% Feuille de TD 2 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 2}}$}
\author{\bf G\'en\'erateurs d'un groupe}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}\\

\vskip10pt

\maketitle


\begin{ex}[G\'en\'erateurs de $\Sy_n$]$\ $

\begin{enumerate}
\item Soit $\sigma \in \Sy_n$ une permutation de $\lbrace 1, \ldots,\,  n\rbrace$ et soit $(a_1, \ldots, \, a_k)$ un cycle de longueur $k$ de $\Sy_n$, avec $a_1, \ldots, \, a_k \in \lbrace 1, \ldots,\, n\rbrace$. Que vaut le conjugu\'e $\sigma (a_1, \ldots, \, a_k) \sigma^{-1}$ ?

\item Montrer que les familles suivantes sont des syst\`emes de g\'en\'erateurs du groupe sym\'etrique $\Sy_n$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $S_1=\lbrace(1,\, 2),\, (1,\,3), \ldots,\, (1,\,n)\rbrace$.

\item[$\bullet$] $S_2=\lbrace(1,\, 2),\, (2,\,3), \ldots,\, (n-1,\,n)\rbrace$.

\item[$\bullet$] $S_3=\lbrace(1,\, 2),\, (1,\, 2,\, 3, \ldots,\, n) \rbrace$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{ex}[Le groupe $D_6$]$\ $

On consid\`ere les matrices suivantes de $GL_2(\RR)$ :
$$\sigma:=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \end{array} \right) \quad \quad \textrm{et} \quad \quad \rho:=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1 \end{array} \right).$$

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ordre de $\sigma$ et de $\rho$ ?

\item Pouvait-on pr\'evoir ce r\'esultat avec le th\'eor\`eme de Lagrange ?

\item D\'ecrire le sous-groupe de $GL_2(\RR)$ engendr\'e par $\sigma$ et $\rho$.

\noindent
(\emph{Conseil} : Calculer $\sigma\rho$)

\noindent
Ce groupe est le \emph{groupe di\'edral $D_6$}. C'est le groupe des isom\'etries de l'hexagone (r\'egulier).

\item D\'ecrire un monomorphisme de groupes de $D_6$ dans  $\Sy_6$. Peut-il \^etre un isomorphisme ?


\end{enumerate}

\end{ex}







\vfill

\end{document}
