% Examen juin 2008 : Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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\newtheorem*{Cours}{\bf Questions de cours}


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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{{\sc  Alg\`ebre et Arithm\'etique  } \\ \huge $\boxed{\textsc{EXAMEN BIS $\ $ juin 2008}}$}

\begin{document}

\noindent
{\sc  Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis  } \hfill {\sc  Licence de Math\'ematiques, 3\`eme ann\'ee}




\noindent
{\sc } \hfill {}





\vskip30pt

\maketitle


\vskip5cm

\bf
\noindent
Il sera tenu compte dans le bar\`eme du soin et de la r\'edaction. La claret\'e du raisonnement et la concision des arguments seront pris en compte. \\


\medskip

\noindent
L'usage de la calculatrice et du t\'el\'ephone portable est interdit.

\rm
\newpage

\begin{Cours}$\ $

\noindent
\'Enoncer et d\'emontrer le petit th\'eor\`eme de Fermat.

\end{Cours}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{ex}$\ $

\begin{enumerate}
\item Citer et d\'emontrer le th\'eor\`eme de Wilson.

\item Soit $n$ un entier naturel non premier et diff\'erent de $4$. Que vaut $(n-1)!$ modulo $n$ ? [D\'emontrer votre r\'esultat.]

\item Soit $p$ un nombre premier impair. On consid\`ere l'ensemble $I:=\lbrace 1, 2, \ldots , p-1 \rbrace$. Montrer que pour tout $k\in I$, il existe un unique $i_k\in I$ tel que $k.i_k\equiv 1 _{[p]}$.

\item Montrer que $i_k \neq k$ sauf pour $k=1$ et $k=p-1$.

\item L'application $\iota\, : I \to I$ d\'efinie par $\iota(k):=i_k$ est-elle injective ? Est-elle surjective ? Est-elle bijective ?

\item Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que le num\'erateur de $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}$ est divisible par $p$.

\end{enumerate}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{ex}$\ $

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application $\pi \, : \, \CC[X,Y] \to \CC(T)$ d\'efinie par
$$P(X,Y) \mapsto P(T, \frac{1}{T})$$
est un morphisme d'anneaux.





\item On consid\`ere l'image de $\pi$ que l'on note $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]:=\Im(\pi)$. Montrer que
$\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est un anneau.


\item Soit $A$ un anneau et soit $\alpha$ une unit\'e de $A$. Montrer que tout morphisme d'anneaux $f\, :\, \CC[X,Y] \to A$ tel que $f(X)=\alpha$ et $f(Y)=\alpha^{-1}$ se factorise de mani\`ere unique par $\pi$.


$$\xymatrix{\CC[X,Y] \ar[r]^{\pi} \ar[dr]_{f}&\displaystyle  \CC[T, \frac{1}{T}] \ar@{-->}[d]^{\exists ! \, \bar{f}}\\ & A} $$

\item L'anneau $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est-il int\`egre ?

\item D\'eterminer les unit\'es et les \'el\'ements irreductibles de $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$.
Donner une famille de re\'presentants de ces irr\'eductibles.

\item Montrer directement \`a partir de la d\'efinition d'anneau factoriel que $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est un anneau factoriel.
\item Montrer directement \`a partir de la d\'efinition d'anneau principal que $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est un anneau principal.
\item Montrer  que $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T}]$ est un anneau euclidien.

\item Quelle est la hi\'erarchie entre les trois derni\`eres notions : factoriel, principal et euclidien ?

\item D\'ecrivez l'anneau $\displaystyle \CC[T, \frac{1}{T^3}]$ qui est d\'efini comme l'image de l'application $$\omega \, : \, \CC[X,Y] \to \CC(T), \quad \omega(P):=P(T, \frac{1}{T^3}).$$
\end{enumerate}
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{ex}$\ $

\noindent
Soit $A$ un anneau int\'egre.
\begin{enumerate}
\item Soit $P\in A[X]$ un polyn\^ome non nul \`a coefficients dans $A$.  Montrer que $\xi$ est une racine de $P$ si et seulement si l'id\'eal engendr\'e par $P$ et par $X-\xi$ est \'egal \`a l'id\'eal engendr\'e par $X-\xi$, c'est-\`a-dire $(P,\, X-\xi)=(X-\xi)$.


\item Soit $\KK$ un corps infini. Soit $P$ un polyn\^ome de $\KK[X,Y]$ de degr\'e $d$ en $Y$ strictement positif. Montrer qu'il existe au moins un $\xi\in \KK$ tel que $P(\xi,Y)$ soit de degr\'e $d$ dans $\KK[Y]$.

\item Montrer que l'id\'eal principal $(P)$ n'est pas maximal dans $\KK[X,Y]$.

\end{enumerate}
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\end{ex}





\end{document}
