% Corrige Examen juin 2008 : Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{{\sc  Alg\`ebre et Arithm\'etique  } \\ \huge $\boxed{\textsc{ Corrig\'e de l'examen bis -  juin 2008}}$}

\begin{document}

\noindent
{\sc  Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis  } \hfill {\sc  Licence de Math\'ematiques, 3\`eme ann\'ee}




\noindent
{\sc } \hfill {}





\vskip30pt

\maketitle


\vskip5cm

\bf
\noindent
Il sera tenu compte dans le bar\`eme du soin et de la r\'edaction. La claret\'e du raisonnement et la concision des arguments seront pris en compte. \\


\medskip

\noindent
L'usage de la calculatrice et du t\'el\'ephone portable est interdit.

\rm
\newpage

\begin{Cours}$\ $

\noindent
\'Enoncer et d\'emontrer le petit th\'eor\`eme de Fermat.

\end{Cours}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{ex}$\ $

\begin{enumerate}
\item Citer et d\'emontrer le th\'eor\`eme de Wilson.

\item Soit $n$ un entier naturel non premier et diff\'erent de $4$. Que vaut $(n-1)!$ modulo $n$ ? [D\'emontrer votre r\'esultat.]



\smallskip
\sf \noindent
On va montrer que $(n-1)!\equiv 0_{[n]}$. 
\begin{itemize}

\item[$\bullet$] Si $n=p_1^{\nu_1}\ldots p_r^{\nu_r}$ avec $r>1$, alors chaque $p_i^{\nu_i}<n$. D'o\`u 
$$(n-1)!=(n-1)\ldots p_r^{\nu_r} \ldots p_1^{\nu_1} \ldots 2.1\equiv 0_{[n]}$$

\item[$\bullet$] Si $n=p^\nu$ avec $\nu>1$, on a deux cas de figure. Pour $\nu>2$, on a 
$$(n-1)!=(n-1)\ldots p^{\nu-1} \ldots p \ldots 2.1\equiv 0_{[n]}.$$
Et si $\nu=2$, pour $p>2$, on a 
$$(n-1)!=(p^2-1)\ldots (p-1).p \ldots 2.p \ldots p \ldots 2.1\equiv 0_{[n]}.$$
\end{itemize}

\smallskip
\rm


\item Soit $p$ un nombre premier impair. On consid\`ere l'ensemble $I:=\lbrace 1, 2, \ldots , p-1 \rbrace$. Montrer que pour tout $k\in I$, il existe un unique $i_k\in I$ tel que $k.i_k\equiv 1 _{[p]}$.

\smallskip
\sf \noindent
Le nombre $i_k$ est l'unique repr\'esentant dans $I$ de la classe de l'inverse de $k$ dans le corps $\ZZ/p\ZZ$.

\smallskip
\rm


\item Montrer que $i_k \neq k$ sauf pour $k=1$ et $k=p-1$.

\smallskip
\sf \noindent
Comme $p$ est premier, l'anneau  $\ZZ/p\ZZ$ est un corps. Le polyn\^ome $X^2-1$ a au plus deux racines dans $\ZZ/p\ZZ$ qui sont $1$ et $p-1$. 
\smallskip
\rm


\item L'application $\iota\, : I \to I$ d\'efinie par $\iota(k):=i_k$ est-elle injective ? Est-elle surjective ? Est-elle bijective ?

\smallskip
\sf \noindent
L'application $\iota$ est bijective, c'est-\`a-dire injective et surjective. 

\smallskip
\rm


\item Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que le num\'erateur de $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}$ est divisible par $p$.

\smallskip
\sf \noindent
Comme $p$ est premier, on a $(p-1)!\equiv -1 _{[p]}$ par le th\'eor\`eme de Wilson. Donc $p$ ne divise pas le d\'enominateur commun $(p-1)!$ de $1$, $\displaystyle \frac{1}{2}$, ... , $\displaystyle \frac{1}{p-1}$. Posons $$\displaystyle N:=\frac{(p-1)!}{1} + \frac{(p-1)!}{2}+\cdots + \frac{(p-1)!}{p-1}$$ le num\'erateur ainsi obtenu . On a donc 
\begin{eqnarray*}
&&N\equiv (p-1)!\, (i_1+i_2+\cdots +i_{p-1} ) \ _{[p]}   
\end{eqnarray*}
Par la question pr\'ec\'edente, comme l'application $\iota$ est bijective, on sait que 
$$i_1+i_2+\cdots +i_{p-1}=1+\cdots + p-1=\frac{p-1}{2}p$$
Gr\^ace au th\'eor\`eme de Wilson, on conclut donc que 
\begin{eqnarray*}
&&N\equiv (-1). \frac{p-1}{2}p\equiv 0 \ _{[p]}.
\end{eqnarray*}
\smallskip
\rm


\end{enumerate}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{ex}$\ $

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application $\pi \, : \, \CC[X,Y] \to \CC(T)$ d\'efinie par
$$P(X,Y) \mapsto P(T, \frac{1}{T})$$
est un morphisme d'anneaux.


\smallskip
\sf \noindent
V\'erification imm\'ediate.

\smallskip
\rm


\item On consid\`ere l'image de $\pi$ que l'on note $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]:=\Im(\pi)$. Montrer que
$\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est un anneau.

\smallskip
\sf \noindent
C'est l'image d'un anneau par un morphisme d'anneaux.
\smallskip
\rm


\item Soit $A$ un anneau et soit $\alpha$ une unit\'e de $A$. Montrer que tout morphisme d'anneaux $f\, :\, \CC[X,Y] \to A$ tel que $f(X)=\alpha$ et $f(Y)=\alpha^{-1}$ se factorise de mani\`ere unique par $\pi$.


$$\xymatrix{\CC[X,Y] \ar[r]^{\pi} \ar[dr]_{f}&\displaystyle  \CC[T, \frac{1}{T}] \ar@{-->}[d]^{\exists ! \, \bar{f}}\\ & A} $$


\smallskip
\sf \noindent
L'application $\bar{f}$ est d\'etermin\'ee par $\bar{f}(T)=\alpha$. D'o\`u, $\displaystyle\bar{f}(\frac{1}{T})=\alpha^{-1}$ et $\bar{f}(a_{-n}T^{-n}+\cdots+a_N T^N)=a_{-n}\alpha^{-n}+\cdots+a_N \alpha^N$.

\smallskip
\rm



\item L'anneau $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est-il int\`egre ?

\smallskip
\sf \noindent
C'est un sous-anneau de $\CC(T)$ qui est int\'egre (c'est un corps), donc $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est int\`egre.

\smallskip
\rm


\item D\'eterminer les unit\'es et les \'el\'ements irreductibles de $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$.
Donner une famille de re\'presentants de ces irr\'eductibles.

\smallskip
\sf \noindent
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Unit\'es : $\lbrace a.T^n;\,  a\in\CC^*, n\in \ZZ \rbrace$

\item[$\bullet$] \'El\'ements irr\'eductibles : $\lbrace a.T^n(T-b);\,  a\in\CC^*, n\in \ZZ, b\in \CC^* \rbrace$
\item[$\bullet$] Choix de repr\'esentants : $\lbrace (T-b);\,   b\in \CC^* \rbrace$

\end{itemize}

\smallskip
\rm

\item Montrer directement \`a partir de la d\'efinition d'anneau factoriel que $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est un anneau factoriel.
    
\smallskip
\sf \noindent
L'anneau $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est int\`egre par la question $4$. 

\noindent
Tout \'el\'ement de $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ s'\'ecrit $\displaystyle \frac{P(T)}{T^n}$ avec $P(T)\in \CC[T]$ et $n\in \NN$. Si $n>0$, on peut choisir $P(T)$ avec un terme constant non nul, c'est-\`a-dire tel que $T$ ne divise pas $P(T)$. Le polyn\^ome $P(T)$ se d\'ecompose alors sous la forme  alors $P(T)=a.\prod_{i=1}^k (T-b_i)$ dans l'anneau factoriel $\CC[T]$, avec $a\in \CC$ et $b_i\neq 0$ pour tout $i$. On a alors 
$$\frac{P(T)}{T^n}=\underbrace{\frac{a}{T^n}}_{\textrm{unit\'e}}.\prod_{i=1}^k \underbrace{(T-b_i)}_{\textrm{irr\'eductible}}.  $$
Les $b_i$ sont les racines de $P$ est sont donc d\'efinies de mani\`ere unique. Ce qui entraine l'unicit\'e des constantes $a$ et $n$. 
\smallskip
\rm    
    
    
    
\item Montrer directement \`a partir de la d\'efinition d'anneau principal que $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est un anneau principal.
    
\smallskip
\sf \noindent
L'anneau $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est int\`egre par la question $4$.

\noindent
Soit $I$ un id\'eal de $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$. L'intersection de $I$ avec $\CC[T]$ est un id\'eal de $\CC[T]$ qui est un anneau principal. Donc il existe un polyn\^ome $P\in \CC[T]$ qui l'engendre. Soit $Q$ un \'el\'ement de $I$, il existe $N\in \NN$ tel que $T^N. Q \in \CC[T]$. Mais $T^N. Q$ apartient aussi \`a $I$, donc $T^N.Q$ s'\'ecrit $T^N.Q=P.R$ avec $R\in \CC[T]$. Au final, $\displaystyle Q=\frac{R}{T^N} P$ d'o\`u $I=(P)$. 
\smallskip
\rm    
    
    
\item Montrer  que $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est un anneau euclidien.

\smallskip
\sf \noindent
Pour un \'el\'ement $\displaystyle \frac{P}{T^n}$ de $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ on consid\`ere son degr\'e si c'est un polyn\^ome ou le degr\'e du polyn\^ome $P$ si $n>0$ et que le coefficient du terme constant de $P$ est non nul (cf. question 6). Ce ``degr\'e'' fournit un bon stathme. En effet, pour tout \'el\'ement $\displaystyle \frac{Q}{T^r}$, on fait la division euclidien de $P$ par $Q$ dans l'anneau euclidien $\CC[T]$ : $P=S.Q+R$. On obtient au final $$\displaystyle \frac{P}{T^n}=\frac{R}{T^{n-r}}.\frac{Q}{T^r}+\frac{R}{T^n}$$ avec le ``degr\'e'' de $\frac{R}{T^n}$ strictement inf\'erieur au ``degr\'e'' de $\displaystyle \frac{P}{T^n}$.
\smallskip
\rm


\item Quelle est la hi\'erarchie entre les trois derni\`eres notions : factoriel, principal et euclidien ?

\smallskip
\sf \noindent
$$\textsf{Euclidien} \Longrightarrow \textsf{Principal} \Longrightarrow \textsf{Factoriel}$$

\smallskip
\rm


\item D\'ecrivez l'anneau $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T^3}]$ qui est d\'efini comme l'image de l'application $$\omega \, : \, \CC[X,Y] \to \CC(T), \quad \omega(P):=P(T, \frac{1}{T^3}).$$

\smallskip
\sf \noindent
L'anneau $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T^3}]$ est isomorphe \`a l'anneau $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$.

\smallskip
\rm

\end{enumerate}
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{ex}$\ $

\noindent
Soit $A$ un anneau int\'egre.
\begin{enumerate}
\item Soit $P\in A[X]$ un polyn\^ome non nul \`a coefficients dans $A$.  Montrer que $\xi$ est une racine de $P$ si et seulement si l'id\'eal engendr\'e par $P$ et par $X-\xi$ est \'egal \`a l'id\'eal engendr\'e par $X-\xi$, c'est-\`a-dire $(P,\, X-\xi)=(X-\xi)$.

\smallskip
\sf \noindent
L'\'el\'ement $\xi$ est racine de $P$ si et seulement si $X-\xi$ divise $P$, ce qui est \'equivalent \`a $X-\xi$ divise $P$, ce qui est encore \'equivalent \`a $P\in (X-\xi)$. Cette derni\`ere assertion est \'equivalente \`a $(P,\, X-\xi)=(X-\xi)$.

\smallskip
\rm

\item Soit $\KK$ un corps infini. Soit $P$ un polyn\^ome de $\KK[X,Y]$ de degr\'e $d$ en $Y$ strictement positif. Montrer qu'il existe au moins un $\xi\in \KK$ tel que $P(\xi,Y)$ soit de degr\'e $d$ dans $\KK[Y]$.

\smallskip
\sf \noindent
Le polyn\^ome \`a deux variables $P(X,Y)\in\KK[X,Y]$ s\'ecrit $P(X,Y)=P_d(X)Y^d +\cdots P_0(X)$. Le  polyn\^ome $P_d$ admet un nombre fini de racines. Comme le corps $\KK$ est infini, on peut trouver un $\xi$ dans $\KK$ qui ne soit pas racine de $P_d$. 

\smallskip
\rm

\item Montrer que l'id\'eal principal $(P)$ n'est pas maximal dans $\KK[X,Y]$.

\smallskip
\sf \noindent
On consid\`ere l'id\'eal engendr\'e par $P$ et par $X-\xi$ dans $\KK[X,Y]$. Cet id\'eal contient strictement $(P)$. Dans le cas contraire, on aurait $X-\xi=P(X,Y).A(X,Y)$, ce qui est impossible \`a cause des degr\'es en $Y$. On conclut en montrant que $(P, X-\xi)$ n'est pas \'egal \`a $\KK[X,Y]$. Lorsque c'est le cas, il existe $A(X,Y)$ et $B(X,Y)$ dans $\KK[X,Y]$ tels que $A(X,Y).P(X,Y)+B(X,Y).(X-\xi)=1$. On a alors $A(\xi,Y).P(\xi,Y)=1$ dans $\KK[Y]$, ce qui est \`a nouveau impossible \`a cause du degr\'e en $Y$. 

\smallskip
\rm

\end{enumerate}
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\end{ex}





\end{document}
