% Partiel de Mars 2008 : Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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\newtheorem{ex}{\bf Exercice}
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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

%  Newcommand



\pagestyle{plain}

\title{\LARGE $\boxed{\textsc{Corrig\'e de l'examen partiel $\ $ Mars 2008}}$}

\begin{document}

\noindent
{\sc  Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis  } \hfill {\sc  Alg\`ebre et Arithm\'etique, L3}

\noindent
{\sc } \hfill {}





\vskip30pt

\maketitle






\begin{ex}$\ $

Soit $(G,\, .)$ un groupe. Soient $N$ et $H$ deux sous-groupes  de $G$ tels que $N$ soit  distingu\'e. On consid\`ere le sous-ensemble suivant de $G$ :
$$NH:=\lbrace n.h\, ;\, n\in N, \, h\in H\rbrace. $$

\begin{enumerate}
\item Monter que $NH$ est un sous-groupe de $G$.

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\smallskip
\sf \noindent 
Comme $N$ et $H$ sont des sous-groupes de $G$, le neutre $1$ de $G$ appartient \`a $N$ et \`a $H$. D'o\`u $1.1=1\in NH$.

\noindent
Soient $n_1.h_1$ et $n_2.h_2$ deux \'el\'ements de $NH$, avec $n_1,\, n_2\in N$ et $h_1,\, h_2 \in H$. On a 
$$n_1.h_1 . n_2.h_2=\underbrace{n_1.h_1.n_2.h_1^{-1}}_{\in N}.\underbrace{h_1.h_2}_{\in H}\in NH,$$
o\`u $n_1.h_1.n_2.h_1^{-1}\in N$ parce que $N$ est un sous-groupe distingu\'e de $G$. 

\noindent 
Enfin, pour $n.h\in NH$ avec $n\in N$ et $h\in H$, on a 
$$(n.h)^{-1}=h^{-1}.n^{-1}=\underbrace{h^{-1}.n^{-1}.h}_{\in N}.\underbrace{h^{-1}}_{\in H}\in NH, $$
o\`u $h^{-1}.n^{-1}.h\in N$ parce que $N$ est un sous-groupe distingu\'e de $G$. 

\noindent 
Donc $NH$ est un sous-groupe de $G$. 
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\rm



\item Montrer que $N$ et $H$ sont des sous-groupes de $NH$ et que $N$ est un sous-groupe distingu\'e de $NH$.

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\sf \noindent
Chaque \'el\'ement $n$ de $N$ s'\'ecrit $n.1$ avec $1\in H$ donc $n=n.1$ appartient \`a $NH$. Donc $N\subset HN$ et $N$ est un sous-groupe de $NH$. (On proc\`ede de m\^eme pour $H$). Comme $N$ est un sous-groupe distingu\'e de $G$, $N$ est encore un sous-groupe distingu\'e de $NH$ ($xNx^{-1}\subset N$ pour tout $x\in NH$ puis que cela est vrai pour tout $x\in G$).



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\rm



\item Montrer que l'\'ecriture $x=n.h$ pour $x\in NH$ est unique si et seulement si $N\cap H=\lbrace 1 \rbrace$.

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\sf \noindent
$ \Longrightarrow$ Supposons l'\'ecriture unique et soit $x \in N\cap H$. Comme on a $x=x.1=1.x$, alors par unicit\'e $x=1$. 

\noindent
$ \Longleftarrow$ Supposons $N\cap H=\lbrace 1 \rbrace$ et soient $n_1.h_1=n_2.h_2$, avec $n_1,\, n_2\in N$ et $h_1,\, h_2 \in H$. En multipliant a gauche par $n_1^{-1}$ et \`a droite par $h_2^{-1} $, on trouve $h_1.h_2^{-1}=n_1^{-1}.n_2\in N \cap H$. Donc $h_1.h_2^{-1}=n_1^{-1}.n_2=1$, ce qui donne $n_1=n_2$ et 
$h_1=h_2$.
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\rm



\noindent
Jusqu'\`a la fin de l'exercice, on se place dans le cas o\`u $N\cap H=\lbrace 1 \rbrace$.


\item Construire un isomorphisme $NH/N \xrightarrow{\sim} H $.

\noindent
\underline{Indication} : On pourra commencer par construire un morphisme de la forme $NH \to H$.

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\sf \noindent
On consid\`ere l'application $\varphi \, :\, NH \to H$ d\'efinie par $\varphi(n.h):=h$. Cette application est bien d\'efinie car l'\'ecriture $n.h$, pour tout \'el\'ement de $NH$, est unique (sinon on aurait plusieurs images possibles pour $\varphi$ !). Cette application est un morphisme de groupes : 
$$\varphi\big((n_1.h_1) . (n_2.h_2)\big)=\varphi\big((n_1.h_1.n_2.h_1^{-1}).(h_1.h_2)\big)=h_1.h_2=\varphi(n_1.h_1).\varphi(n_2.h_2).$$
Le noyau de $\varphi$ est $\textrm{Ker}(\varphi)=N$, donc, par th\'eor\`eme du cours l'application $\varphi$ passe au quotient en un morphisme injectif $\bar{\varphi}$ :
$$\xymatrix{NH  \ar[rr]^{\varphi}\ar@{->>}[rd]_{\pi}  &  &  H\\
&NH/N \ar[ru]_{\bar{\varphi}} &  } $$
Comme $\varphi$ est surjective, le morphisme $\bar{\varphi}$ l'est aussi, toujours par th\'eor\`eme du cours. Donc $\bar{\varphi}$ est un isomorphisme. 



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\rm



\item  On suppose que la restriction \`a $H$ de la projection canonique $\pi \, :\, G \epi G/N$ est un isomorphisme, c'est-\`a-dire que $H$ est un syst\`eme de repr\'esentants des classes modulo $N$. Montrer que  $NH=G$.

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\sf \noindent
Il suffit de montrer que $G\subset NH$. Soit $x\in G$. Comme $N$ est un sous-groupe distingu\'e de $G$, toute classe \`a gauche $hN$ est \'egale \`a sa classe \`a droite $Nh$. Comme $H$ est un syst\`eme de repr\'esentants des classes \`a gauche modulo $N$, c'est donc aussi un syst\`eme de repr\`esentants des classes \`a droite modulo $N$.
Or les classes \`a droite forment une partition de $G$ donc $x$ appartient \`a une de ces classes, disons $Nh$ avec $h\in H$. Ceci implique que $x\in NH$. 
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\rm


\item On rappelle que le groupe altern\'e $\mathcal{A}_n$ est le sous-groupe distingu\'e de $\mathfrak{S}_n$ compos\'e des permutations paires : $\mathcal{A}_n:=\lbrace \sigma\in \mathfrak{S}_n \, ; \, \textrm{sgn}(\sigma)=1   \rbrace$.

    \noindent
    Donner un sous-groupe $H$ de $\mathfrak{S}_n$ tel que $\mathfrak{S}_n= \mathcal{A}_nH$.

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\sf \noindent
On va appliquer la question pr\'ec\'edente \`a $G=\mathfrak{S}_n$ et $N=\mathcal{A}_n$. Il y a deux classes modulo $\mathcal{A}_n$ dans $\mathfrak{S}_n$ : celle constitu\'ee des permutations paires
($\mathcal{A}_n$) et celle constitu\'ee des permutations impaires. Un syst\`eme de repr\'esentants est, par exemple, le sous-groupe $H=\lbrace \textrm{id},\,  (12)\rbrace$. 


\bigskip
\rm



\end{enumerate}
\end{ex}




\begin{ex}$\ $

On consid\`ere les deux matrices suivantes de $GL_2(\RR)$ :

$$ \alpha:=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\0  &1  \end{array}\right)\quad
\beta:=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\1  &0  \end{array}\right).   $$



\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre de $\alpha$ de $\beta$ et de $\alpha\beta$.


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\sf \noindent
L'ordre de $\alpha$ et de $\bb$ est $2$. L'ordre de $\aa \bb$ est $4$.  
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\item Supposons que le sous-groupe $\mathbb{B}_2:=<\alpha,\, \beta>$ de $GL_2(\RR)$ engendr\'e par $\alpha$ et $\beta$ soit de cardinal fini, que pouvez-vous dire sur ce cardinal ?

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\sf \noindent
D'apr\`es le th\'eor\`eme de Lagrande on sait que le cardinal du sous-groupe de $\mathbb{B}_2$ engendr\'e par un \'el\'ement divise le cardinal de $\mathbb{B}_2$. Donc l'ordre de $\aa$, de $\bb$ et de $\aa\bb$ divisent le cardinal de $\mathbb{B}_2$. Par la question pr\'ec\'edente, on sait donc que le cardinal de $\mathbb{B}_2$, s'il est fini, est un multiple de $4$.


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\rm



\item Donner une relation entre $\alpha\beta\alpha\beta$ et $\beta\alpha\beta\alpha$.

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\sf \noindent
On a $\alpha\beta\alpha\beta=\beta\alpha\beta\alpha$.
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\rm


\item Expliciter le sous-groupe $\mathbb{B}_2$ engendr\'e par $\alpha$ et $\beta$. Donner la liste des \'el\'ements qu'il contient sous la forme de mots en $\alpha$ et $\beta$.

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\sf \noindent
On va montrer que $\mathbb{B}_2=G$, o\`u $$G:=\lbrace I,\, \aa,\, \bb,\, \aa\bb,\, \bb\aa,\, \aa\bb\aa,\, \bb\aa\bb,\, \aa\bb\aa\bb=\bb\aa\bb\aa  \rbrace$$
(soit un groupe \`a $8$ \'el\'ements). 
Si un groupe contient $\aa$ et $\bb$, il contient tous les \'el\'ements de $G$, Donc $G\subset\mathbb{B}_2$. 

\noindent
Il reste \`a montrer que $G$ est un groupe. Comme $G$ est un sous-ensemble du groupe $GL_2(\RR)$, il suffit de montrer que $G$ en est un sous-groupe :

Le neutre $I$ appartient \`a $G$. 

Soient $x$ et $y$ deux  \'el\'ements de $G$. Ce sont dont des mots en $\aa$ $\beta$, avec ces deux lettres altern\`ees, de longueur $\leq 4$. On peut remarquer que dans le produit $xy$ soit deux m\^emes lettres se suivent et donc se simplifient ($\aa^2=\bb^2=I$) soit on peut changer le mot $\aa \bb\aa\bb$ en $\bb\aa\bb\aa$ et inversement, ce qui produit aussi des simplifications. Au final, $xy$ est \'egal \`a un mot avec moins de $4$ lettres. 

L'ensemble $G$ est stable par l'inverse. L'inverse de $\aa$, $\bb$, $\aa\bb\aa$, $\bb\aa\bb$, $\aa\bb\aa\bb=\bb\aa\bb\aa$ est lui-m\^eme (\'el\'ements d'ordre $2$). L'inverse de $\aa\bb$ est $\bb\aa$ et vice versa. 

\noindent Au final, $G$ est le plus petit sous-groupe poss\'edant $\aa$ et $\bb$, donc $\mathbb{B}_2=G$. 
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\rm



\item Donner la liste des sous-groupes de $\mathbb{B}_2$.

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\sf \noindent
Les sous-groupes de $\mathbb{B}_2$ sont : 
\begin{eqnarray*}
&&\lbrace I \rbrace,\ 
\lbrace I ,\, \aa\rbrace,\ 
\lbrace I ,\, \bb \rbrace,\ 
\lbrace I ,\, \aa\bb\aa\rbrace,\ 
\lbrace I ,\, \bb\aa\bb \rbrace,\ 
\lbrace I ,\, \bb\aa\bb\aa=\aa\bb\aa\bb \rbrace,\ \\
&&\lbrace I ,\, \aa\bb,\, \bb\aa,\, \aa\bb\aa\bb=\bb\aa\bb\aa \rbrace,\ 
\lbrace I ,\, \aa,\, \bb\aa\bb,\, \bb\aa\bb\aa=\aa\bb\aa\bb \rbrace,\ 
\lbrace I ,\, \bb,\, \aa\bb\aa,\, \bb\aa\bb\aa=\aa\bb\aa\bb \rbrace,\ 
\mathbb{B}_2.
\end{eqnarray*}
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\rm



\item On rappelle que $\mathbb{H}_8$ est le groupe \`a $8$ \'el\'ements suivant
$$\mathbb{H}_8:=\lbrace I,\, -I,\, A,\, -A,\, B,\, -B,\, C,\, -C  \rbrace, $$
avec pour relations
$$\left\{ \begin{array}{ccccc}
AB=C, && A^2=-I, && AB=-BA, \\
BC=A, && B^2=-I, && BC=-CB, \\
CA=B, && C^2=-I, && CA=-AC.
\end{array}\right.$$


\noindent
Est-ce-que $\mathbb{B}_2$ est isomorphe \`a $\mathbb{H}_8$ ?

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\sf \noindent
Dans $\mathbb{B}_2$, il y a $5$ \'el\'ements d'ordre $2$ et $2$ \'elements d'ordre $4$. Or, dans $\mathbb{H}_8$, il y a $1$ \'el\'ement d'odre $2$ et $6$ \'el\'ements d'ordre $4$. Ces deux groupes ne peuvent donc pas \^etre isomorphes.
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\item On consid\`ere le sous-groupe  $N:=\lbrace I,\, \alpha\beta,\, \beta\alpha,\, \alpha\beta\alpha\beta    \rbrace$. Montrer qu'il est distingu\'e dans $\mathbb{B}_2$.

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\sf \noindent
Pour tout $x\in \lbrace \aa,\, \bb,\, \aa\bb\aa,\, \bb\aa\bb \rbrace=\mathbb{B}_2-N$, on v\'erifie que $xNx^{-1}\subset N$.


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\item  Montrer que $\mathbb{B}_2/N$ est isomorphe \`a un sous-groupe de $\mathbb{B}_2$, que l'on pr\'ecisera.

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\sf \noindent
Le quotient $\mathbb{B}_2/N$ contient deux classes modulo $N$ : $N=\lbrace I,\, \alpha\beta,\, \beta\alpha,\, \alpha\beta\alpha\beta    \rbrace$ et $\lbrace \aa,\, \bb,\, \aa\bb\aa,\, \bb\aa\bb \rbrace$. on peut prendre comme syst\`eme de repr\'esentants l'ensemble $H=\lbrace I,\, \aa \rbrace$ qui est un sous-groupe de $\mathbb{B}_2$. Donc  le quotient $\mathbb{B}_2/N$ est isomorphe \`a $H$. 
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\rm


\item Est-ce-que $\mathbb{B}_2$ est isomorphe \`a $\ZZ/4\ZZ \times \ZZ/2\ZZ$ ? 

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\sf \noindent
Comme $\mathbb{B}_2$ n'est pas ab\'elien ($\aa\bb\neq \bb\aa$) et comme  $\ZZ/4\ZZ \times \ZZ/2\ZZ$ est ab\'elien, ces deux groupes ne peuvent pas \^etre isomorphes.

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\noindent
On consid\`ere l'action naturelle de $\mathbb{B}_2$ sur les vecteurs du plan $\RR^2$ : pour $M\in \RR^2$ et $\gamma\in \mathbb{B}_2\subset GL_2(\RR)$, on d\'efinit $\gamma.M:=\gamma(M)$, o\`u $\gamma$ est vu comme l'isomorphisme associ\'e dans la base canonique.

\item Pour tout vecteur $M$ de $\RR^2$, d\'ecrire son orbite pour l'action de $\mathbb{B}_2$. Combien contient-elle de points ?


\noindent
\underline{Indication} : On pourra distinguer deux cas. (Un dessin sera appr\'eci\'e).


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\sf \noindent
Soit $M=(x,\,y)$ un point du plan. 

Si $|x|\neq |y|$, alors l'orbite de $M$ sous l'action de $\mathbb{B}_2$ est compos\'ee des points suivants 
$$(\pm x,\, \pm y) \quad (\pm y,\, \pm x)  $$ qui sont au nombre de $8$ est qui forment les sommets d'un octogone. 

Si $|x|= |y|$, alors l'orbite de $M$ sous l'action de $\mathbb{B}_2$ est compos\'ee des points suivants
$$(\pm x,\, \pm x) $$ qui sont au nombre de $4$ est qui forment les sommets d'un carr\'e.

\end{enumerate}



\end{ex}



\end{document}
