Algèbre et Arithmétique Mathématiques L3 Université de Nice Sophia-Antipolis Année 2007-2008

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 3

SOUS-GROUPES DISTINGUÉS ET ACTION DE GROUPES

Exercice 1 (Union et intersection de sous-groupes). Soit un G un groupe et soient H_{1} et H_{2} deux sous-groupes de G.

(1) Montrer que, pour que l’union H_{1} ∪ H_{2} soit un sous-groupe de G, il faut que H_{1} ⊂ H_{2} ou que H_{2} ⊂ H_{1}.

(2) Si les ordres de H_{1} et de H_{2} sont finis et premiers entre eux, décriver l’intersection H_{1}∩H_{2}.

Exercice 2 (Le groupe ℍ_{8}). On considère le groupe ℍ_{8} définit par ...

(1) Déterminer le centre de ℍ_{8}. Montrer que son groupe dérivé est égal à D(ℍ_{8}) = {1, −1}.

(2) Montrer que tous les sous-groupes de ℍ_{8} sont distingués.

(3) Soit H un sous-groupe de ℍ_{8}. Que pouvez-vous dire des classes à gauche et des classes à droite modulo un sous-groupe ?

Exercice 3 (Nombre d’orbites). Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble fini X. Montrer que le nombre d’orbites est égal à

\frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} |X^{g}|,

où X^{g} := {x ∈ X; g.x = x} est l’ensemble des éléments de X invariants sous l’action de g. \underline{Indication} : On pourra calculer le cardinal de l’ensemble \{(g, x) ∈ G × X; g.x = x\} de deux manières différentes.

Exercice 4 (Les bagues de Suleima). La fiancé de Suleima, orfèvre arithméticien, prépare dans son atelier une bague pour sa bien-aimée. Il a en effet promis, comme preuve d’amour, de lui offrir chaque mois une bague différentes. Les bagues qu’il confectionne sont en or et incrustées d’émeraudes, de saphirs ou de rubis. Chaque bague a dix pierres précieuses régulièrement réparties et qui se distingue des autres uniquement par l’ordonnancement des pierres qu’elle comporte. Pendant combien de temps Suleima pourra être rassurée sur l’amour que lui voue son futur mari ? \underline{Indication} : On pourra faire opérer le groupe cyclique ℤ/10ℤ sur l’ensemble des applications de {1, …, 10} dans {1, 2, 3} et appliquer le résultat de l’exercice précédent.

Exercice 5 (Action par conjugaison). Soit G un groupe fini.

(1) On définit l’application suivante

\xymatrix{G × G \ar[r] & G \\ (g, x) \ar@{|->}[r] & g.x := gxg^{−1}.}

Montrer qu’il s’agit d’une action du groupe G sur lui-même.

(2) Appliquer l’équation aux classes à cette action pour montrer qu’il existe une famille finie

{H_{i}}_{i∈I} de sous-groupes stricts de G (i.e. ≠ {1_{G}} et ≠ G) telle que

|G| = |Z(G)| + ∑_{i∈I} \frac{|G|}{|H_{i}|}.

Supposons maintenant que le cardinal de G soit égal à p^{r} avec p un nombre premier.

(3) Montrer que le centre de G n’est pas réduit au neutre. Pour cela montrer qu’il a au moins p éléments.

(4) Décrire G lorsque r = 1. Montrer que G est abélien lorsque r = 2. Déterminer tous les groupes abéliens d’ordre p^{2} ?