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  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{\bf Commentaires sur le partiel de d\'ecembre 2004}
%\author{{\it Dur\'ee} : 1 heure}
\begin{document}
\normalsize

{Licence \'Economie-Gestion} \hfill {Math\'ematiques L1}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {D\'ecembre
2004}\\
\large
%\vskip30pt

\maketitle La premi\`ere chose \`a dire est qu'il y a des bonnes
et des tr\`es bonnes copies. Bravo \`a ceux qui ont travaill\'e et
r\'eussi le partiel. Il est tr\`es frustrant de constater que
certaines personnes ont travaill\'e, compris certaines choses mais
que cela ne se voit pas sur la note finale. Un seul mot : COURAGE
!
Pour le reste, ceux qui n'ont pas fait grand chose au cours du semestre, cela se voit : {\bf Au boulot !}\\

Faisons quelques remarques d'ordre g\'en\'eral. On n'utilise pas
d'abr\'eviation sur une copie !!! (Il existe des quantificateurs
math\'ematiques ($\forall$, $\exists$, etc ...), qui bien
utilis\'es servent d'abr\'eviations). Faites des phrases ! Un
enchainement d'\'equations math\'ematiques n'expliquent rien. Il
est inutile d'\'ecrire des choses justes mais qui sont hors du
sujet. (Vous perdez votre temps et ne gagnez aucun point).
\'Ecrivez en \underline{fran\c cais} des choses qui ont
\underline{un sens}. Ne vous cachez pas derri\`ere un verbiage
math\'ematique abscond. Un conseil, n'utilisez pas de crayon de
papier sur une copie. L'expression "c'est-\`a-dire" s'\'ecrit avec
deux tirets.
Encadrer \`a la r\`egle. \\

Quelques remarques math\'ematiques maintenant. Quand il faut
montrer qu'une propri\'et\'e est vraie \underline{pour tout $x\in
\RR$}, par exemple, il n'est pas suffisant de la v\'erifier pour
$x=6$ ou $x=1$ ! Attention, "il faut" a un sens diff\'erent de "il
suffit". Pour manger, il suffit d'aller au MacDo, mais ce n'est
pas n\'ecessaire ! Apprenez bien le sens des symboles
math\'ematiques $\forall$, $\exists$, $\mathcal{D}_f$, $\{$, $($,
$[$, $f^{-1}$, $f^{-1}(A)$, $\in$, $\subset$ etc ... Attention, la
phrase
$$ \exists M >0, \quad \forall x\in I,  \quad |x|<M$$
ne veut pas dire la m\^eme chose que
$$ \forall x\in I,\quad \exists M >0,  \quad |x|<M.$$

Avant les commentaires, exercice par exercice, pour avoir 10, il
suffisait (!) de traiter l'exercice 1 et les questions 1, 2, 3, et
5 de l'exercice 3.\\

\noindent {\sc Exercice 1}\\

Il est inutile de regarder l'\'equation $f(x)=y$ pour des valeurs
de $x$ ou de $y$ particuli\`eres ! Il faut montrer que pour tout
$y \in \RR-\{2\}$, cette \'equation a une seul\underline{e}
solution. Cela ne sert \`a rien de faire deux fois le m\^eme
calcul dans les deux questions. \\


\noindent {\sc Exercice 2}\\

(1) Attention $A$ est un sous-ensemble de $\RR^2$ (du plan) pas de
$\RR$ (droite). L'\'ecriture $A=]-\infty,\, 0[\cup ]0,\, +\infty[$
n'a donc aucun sens !

$A$ est un ensemble. Il n'y a aucune fonction ici. Parler de
\emph{domaine de d\'efinition} de $A$ ne veut rien dire.

(2) La phrase : ``$A$ est un ouvert donc n'est pas born\'e'' est
fausse ! Contre-exemple : la boule $B(O,\, 1)$ de centre $O$ est
de rayon $1$ est ouverte \underline{et} born\'ee.

(3) L'ensemble des points de $A$ n'est pas \'egal \`a l'ensemble
des pointes d'adh\'erence de $A$ !!! Ce sont deux notions
diff\'erents. Un point de $A$ est adh\'erent \`a $A$ mais la
r\'eciproque et fausse en g\'en\'eral.\\

\noindent {\sc Exercice 3}\\

(1) De pas confondre $\RR$ et $\RR^2$ !

(3) Apprendre le cours !!! La courbe $E$ n'est pas un cercle mais
une ellipse !

(4) Une fonction $f$ a d\'ej\`a \'et\'e d\'efinie \`a la question
$(1)$ si vous voulez en introduire une nouvelle, utiliser une
autre lettre. C'est la quantit\'e $\sqrt{x^2+y^2}$ qu'il faut
majorer et non $\sqrt{x^2+4y^2}$.

(5) Un ensemble peut \^etre ferm\'e et$\backslash$ou born\'e, vous
ne savez pas encore ce que cela siginfie pour une fonction.

(6) Erreur grossi\`ere : $\sqrt{1-4y^2}=1-2y$ (et d'autres dans le
m\^eme genre ...).

\end{document}
