% Partiel de Mars 2008 : Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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\newtheorem{ex}{\bf Exercice}
\newtheorem*{Cours}{\bf Questions de cours}


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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

%  Newcommand



\pagestyle{plain}

\title{\huge $\boxed{\textsc{EXAMEN PARTIEL $\ $ Mars 2008}}$}

\begin{document}

\noindent
{\sc  Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis  } \hfill {\sc  Alg\`ebre et Arithm\'etique, L3}

\noindent
{\sc } \hfill {}





\vskip30pt

\maketitle


\vskip5cm

\bf
\noindent
Il sera tenu compte dans le bar\`eme du soin et de la r\'edaction. La claret\'e du raisonnement et la concision des arguments seront pris en compte. \\


\medskip

\noindent
L'usage de la calculatrice et du t\'el\'ephone portable est interdit.

\rm
\newpage

\begin{Cours}$\ $
\begin{enumerate}

\item Donner la d\'efinition d'une action de groupes fid\`ele.

\item Donner la d\'emonstration du th\'eor\`eme de Cayley : Tout groupe fini est un sous-groupe d'un groupe de permutation $\mathfrak{S}_n$.
\end{enumerate}
\end{Cours}




\begin{ex}$\ $

Soit $(G,\, .)$ un groupe. Soient $N$ et $H$ deux sous-groupes  de $G$ tels que $N$ soit  distingu\'e. On consid\`ere le sous-ensemble suivant de $G$ :
$$NH:=\lbrace n.h\, ;\, n\in N, \, h\in H\rbrace. $$

\begin{enumerate}
\item Monter que $NH$ est un sous-groupe de $G$.

\item Montrer que $N$ et $H$ sont des sous-groupes de $NH$ et que $N$ est un sous-groupe distingu\'e de $NH$.

\item Montrer que l'\'ecriture $x=n.h$ pour $x\in NH$ est unique si et seulement si $N\cap H=\lbrace 1 \rbrace$.


\noindent
Jusqu'\`a la fin de l'exercice, on se place dans le cas o\`u $N\cap H=\lbrace 1 \rbrace$.


\item Construire un isomorphisme $NH/N \xrightarrow{\sim} H $.

\noindent
\underline{Indication} : On pourra commencer par construire un morphisme de la forme $NH \to H$.

\item  On suppose que la restriction \`a $H$ de la projection canonique $\pi \, :\, G \epi G/N$ est un isomorphisme, c'est-\`a-dire que $H$ est un syst\`eme de repr\'esentants des classes modulo $N$. Montrer que  $NH=G$.

\item On rappelle que le groupe altern\'e $\mathcal{A}_n$ est le sous-groupe distingu\'e de $\mathfrak{S}_n$ compos\'e des permutations paires : $\mathcal{A}_n:=\lbrace \sigma\in \mathfrak{S}_n \, ; \, \textrm{sgn}(\sigma)=1   \rbrace$.

    \noindent
    Donner un sous-groupe $H$ de $\mathfrak{S}_n$ tel que $\mathfrak{S}_n= \mathcal{A}_nH$.

\end{enumerate}
\end{ex}




\begin{ex}$\ $

On consid\`ere les deux matrices suivantes de $GL_2(\RR)$ :

$$ \alpha:=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\0  &1  \end{array}\right)\quad
\beta:=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\1  &0  \end{array}\right).   $$



\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre de $\alpha$ de $\beta$ et de $\alpha\beta$.

\item Supposons que le sous-groupe $\mathbb{B}_2:=<\alpha,\, \beta>$ de $GL_2(\RR)$ engendr\'e par $\alpha$ et $\beta$ soit de cardinal fini, que pouvez-vous dire sur ce cardinal ?

\item Donner une relation entre $\alpha\beta\alpha\beta$ et $\beta\alpha\beta\alpha$.

\item Expliciter le sous-groupe $\mathbb{B}_2$ engendr\'e par $\alpha$ et $\beta$. Donner la liste des \'el\'ements qu'il contient sous la forme de mots en $\alpha$ et $\beta$.


\item Donner la liste des sous-groupes de $\mathbb{B}_2$.


\item On rappelle que $\mathbb{H}_8$ est le groupe \`a $8$ \'el\'ements suivant
$$\mathbb{H}_8:=\lbrace I,\, -I,\, A,\, -A,\, B,\, -B,\, C,\, -C  \rbrace, $$
avec pour relations
$$\left\{ \begin{array}{ccccc}
AB=C, && A^2=-I, && AB=-BA, \\
BC=A, && B^2=-I, && BC=-CB, \\
CA=B, && C^2=-I, && CA=-AC.
\end{array}\right.$$


\noindent
Est-ce-que $\mathbb{B}_2$ est isomorphe \`a $\mathbb{H}_8$ ?

\item On consid\`ere le sous-groupe  $N:=\lbrace I,\, \alpha\beta,\, \beta\alpha,\, \alpha\beta\alpha\beta    \rbrace$. Montrer qu'il est distingu\'e dans $\mathbb{B}_2$.

\item  Montrer que $\mathbb{B}_2/N$ est isomorphe \`a un sous-groupe de $\mathbb{B}_2$, que l'on pr\'ecisera.

\item Est-ce-que $\mathbb{B}_2$ est isomorphe \`a $\ZZ/4\ZZ \times \ZZ/2\ZZ$ ? \\

\noindent
On consid\`ere l'action naturelle de $\mathbb{B}_2$ sur les vecteurs du plan $\RR^2$ : pour $M\in \RR^2$ et $\gamma\in \mathbb{B}_2\subset GL_2(\RR)$, on d\'efinit $\gamma.M:=\gamma(M)$, o\`u $\gamma$ est vu comme l'isomorphisme associ\'e dans la base canonique.

\item Pour tout vecteur $M$ de $\RR^2$, d\'ecrire son orbite pour l'action de $\mathbb{B}_2$. Combien contient-elle de points ?


\noindent
\underline{Indication} : On pourra distinguer deux cas. (Un dessin sera appr\'eci\'e).




\end{enumerate}



\end{ex}



\end{document}
