% Feuille de TD 4 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008 [CORRECTIONS]

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\title{$\boxed{\textsc{\'EL\'EMENTS DE CORRECTION DE LA FEUILLE DE TD 4}}$}
\author{\bf Anneaux et Id\'eaux}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}\\

\vskip10pt

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Image d'un id\'eal]$\ $

Soit $f\, :\, A \to B$ un morphisme d'anneaux commutatifs unitaires.

\begin{enumerate}
\item Si on suppose que $f$ soit surjectif, montrer que l'image de tout id\'eal $I$ de $A$ par $f$ est un id\'eal de $B$.

\medskip
\sf \noindent
L'image $f(I)$ de $I$ par $f$ est un sous-anneau de $B$ (pourquoi ?). Soient $f(i)\in f(I)$ et $b\in B$. Comme $f$ est surjective, $b$ est \'egal \`a $b=f(a)$ pour un $a\in A$. D'o\`u, $f(i).b=f(i).f(a)=f(i.a)$. Comme $I$ est un id\'eal de $A$, on a $i.a\in I$ et $f(i).b=f(i.a)\in f(I)$. Donc $f(I)$ est un id\'eal de $B$.


\medskip
\rm

\item Donner un exemple de morphisme $f\, : A\to B$ et d'id\'eal $I$ de $A$ tel que $f(I)$ ne soit pas un id\'eal de $B$.

\medskip
\sf \noindent
Consid\'erons l'injection canonique $i\, : \, \ZZ \to \QQ$ de $\ZZ$ dans $\QQ$. C'est un morphisme d'anneaux  (\`a justifier). L'image de $ZZ$, qui est un id\'eal de $\ZZ$, est $\ZZ$ qui n'est pas un id\'eal de $\QQ$ (\`a justifier).
\medskip
\rm

\end{enumerate}

\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Lemme des restes chinois II, le retour]$\ $

Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers entre eux. Dans la d\'emonstration du lemme des restes chinois, nous avons d\'ecrit un isomorphisme d'anneaux
$$\varphi \ : \ \ZZ/pq\ZZ \to \ZZ/p\ZZ\times \ZZ/q\ZZ. $$

Expliciter la r\'eciproque de $\varphi$.

\noindent
\underline{Indication} : Aller revoir votre cours de l'an dernier.

\medskip
\sf \noindent
Comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux, par le th\'eor\`eme de Bezout, il existe une paire $(u,\, v)\in \ZZ^2$ telle que $1=up+vq$. (Pour calculer deux tels nombres, on utilise la division euclidienne. Voir le cours de l'an dernier).
A toute paires de classes $[a]_p$ modulo $p$  et $[b]_q$ modulo $q$. On associe la classe $[bup+avq]_{pq}$. Cette d\'efinition

\noindent
$1)$ ne d\'epend pas des choix de repr\'esentants ($a$ et $b$) [\`a v\'erifier],

\noindent
$2)$ est bien un morphisme d'anneaux [\`a v\'erifier],

\noindent
$3)$ donne la r\'eciproque voulue [\`a v\'erifier].


\medskip
\rm

\end{ex}






\vfill

\end{document}
