% Feuille de TD 1 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 1}}$}
\author{\bf Groupes ab\'eliens quotients, groupes cycliques}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}\\

\vskip10pt

\maketitle

\begin{ex}[Groupe quotient]$\ $

Soit $(A, +,\,  0)$ un groupe ab\'elien (commutatif) et soit $H\subset A$ un sous-groupe de $A$.

Pour tout $a\in A$, la \emph{classe de $a$ modulo $H$} est d\'efinie par le sous-ensemble de $A$ suivant
$$a+H:=\lbrace a+h,\,  h\in H\rbrace\subset A. $$

\begin{enumerate}
\item Donner une condition n\'ecessaire et suffisante pour que deux classes soient \'egales, $a+H=b+H$.

\smallskip

\noindent
On note $A/H$ l'ensemble des classes modulo $H$.
$$A/H:=\lbrace a+H, \, a\in A\rbrace.  $$

\item Montrer que l'ensemble des classes modulo $H$ forme une partition de $A$. Si, en outre, $A$ est fini, montrer que toutes les classes ont le m\^eme cardinal. Combien y a-t-il de classes diff\'erentes dans ce cas ?

\smallskip

\noindent
On d\'efinit la loi de composition interne suivante entre deux classes :
$$(a+H) \bar{+} (b+H):= (a+b) + H=\lbrace{a+b+h,\, h\in H \rbrace}.$$
\item Montrer que $(A/H, \bar{+},\, 0+H)$ est un groupe ab\'elien. Ce groupe est appel\'e le \emph{groupe quotient de $A$ par $H$}.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[L'exemple $\ZZ$ et $\ZZ/n\ZZ$]$\ $


\begin{enumerate}
\item Soit $n\in \ZZ$, montrer que $n\ZZ:=\lbrace n.k, \, k\in \ZZ   \rbrace$ est un sous-groupe de $(\ZZ, +,\, 0)$.
\item Montrer que tous les sous-groupes de $\ZZ$ sont de cette forme.

\smallskip

\noindent
Comme dans l'exercice pr\'ec\'edent, on note $(\ZZ/n\ZZ, \bar{+},\, 0+n\ZZ)$ le groupe ab\'elien des classes modulo $n$. Pour tout $k\in \ZZ$, on notera $\bar{k}$ la classe $k+n\ZZ$ de $k$ modulo $n$.

\item Que vaut $\overline{137}\bar{+}\overline{212}$ dans $\ZZ/13\ZZ$ ?

\item ``Arithm\'etique horlog\`ere'' [Gauss]

\noindent
Je dois partir demain pour San Fransisco \`a 9 heures. Le train mettra 126 heures pour relier Nice \`a Vladivostok. Il faudra ensuite 358 heures au bateau pour franchir le Golden Gate Bridge. En arrivant vais-je pouvoir manger mes pancakes favoris dans un caf\'e du port dont les horaires d'ouverture sont 7 heures - 11 heures ?
\end{enumerate}

\end{ex}





\begin{ex}[Morphismes]$\ $

Soit $\pi \, : \, A \epi A/H$ la projection ensembliste canonique de $A$ vers la partition d\'efinie par les classes modulo $H$.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'avec la structure de groupe sur $A/H$ d\'efinie \`a l'exercice 1, $\pi$ est un homomorphisme
de groupes. Montrer que la structure de groupe d\'efinie sur $A/H$ est l'unique structure faisant de $\pi$ un homomorphisme de groupes.

\item Soit $f\, :\, A \to B$ une application ensembliste. Montrer qu'il existe une application $\bar{f}\, : \, A/H \to B$ telle que $f=\bar{F}\circ \pi$ si et seulement si $f$ est constante sur chaque classe.
    $$\xymatrix{A \ar[rr]^{f} \ar[dr]_{\pi}& & B\\
    & A/H\ar[ur]_{\bar{f}} & } $$
    Dans ce cas, on dit que \emph{$f$ se factorise par $\pi$}.

\item Soit $f\, :\, A \to B$ un morphisme de groupes ab\'eliens. Montrer que $f$ se factorise par $\pi$ si et seulement si $H\subset \Ker f$ et que dans ce cas, $\bar{f}$ est un morphisme de groupes.

\item Soit $f \, :\, A\to B$ un morphisme de groupes ab\'eliens. Montrer que $\bar{f}\, :\, A/\Ker f \to B$ est un monomorphisme. Montrer que $\widetilde{f}\, :\, A/\Ker f \to \Im B$ est un isomorphisme.
\end{enumerate}

\end{ex}


\begin{ex}[L'exemple $\RR/2\pi\ZZ$]$\ $

Montrer que $\RR/2\pi\ZZ$ est isomorphe au groupe ab\'elien multiplicatif des complexes de modules $1$.

(Utiliser l'exponentielle complexe).
\end{ex}


\begin{ex}[Th\'eor\`eme des restes chinois]$\ $

Soient deux nombres entiers $p$ et $q$ premiers entre eux.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\ZZ/pq\ZZ$ est isomorphe au produit $\ZZ/p\ZZ\times \ZZ/q\ZZ$.

\item Un g\'en\'eral chinois est parti pour une bataille avec 386 soldats. A la fin du combat, il souhaite compter ses troupes. Il leur ordonne de se mettre en rang de $p$ soldats et il note le nombre de soldats formant la derni\`ere rang\'ee incompl\`ete. Puis il proc\`ede de m\^eme mais en les faisant se mettre en rang de $q$ soldats. Quelles valeurs de $p$ et $q$ doit-il prendre ? Expliquer comment il s'y prend finalement pour compter pr\'ecisement ses soldats.

\item Que peut-on dire si $p$ n'est pas premier avec $q$ ?

\noindent
(On pourra consid\`erer $\ZZ/4\ZZ$ et $\ZZ/2\ZZ\times\ZZ/2\ZZ$.)

\end{enumerate}

\end{ex}


\begin{ex}[Espaces vectoriels quotients]$\ $

Soit $V$ un espace vectoriel sur un corps $\KK$ et soit $W$ un sous-espace de $V$. Donc $W$ est en particulier un
sous-groupe ab\'elien de $(V, +,\, 0)$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $V/W$ a une structure d'espace vectoriel sur $\KK$ telle que la projection $\pi\,  :\,
V \epi V/W$ soit une application lin\'eaire.

\item Pour $V=\RR^2$ et $W=\lbrace (x,\, 0),\, x\in \RR \rbrace$, \`a quoi correspondent graphiquement les \'elements de $V/W$ dans le plan affine.

\item Avec les coordonn\'ees canoniques de $\RR^2$, on d\'efinit l'application $s \, :\, V \to V$ par la formule
$s\big((x,y)\big):=(y,y)$. Montrer que $s$ d\'efinie une application lin\'eaire $\bar{s}\,:\, V/W \to V$ et interpr\'eter la graphiquement.

\item Que vaut $\pi \circ \bar{s}\, $ ? Interpr\'eter graphiquement la compos\'ee $\bar{s}\circ \pi$.

\item Si on pose $X:=(1,1).\RR$, \`a quoi est isomorphe $V$ ?

\item Reprenez les questions pr\'ec\'edentes avec $V$ et $W$ quelconque.
\end{enumerate}

\end{ex}

\begin{ex}[D\'evissage]$\ $

Soient $H$ et $Q$ deux groupes ab\'eliens. On identifie $H$ au sous-groupe $\lbrace (h,\,0),\, h\in H\rbrace$ du produit $H\times Q$. On note $\pi\, :\,  H\times Q \epi (H\times Q)/H$ la projection canonique.


\begin{enumerate}
\item Montrer que $(H\times Q)/H$ est isomorphe \`a $Q$.


\item On identifie $(H\times Q)/H$ \`a $Q$. Montrer que dans ce cas, il existe un morphisme de groupes $s\, :\, Q \to H\times Q$ tel que la compos\'ee $\pi \circ s$ soit \'egale \`a l'identit\'e de $Q$. (Dans ce cas, on dit que $s$ un est \emph{rel\`evement} de $\pi$.)

\item R\'eciproquement, montrer que s'il existe un morphisme de groupes $s\, :\, A/H \to A$ tel que
$\pi \circ s = \Id_{A/H}$, alors $A$ est isomorphe au produit direct $A\cong H \times A/H$.

\end{enumerate}
\end{ex}



\begin{ex}[Groupes cycliques]$\ $

Soit $A$ un groupe ab\'elien et soit $a\in A$. On consid\`ere l'application suivante
$$f\, :\, \ZZ \to A \quad \quad f(n):= n.a=\underbrace{a+a+\cdots+a}_n,$$
pour $n\ge 1$. On pose $f(0)=0$ et $f(n):=-f(-n)$ pour $n<0$.
\begin{enumerate}
\item Si $f$ est un epimorphisme, \`a quels types de groupes peut-\^etre isomorphe $A$ ?

\noindent
Tout groupe $A$ isomorphe \`a $\ZZ/n\ZZ$ est appel\'e \emph{groupe cyclique}. Dans ce cas, il admet un \'el\'ement $a$ d'ordre $n$ qui l'engendre, i.e. $A=\lbrace0, \, a,\, 2.a, \ldots ,\, (n-1).a \rbrace$.

\item Montrer que le produit de deux groupes cycliques d'ordre premiers entre eux est encore un groupe cyclique. Quel \'el\'ement engendre ce groupe ?
\end{enumerate}

\end{ex}

\begin{ex}$\ $

\begin{enumerate}
\item Montrer que $(\QQ/\ZZ, \bar{+})$ est un \emph{groupe de torsion}, c'est-\`a-dire que tous ses \'el\'ements ont un ordre fini.

\item Montrer que $\QQ/\ZZ$ poss\`ede un unique sous-groupe d'ordre $n$ pour tout $n\in \NN^*$ et qu'il est cyclique.
\end{enumerate}

\end{ex}



\begin{ex}$\ $

\begin{enumerate}
\item Montrer que le groupe ab\'elien $(\QQ, +, 0)$ n'a pas de sous-groupe isomorphe \`a $\ZZ^2$.

\item Montrer que $\QQ$ n'est pas isomorphe \`a $\QQ^2$.

\item \'Ecrire $\RR$ comme somme directe de copies de $\QQ$.

\item Montrer que $\RR$ est isomorphe \`a $\RR^2$.

\end{enumerate}

\end{ex}

%\begin{ex}$\ $

%\begin{enumerate}
%\item

%\end{enumerate}

%\end{ex}






\vfill

\vskip8pt

\hrule

\vskip14pt

\noindent
\textbf{Cours} : Bruno Vallette (\texttt{brunov@unice.fr}),
\textbf{TDs} : Fran\c cois-Xavier Dehon (\texttt{dehon@unice.fr})
et Bruno Vallette

\noindent
\textbf{Page web du cours} :
Depuis \texttt{http://math.unice.fr/$\sim$brunov}, le lien vers le site du
cours se trouve en bas de l'\'ecran.

\noindent
(Pour la retrouver rapidement : Taper ``Bruno Vallette" sur Google.
Cliquer sur le premier lien propos\'e.)

\end{document}
