% Examen Avril 2008 : Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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\newtheorem{ex}{\bf Exercice}
\newtheorem*{Cours}{\bf Questions de cours}


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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\title{{\sc  Alg\`ebre et Arithm\'etique  } \\ \huge $\boxed{\textsc{EXAMEN FINAL $\ $ Avril 2008}}$}

\begin{document}

\noindent
{\sc  Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis  } \hfill {\sc  Licence de Math\'ematiques, 3\`eme ann\'ee}




\noindent
{\sc } \hfill {}





\vskip30pt

\maketitle


\vskip5cm

\bf
\noindent
Il sera tenu compte dans le bar\`eme du soin et de la r\'edaction. La claret\'e du raisonnement et la concision des arguments seront pris en compte. \\


\medskip

\noindent
L'usage de la calculatrice et du t\'el\'ephone portable est interdit.

\rm
\newpage

\begin{Cours}$\ $

\noindent
Soit $A$ un corps, montrer que l'anneau $A[X]$ des polyn\^omes \`a une variable \`a coefficients dans $A$ est un anneau principal.
\end{Cours}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}$\ $

\noindent
Soit $A$ un anneau commutatif, unitaire et int\`egre. Montrer que si $A[X]$ est un anneau principal alors $A$ est un corps.
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{ex}$\ $
On consid\`ere le sous-ensemble  de $\QQ$ suivant :
$$\ZZ_2:=\left\lbrace \frac{a}{2^k}\, ; \, a\in \ZZ, \, k\in \NN \right\rbrace. $$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\ZZ_2$ est un sous-anneau de $\QQ$. Est-il int\`egre ?


\item D\'eterminer l'ensemble des unit\'es de $\ZZ_2$. Montrer que le groupe des unit\'es $(\ZZ_2^\times, \, *)$ de $\ZZ_2$ est isomorphe au produit cart\'esien $\ZZ/2\ZZ\times \ZZ$.

\item Un \'el\'ement irr\'eductible de $\ZZ$ est-il irr\'eductible dans $\ZZ_2$ ? Quels sont les \'el\'ements irr\'eductibles de $\ZZ_2$. En donner une famille de repr\'esentants.

\item Montrer directement \`a partir de la d\'efinition d'anneau factoriel que $\ZZ_2$ est un anneau factoriel.

\item Montrer que $\ZZ_2$ est un anneau principal. \\

\noindent
On consid\`ere l'inclusion naturelle $i\, : \, \ZZ \mono \ZZ_2$.

\item  Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. Montrer que pour tout morphisme d'anneaux $f\, : \, \ZZ \to A$ tel que $f(2)$ soit inversible dans $A$, il existe un unique morphisme d'anneaux $\bar{f}\, :\, \ZZ_2 \to A$ tel que  $f=\bar{f}\circ i$.\\

\noindent
Soit $p$ un nombre premier. On consid\`ere maintenant le sous-ensemble de $\QQ$ suivant :
$$\ZZ_{(p)}:=\left\lbrace \frac{a}{b}\, ; \, a,\, b \in \ZZ, \, p \nmid b \right\rbrace, $$
o\`u $p$ ne divise pas le d\'enominateur $b$.

\item Montrer que $\ZZ_{(p)}$ est un sous-anneau de $\QQ$. D\'eterminer les unit\'es de $\ZZ_{(p)}$.

\noindent
On consid\`ere l'id\'eal $\mathfrak{m}_p$ engendr\'e par $\displaystyle p=\frac{p}{1}$ dans $\ZZ_{(p)}$.

\item  Montrer que $\mathfrak{m}_p$ est un id\'eal maximal de $\ZZ_{(p)}$.

\item Montrer que $\mathfrak{m}_p$ est l'unique id\'eal maximal de $\ZZ_{(p)}$.

\end{enumerate}
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{ex}$\ $

On consid\`ere  l'indicatrice d'Euler, $\varphi$ qui d\'efinie par $ \varphi(n)=|(\ZZ/n\ZZ)^\times|$,
c'est-\`a-dire le nombre d'\'el\'ements inversibles de l'anneau $\ZZ/n\ZZ$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi(n)$ est \'egal au nombre de nombres $1\leq a \leq n$ premiers avec $n$.

\item Soit $p$ un nombre premier. Montrer que $\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)$, pour tout $k \in \NN^*$.


\item Soit $n\ge 2$ un entier. Montrer que tout nombre $a$ premier avec $n$ v\'erifie
$$ a^{n!}\equiv 1 {}_{[n]}.$$


\end{enumerate}



\end{ex}





\end{document}
