x(t))=A(t)+C$, où $C\in\R$ une constante.
\item Trouver les solutions maximales des équations suivantes : 
\setlength{\columnseprule}{0pt}
    \begin{multicols}{3}
      \begin{enumerate}
      \item $x'=\tan(t)x$
      \item $x'=t\sqrt{1-x^{2}}$
      \item $x'=2t^{2}x^{1/2}.$
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Zéros isolés]
Soit $f:\R^3\to\R$ une application de classe $\mathcal{C}^1$. On s'intéresse à l'équation 
$$x''=f(t,x,x').$$
On suppose que la solution indentiquement nulle sur $\R$ est une solution. Montrer que toute solution non-identiquement nulle a ses zéros isolés. 
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Comparaison des solutions]
Soit $f:\R^2\to\R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ et $y,z:\R\to\R$ deux solutions de l'équation différentielle $x'=f(t,x)$. On suppose qu'il existe $t_0\in\R$ tel que $y(t_0)<z(t_0)$. Montrer que pour tout $t\in\R$, $y(t)<z(t)$. 
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
On considère la solution maximale $x:]t^-,t^+[\to\R$ du problème de Cauchy 
$$
\begin{cases}
x'(t)=x^{2}-t\\
x(0)=0.
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $x\in {\cal C}^{\infty}(]t^-,t^+[;\R)$.
\item Donner un développement limité à l'ordre $2$
 de $x(t)$ en $t=0$ et
  en déduire qu'il existe $\delta\in ]0,t^+[$ tel que $x^{2}(t)<t$ pour
  $t\in [0,\delta]$\,.
\item Montrer $x^{2}(t)<t$ pour tout $t\in ]0,t^+[$. 
\item Montrer que $t^+=+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Solutions périodiques]
Soit $f:\R\times \R\to\R$ une appliction de classe $\mathcal{C}^1$ et soit $T>0$ tels que pour tout $t\in\R$,
$$f(t+T,\cdot)=f(t,\cdot).$$
Soit $x:\R\to\R$ une solution. On note $x_T:\R\to\R$ la fonction telle que $x_T(t)=x(t+T)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $x_T$ est aussi une solution.
\item Montrer que la suite $\left(x(kT)\right)_{k\in\N}$ est strictement monotone ou constante. 
\item Si la suite est constante, montrer que la solution est $T$-périodique.
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Point limite pour une équation autonome] Soit $x'=f(x)$ une équation différentielle autonome, avec $f:U\subset \R^n\to\R^n$ qui vérifie les hypothèses de Cauchy-Lipschitz. Soit $x:]t^-,t^+[\to U$ une solution maximale. On suppose que lorsque $t\to t^+$, $x(t)\to z^+\in U$. 
\par Montrer que $t^+=+\infty$ et $f(z^{+})=0$. Autrement dit, la solution est globale dans le futur et $z_+$ est un point singulier ($f$ s'annule en $z_+$). 
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Lemme de Gronwall, forme intégrale]
Soient $x:[a,b]\to\R$, $\varphi:[a,b]\to R_+$ des fonctions continues et $c\geq 0$ une constante positive. On suppose que, pour tout $t\in[a,b]$, on a la majoration 
$$x(t)\leq c°\int_a^t \varphi(s)x(s)\,\dd s.$$
\par Montrer que pour tout $t\in[a,b]$, on peut majorer $x(t)$ par
$$x(t)\leq c\,\exp\left( \int_a^t\varphi(s)\,\dd s \right).$$
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[Existence et unicité pour équations linéaires]
Soient $J \ni t\to A(t)\in M_n\R$ et $J \ni t \to B(t)\in\R^n$ continues. Montrer que le problème de Cauchy
$$\begin{cases}
X'(t)=A(t)X(t)+B(t)\\
X(t_0)=X_0
\end{cases}$$
où $(t_0,X_0)\in J\times \R^n$ adment une unique solution maximale, et en plus, qu'elle est globale.
\end{exo}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}(Coordonnées polaires)
On considère le système différentiel : 
$$
\begin{cases}
x'=x-y(x^2+y^2)\\
y'=y+x(x^2+y^2)
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le système possédent une symmétrique par rotation.
\item Résoudre le système différentiel en passant en coordonnées polaires.
\item Tracer son portrait de phase.
\end{enumerate}

\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}[\'Equations perturbées]
Soit $f:J\times U\subset \R\times\R^n\to\R^n$ une application qui vérifie les hypotèses de Cauchy-Lipschitz. Soit $x_0:[a,b]\to U\subset \R^n$ la restriction à un sous-intervalle compact de son intervalle de définition d'une solution du problème de Cauchy 
$$
\begin{cases}
x'_0=f(t,x_0)\\
x_0(s)=y,
\end{cases}
$$
où $(s,y)\in J\times\R^n$. Pour tout $\lambda\in\R^n$, on considère $x_\lambda:I_\lambda\to\R^n$ la solution du problème de Cauchy 
$$
\begin{cases}
x'_\lambda=f(t,x_\lambda)+\lambda\\
x_\lambda(s)=y,
\end{cases}
$$
de même conditions initiales. Il s'agit d'une équation perturbée. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $\lambda\in\R^n$ suffissament petit, on a $[a,b]\subset I_\lambda$. 
\item Montrer que $x_\lambda\to x_0$ uniformément sur $[a,b]$ lorsque $\lambda\to 0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Hamiltonien]
On considère une particule dans $\R^{n}$ de masse $m>0$
 soumise à un champ de force dérivant d'un
potentiel $V\in {\cal C}^{2}(\R^{n};\R)$. Cela veut dire que la
force appliquée à la particule au point $x$ est donnée par
$$
\vec{F}(x)=-\nabla_{x} V(x)=
-\begin{pmatrix}
 \frac{\partial V}{\partial x_{1}}(x)\\
\vdots\\
\frac{\partial V}{\partial x_{n}}(x) 
\end{pmatrix}\,.
$$
L'équation fondamentale de la mécanique est donc
$$
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\nabla_{x} V(x)\,.
$$
On note $p=m v=m\frac{dx}{dt}$ la quantité de mouvement de la
particule et ${\cal E}(x,p)=\frac{||p||^{2}}{2m}+V(x)=\frac{m||v||^{2}}{2}+V(x)$
l'énergie mécanique de la particule.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation fondamentale de la mécanique est
  équivalent au système
$$
\left\{
  \begin{array}[c]{l}
    \frac{d x}{dt}=\frac{1}{m}p=\nabla_{p}{\cal E}(x,p)\\
\frac{dp}{dt}=-\nabla V(x)=-\nabla_{x}{\cal E}(x,p).
  \end{array}
\right.
$$
\item On note $H(x,p)=
  \begin{pmatrix}
    \nabla_{p}{\cal E}\\
-\nabla_{x}{\cal E}
  \end{pmatrix}
$, montrer que sous l'hypothèse $V\in {\cal C}^{2}(\R^n;\R)$,
le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique avec $U=\R^n_{x}\times
\R^{n}_{p}$.
\item Vérifier que si $I\ni t\mapsto(x(t),p(t))$ est une solution du problème
  de Cauchy avec donnée initiale $(x(0),p(0))=(x_{0},p_{0})$\,, on a 
conservation de l'énergie le long de la trajectoire
$$
\forall t\in I\,,\quad {\cal E}(x(t),p(t))={\cal E}(x_{0},p_{0})\,.
$$
\item On suppose $\lim_{x\to \infty}V(x)=+\infty$\,, montrer que
  pour toute donnée initiale $(x_{0},p_{0})$ l'intervalle maximal est
  $\R$.
\item En dimension $1$ et dans le cas $V(x)=kx^{2}$ avec $k>0$ (on se
  placera pour commencer dans le cas $k=m$) donner la
  trajectoire partant de $(x_{0},p_{0})$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\noindent \textbf{\'Etude qualitative en dimension 1}\\
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}
On étudie l'équation différentielle $x'(t)=f(t,x(t))$, où $f(t,x)=x^3-\sin(2\pi t)$ $(E)$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Dessiner une isocline $I_0$ et indiquer le signe de $f$ dans les régions qu'elle délimite.
\item Pour quelles valeurs $c\in\R$ la fonction constante $h_c(t)=c$ est-elle une sur-solution, respectivement une sous-solution.
\end{enumerate}
\item Soit $x:I\to\R$ une solution maximale. On note $t^-=\inf I\in [-\infty,\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Montrer (par l'absurde) qu'il existe $t\in I$ avec $x(t)\leq 1$.
\item Montrer qu'il existe $t\in I$ pour lequel $x(t)\geq -1$.
\item En déduire que toutes les solutions maximales sont globales dans le passé.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Esquisser le portrait de phase de l'équation différentielle $x'(t)=\frac{1}{4}x(t)$ $(H)$.
\item Soient $y$ et $z$ deux solutions maximales de $(E)$. Montrer que $\lim_{t\to\infty} y(t)-z(t)=0$. (\textit{Indication:} Utiliser le fait que pour $a<b$, $\frac{1}{4}(b-a)^3\leq b^3-a^3$).
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soient $x_n$ et $z_n$ les solutions maximales de $(E)$ de conditions initiales $y_n(n)=1$ et $z_n(n)=-1$. Montrer que, pour tout $t\leq n$, on a $y_n(t)=y_0(t-n)$ et $z_n(t)=z_0(t-n)$.
\item Montrer que $(E)$ admet une unique solution maximale $w:\R\to R$ à valeurs dans $[-1,1]$.
\item Montrer que $w$ est périodique de période $1$.
\end{enumerate}
\item  Soit $x:I\to\R$ une solution maximale de $(E)$ distincte de $w$. Est-elle globale dans le futur ? 
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}