% LaTeX : S�minaire sur les Cat�gories (DL3 2023)
% Auteur-trices : Hugo Paquet, Bruno Vallette
% Encodage : Mac OS Roman

\documentclass[twoside, 11pt]{amsart}

\include{package}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Titre et auteur %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{Les cat\'egories}

\dedicatory{``Mal nomm� les choses contribue au malheur du monde''' \\  \hfill \textit{Albert Camus}}

\author{Bruno Vallette}
\address{Laboratoire Analyse, G\'eom\'etrie et Applications, Universit\'e Paris 13, Sorbonne Paris Cit\'e, CNRS, UMR 7539, 93430 Villetaneuse, France.}
\email{vallette@math.univ-paris13.fr}

\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract} Notes du s�minaire sur les cat�gories de la classe de Double Licence 3 Math�matiques-Informatique de l'Universit� Sorbonne Paris Nord 2023-2024.
 \end{abstract}

\setcounter{tocdepth}{2}

\tableofcontents

\section{Introduction : l'alg�bre moderne}

\subsection{L'Alg�bre ou l'analyse des �quations}
Le mot fran�ais  <<alg�bre>> provient du mot arabe <<al-jabr>> qui apparait dans le titre du livre  <<Abr�g� du calcul par la restauration et la comparaison>> publi� par en 825 par Al-Khwarizmi, math�maticien perse. 
Cet ouvrage est le premier � �tudier syst�matiquement la r�solution des �quations du premier et du second degr�. Il est int�ressant de  noter qu'il se compose de deux parties : la premi�re contient la th�orie abstraite des �quations alg�briques o� l'accent est mis sur le type d'op�rations utilis�e, la seconde contient les diverses applications en vue � l'�poque comme les calculs d'h�ritage, d'arpentage ou de commerce. Le mot arabe <<al-jabr>>, qui signifie <<la r�duction>> au sens de <<la r�duction d'une fracture>>, est la terminologie choisie par Al-Khwarizmi pour une des op�rations sur les �quations, celle  qui consiste � r�duire une �quation en ajoutant des termes, soit deux termes de m�me nature d'une m�me c�t� d'une �quation comme 
$$x^2+3x^2= 5x+3 \ \Longleftrightarrow \ 4x^2= 5x+3 \ ,$$
soit deux termes identiques de part et d'autres de l'�quation comme 
$$3x^2+3=-5x \ \Longleftrightarrow \ 3x^2+5x+3=0 \ .$$
(Il est amusant de noter qu'en espagnol le terme d�riv� <<algebrista>> signifie � la fois un alg�briste ou rebouteux, celui qui r�duit les fractures.)\\

Disons rapidement que jusqu'au XIX\ieme, les math�maticiens font des calculs, parfois du m�me type sur des objets diff�rents. M�me s'ils savent utiliser des variables � la place de nombres, s'ils se servent d'une notation pour le $0$ ou qu'ils peuvent consid�rer des nombres imaginaires, peu de place est alors accord�e �  la th�orie de ses calculs. 
La premi�re moiti� du XIX\ieme \ si�cle voit une renaissance de l'Alg�bre par l'introduction de nouveaux concepts, m�thodes et objets pour la r�solution des �quations alg�briques. D'ailleurs, Serret en 1866 �crit en introduction de son \emph{Cours d'alg�bre sup�rieure} (sic) que <<L'Alg�bre [est], � proprement parl�, l'Analyse des �quations>>. \\


\subsection{L'alg�bre ou l'axiomatisation des structures alg�briques}
C'est donc � partir de la seconde moiti� du XIX\ieme \ si�cle que na�t la forme actuelle de l'Alg�bre qui consiste � axiomatiser les propri�t�s des op�rations apparaissant dans le traitement des �quations et � �tudier les structures alg�briques qui en r�sultent plus qu'� �tudier les mani�res de r�soudre les dites �quations.  
Voici ce qu'�crit Bourbaki dans son <<\'Elements d'histoire des math�matiques>> : <<Nous arrivons ainsi � lՎpoque moderne, o� la m�thode axiomatique et la notion de structure (sentie d�abord, d�finie � date r�cente seulement), permettent de s�parer des concepts qui jusque-l� avaient �t� inextricablement m�l�s, de formuler ce qui �tait vague ou inconscient, de d�montrer avec la g�n�ralit� qui leur est propre les th�or�mes qui nՎtaient connus que dans des cas particuliers.>>
Trois grandes familles d'�quations y ont  alors jou� un r�le crucial. 

\begin{description}
\item[\sc Les �quations lin�aires] Elles sont du type 
$$\left\{\begin{array}{lll}
2x+y-z&=& 1\\
3x+2y+z&=& 4 \\
x+3y+z&=& 2\ .
\end{array}\right. $$
La th�orie des espaces dans lesquels en elles s'expriment � donn� 
naissance � la notion d'{\it espaces vectoriels}, dont l'axiomatisation a �t� donn�e principalement par Peano en 1888. 

\item[\sc Les �quations diophantiennes] Elles sont type 
$$2^{x}-1=y \quad \text{ou}\quad  x^{5}+y^{5}=z^5 \ ,$$ 
avec pour solutions des nombres entiers. Leur �tude abstraite a donn� naissance aux notions alg�briques d'{\it anneaux}, d'{\it id�aux} et de {\it corps}, via celle de nombre alg�brique gr�ce principalement � l'�cole allemande des Dirichlet, Kummer, Kronecker, Dedekind, Hilbert, apr�s bien sur les travaux de Gauss. 

\item[\sc Les �quations polynomiales] Elles sont du type 
$$8x^3-3x^2+x+7=0 \ .$$
L'�tude de leurs solutions a donn� naissance � la notion de {\it groupe}. Galois est en assur�ment le principal instigateur mais ses travaux fulgurants mais succincts ne  sont  publi�s et  diffus�s par Liouville et Serret que bien des ann�es apr�s sa mort en 1832. L'�mergence conceptuelle de cette notion doit beaucoup au <<Trait� des substitutions et des �quations alg�briques>> de Camille Jordan (1870). 
\end{description}

Que se passe-t-il � chaque fois ? On reconnait dans diff�rents exemples des op�rations, m�thodes et r�sultats similaires. Il s'agit alors d'en extraire une substantifique moelle : on fait ressortir les  propri�t�s communes essentielles que l'on �rige  en axiomes pour d�finir une nouvelle notion conceptuelle. Prenons l'exemple de l'alg�bre lin�aire, c'est-�-dire des espaces vectoriels. Comment travaille-t-on avec des objets apparemment si diff�rents que sont 
\begin{itemize}
\item[$\diamond$] la droite, le plan, l'espace ambiant,
\item[$\diamond$] les matrices (tableaux de nombres), 
\item[$\diamond$] $\mathbb{R}^n$,
\item[$\diamond$] les polyn�mes, 
\item[$\diamond$] les applications ensemblistes r�elles (� valeurs dans $\mathbb{R}$), 
\item[$\diamond$] les applications continues r�elles,  
\item[$\diamond$] les applications $C^{\infty}$ r�elles, 
\item[$\diamond$] les applications mesurable r�elles, 
\item[$\diamond$] les ensembles de solution de syst�mes d'�quations lin�aires homog�nes, 
\item[$\diamond$] les ensembles de solution de syst�mes d'�quations diff�rentielles homog�nes, 
\item[$\diamond$] les suites num�riques satisfaisant un relation de r�currence lin�aire, 
\item[$\diamond$] les extensions de corps, 
\item[$\diamond$] etc. ?
\end{itemize}

On se rend compte que tous les calculs utilisent deux op�rations et que ces derni�res v�rifient toujours le m�me type de relations. 
La premi�re op�ration est une  op�ration binaire consistant � {\it sommer} les �l�ments : 
$$ E\times E \xrightarrow{+} E\ .$$ 
Cette addition v�rifie � chaque fois les m�mes propri�t�s : associativit�, commutativit�, pr�sence d'un neutre ($0$). 
Cette structure est enrichie par la pr�sence d'une action du corps de base : on sait multiplier ces �l�ments par des nombres : 
$$ \mathbb{R}\times E \xrightarrow{\cdot} E\ .$$ 
Dans ce cas aussi, tous les exemples susmentionn�s v�rifient la m�me liste de relations : associatitiv�, distributivit�, action du neutre, et action sur le $0$. Facile alors de donner la d�finition abstraite et g�n�rale d'un espace vectoriel. 

\subsection{Int�r�ts de l'axiomatisation }

On l'a tous bien senti, le cerveau commence � chauffer. Il y a en effet un prix � payer pour arriver � concevoir cette axiomatisation, c'est celui de travailler de plus en plus abstraitement. Se pose du coup avec acuit� la question de l'int�r�t d'une telle d�marche ; essayons d'en d�gager quels b�n�fices. 

\begin{enumerate}
\item Cette conceptualisation offre une prise de hauteur remarquable. Cela permet de mettre sur un m�me pied 
diff�rents objets qui sont au fond de m�me nature et cela donne des moyens de les comparer efficacement � l'aide d'une bonne notion de morphisme.

\noindent 
{\sc Exemple : } En alg�bre lin�aire, on dispose d'une notion d'{\it application lin�aire} entre espaces vectoriels qui permet de les comparer facilement (injectivit�-noyau, surjectivit�, dimension, etc.)


\item \'Etablir une telle  th�orie g�n�rale permet de d�montrer d'un seul coup un  r�sultat qui sera valable automatiquement dans tous les exemples de la th�orie. Cela permet une simplification conceptuelle des �nonc�s. 

\noindent 
{\sc Exemple : } L'existence de bases et leur cardinal qui d�finit la notion de dimension. 

\item L'approche abstraite permet de s'affranchir des contraintes impos�es � l'esprit par tel ou tel domaine. 

\noindent 
{\sc Exemple : } La g�om�trie peut nous faire penser que la dimension finie est une hypoth�se indispensable, il n'en est souvent rien. 

\item Extraire un type de structure alg�brique permet de mettre au jour ce type de structure sur de nouveaux objets et ainsi d'y appliquer les m�thodes d'autres domaines. 

\noindent 
{\sc Exemple : } Utiliser les m�thodes vectoriels puissantes de dimension dans le domaine des extensions de corps. 


\item Cette axiomatisation, une fois bien dig�r�e, permet de voir dans quelle direction poursuivre les recherches. 
On peut dire que cette s�dimentation des id�es am�nent irr�m�diablement � une renaissance quelques (dizaines ?) ann�es plus tard. 

\noindent 
{\sc Exemple : } La notion d'espace vectoriel ouvre ensuite les portes � celles d'alg�bres (associatives, commutatives, de Lie), d'espace tangent d'une vari�t�, d'espace vectoriel topologique, etc. 


\item Cette d�marche met au jour un language universel dont d'autres mati�res peuvent d'emparer avec int�r�t. 

\noindent 
{\sc Exemple : } Les m�thodes et le language de l'alg�bre lin�aire ont �t� accapar� par de nombreux champs de la connaissance comme la m�canique, les sciences naturelles ou les sciences sociales, par exemple. En �conomie, la mod�lisation de l'�tat de l'�conomie � plusieurs facteurs comme celle d'un pays � l'aide de vecteurs de $\mathbb{R}^n$ a permis � Leontief d'obtenir le <<prix Nobel>> d'�conomie en 1973. En effet, si on consid�re que l'�volution d'une telle �conomie �volue suivant des r�gles constantes et lin�aires, on est ramen� � it�rer un endomorphisme, dont la r�duction permettra de faire efficacement de la prospective. 

%\item Changement d'�chelle et .... 
%
%on recommence. 
\end{enumerate} 
 
\subsection{L'Alg�bre moderne}
Sous l'impulsion de l'�cole allemande des Dedekind, Hilbert, Steinitz, Artin, Noether une unification conceptuelle des notions susmentionn�es est entreprise entre 1900 et 1930. Son point culminant est le livre de Van der Waerden, publi� en 1930 et dont le titre est bien sur <<Alg�bre moderne>>, en fran�ais. 

\subsection{Bourbaki}
C'est en 1935 que naquit le groupe Bourbaki dont l'ambition n'est rien de moins que d'offrir une 
pr�sentation coh�rente et exhaustive des math�matiques de son �poque. Pour se faire, il faut une bonne m�thode. Il commence donc par un premier volume de fondation avec la th�orie des ensembles, puis continue avec l'Alg�bre, etc.  Le style est aussi d�tonnant pour l'�poque\!; Bourbaki �crit ainsi en exergue de chaque de ses trait�s : <<
Le mode d'exposition suivi est axiomatique et proc�de le plus souvent du g�n�ral au particulier>>, un peu  comme chez Al-Khwarizmi ! Bourbaki choisit donc de d�crire les math�matiques � travers les diverses structures qui les composent. Cela fera dire � Emil Artin : <<Notre �poque assiste � la cr�ation d'un ouvrage monumental : un expos� de la totalit� des math�matiques d'aujourd'hui. De plus, cet expos� est fait de telle mani�re que les liens entre les diverses branches des math�matiques deviennent clairement visibles>>. Car �videment, le fait de faire ressortir les diff�rentes structures pr�sentes permet de faire des liens entre les diff�rents domaines. 



\section{L'alg�bre de l'alg�bre : les cat�gories}

\`A vous de jouer ...

\newpage
\bibliographystyle{amsalpha}
\bibliography{bib}
\end{document}
