% Feuille de TD 3 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 3}}$}
\author{\bf Sous-groupes distingu\'es et action de groupes}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}\\

\vskip10pt

\maketitle


\begin{ex}[Union et intersection de sous-groupes]$\ $

Soit un $G$ un groupe et soient $H_1$ et $H_2$ deux sous-groupes de $G$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour que l'union $H_1\cup H_2$ soit un sous-groupe de $G$, il faut que  $H_1 \subset H_2$ ou que $H_2 \subset H_1$.

    \item Si les ordres de $H_1$ et de $H_2$ sont finis et premiers entre eux, d\'ecriver l'intersection $H_1 \cap H_2$.
\end{enumerate}
\end{ex}



\begin{ex}[Le groupe $\mathbb{H}_8$]$\ $

On pose 
$$I:=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\0  &1  \end{array}\right)\quad 
A:=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\-1  &0  \end{array}\right)\quad
B:=\left( \begin{array}{cc} 0 & i \\i  &0  \end{array}\right)\quad
C:=\left( \begin{array}{cc} i & 0 \\0  &-i  \end{array}\right).$$

On consid\`ere le sous-ensemble de $M_2(\CC)$ suivant 
$$\mathbb{H}_8:=\lbrace I,\, -I,\, A,\, -A,\, B,\, -B,\, C,\, -C  \rbrace . $$

\begin{enumerate}

\item Montrer les relations suivantes 
$$\begin{array}{ccccc}
AB=C, && A^2=-I, && AB=-BA, \\
BC=A, && B^2=-I, && BC=-CB, \\
CA=B, && C^2=-I, && CA=-CA. 
\end{array}$$

\item Montrer que $\mathbb{H}_8$ est un groupe. 
On appelle $\mathbb{H}_8$ le \emph{groupe des quaternions}. 

\item D\'eterminer tous les sous-groupes de $\mathbb{H}_8$.


\item D\'eterminer le centre de $\mathbb{H}_8$. Montrer que son groupe d\'eriv\'e est \'egal \`a
$D(\mathbb{H}_8)=\lbrace 1, -1\rbrace$.

\item Montrer que tous les sous-groupes de $\mathbb{H}_8$ sont distingu\'es.

\item Soit $H$ un sous-groupe de $\mathbb{H}_8$. Montrer que la projection canonique $\pi \, :\, 
\mathbb{H}_8 \epi \mathbb{H}_8/H$ n'admet aucune section. 
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{ex}[Groupe sym\'etrique, groupe altern\'e]$\ $

\begin{enumerate}
\item Montrer que le groupe altern\'e $\mathcal{A}_n:=\lbrace \sigma\in \mathfrak{S}_n \, ; \, \textrm{sgn}(\sigma)=1   \rbrace$ est un sous-groupe distingu\'e du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_n$.
    
\item D\'eterminer le quotient $\mathfrak{S}_n/\mathcal{A}_n$ et en donner une section. Est-il possible de trouver une section dont l'image soit un sous-groupe distingu\'e de $\mathfrak{S}_n$ ?
    

\item Le groupe $\mathfrak{S}_n$ est-il isomorphe \`a un produit direct de deux groupes ?     
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{ex}[Groupes di\'edraux]$\ $

On reprend l'exemple du groupe di\'edral $D_6$ (Exercice 2, Feuille de TD2). On consid\`ere le groupe di\'edral $D_3$ qui est le groupe des isom\'etries d'un triangle \'equilat\'eral. 

Montrer que $D_6$ est isomorphe au produit direct $D_3\times \ZZ/2\ZZ$. 
\end{ex}


\begin{ex}[Nombre d'orbites]$\ $

Soit $G$ un groupe fini agissant sur un ensemble fini $X$. Montrer que le nombre d'orbites est \'egal \`a
$$\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G}|X^g|, $$
o\`u $X^g:=\lbrace x\in X \, ; \,  g.x=x \rbrace$ est l'ensemble des \'el\'ements de $X$ invariants sous l'action de $g$.

\noindent
\underline{Indication} : On pourra calculer le cardinal de l'ensemble $\lbrace (g,x)\in G \times X \, ;\,  g.x=x  \rbrace$ de deux mani\`eres diff\'erentes.
\end{ex}



\begin{ex}[Les bagues de Suleima]$\ $

La fianc\'e de Suleima, orf\`evre arithm\'eticien, pr\'epare dans son atelier une bague pour sa bien-aim\'ee. Il a en effet promis, comme preuve d'amour, de lui offrir chaque mois une bague diff\'erentes. Les bagues qu'il confectionne sont en or et incrust\'ees d'\'emeraudes, de saphirs ou de rubis. Chaque bague a dix pierres pr\'ecieuses r\'eguli\`erement r\'eparties et qui se distingue des autres uniquement par l'ordonnancement des pierres qu'elle comporte.

Pendant combien de temps Suleima pourra \^etre rassur\'ee sur l'amour que lui voue son futur mari ?

\noindent
\underline{Indication} : On pourra faire op\'erer le groupe cyclique $\ZZ/10\ZZ$ sur l'ensemble des applications de $\lbrace 1, \ldots, 10 \rbrace$  dans $\lbrace 1, 2, 3 \rbrace$ et appliquer le r\'esultat de l'exercice pr\'ec\'edent.
\end{ex}

\begin{ex}[Action par conjugaison]$\ $

Soit $G$ un groupe fini.
\begin{enumerate}
\item On d\'efinit l'application suivante
$$ \xymatrix@R=0pt@C=20pt{G\times G \ar[r] & G \\
 (g,\, x) \ar@{|->}[r] & g.x:=gxg^{-1}.}$$
Montrer qu'il s'agit d'une action du groupe $G$ sur lui-m\^eme.

\item Appliquer l'\'equation aux classes \`a cette action pour montrer qu'il existe une famille finie $\lbrace H_i \rbrace_{i\in I}$ de sous-groupes stricts de $G$ (i.e. $\neq \lbrace 1_G \rbrace$ et $\neq G$) telle que
    $$|G|=|Z(G)|+\sum_{i\in I} \frac{|G|}{|H_i|}. $$

 Supposons maintenant que le cardinal de $G$ soit \'egal \`a $p^r$ avec $p$ un nombre premier.

\item Montrer que le centre de $G$ n'est pas r\'eduit au neutre. Pour cela montrer qu'il a au moins $p$ \'el\'ements.

\item  D\'ecrire $G$ lorsque $r=1$. Montrer que $G$ est ab\'elien lorsque $r=2$. D\'eterminer tous les groupes ab\'eliens d'ordre $p^{\, 2}$ ?

\end{enumerate}
\end{ex}







\vfill

\end{document}
