% Feuille de TD 3 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 4}}$}
\author{\bf Anneaux et Id\'eaux}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}\\

\vskip10pt

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Image d'un id\'eal]$\ $

Soit $f\, :\, A \to B$ un morphisme d'anneaux commutatifs unitaires. 

\begin{enumerate}
\item Si on suppose que $f$ soit sujectif, montrer que l'image de tout id\'eal $I$ de $A$ par $f$ est un id\'eal de $B$.

\item Donner un exemple de morphisme $f\, : A\to B$ et d'id\'eal $I$ de $A$ tel que $f(I)$ ne soit pas un id\'eal de $B$.
\end{enumerate}

\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Radical d'un id\'eal]$\ $

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire et soit $I$ un id\'eal de $A$. On d\'efinit son \emph{radical} par 
$$\textrm{Rad}(I)=\sqrt{I}:=\lbrace x\in A\, |\, \exists n\in \NN,\,  x^n\in I\rbrace. $$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $I\subset \sqrt{I}$.

\item Montrer que le radical d'un id\'eal est encore un id\'eal.

\item Montrer que $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$.

\item Soient $I$ et $J$ deux id\'eaux de A. Montrer que $\sqrt{I J}=\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap \sqrt{J}$.

\item D\'ecrire le radical des id\'eaux  de $\ZZ$.


\noindent
Le radical  de l'id\'eal $I=(0)$, est appel\'e la \emph{nilradical}. Il est \'egal \`a 
$$\textrm{Nil}(A)=\sqrt{(0)}=\lbrace x\in A\, |\, \exists n\in \NN,\,  x^n=0     \rbrace. $$
C'est l'ensemble des \'el\'ements nilpotents de $A$.

\item Soit $I$ un id\'eal de $A$ et $\pi \, :\, A \to A/I$ la projection canonique. Que vaut l'image r\'eciproque $\pi^{-1}\big(\textrm{Nil}(A/I)\big)$ du nilradical de $A/I$ par $\pi$ ? 

\item Montrer que le seul \'el\'ement nilpotent de $A/\textrm{Nil(A)}$ est l'\'el\'ement nul.  


\item Montrer que le nilradical de $A$ est l'intersection de tous les id\'eaux premiers de $A$. Soit $I$ un id\'eal de $A$, on conclure que le radical de $I$ est l'intersection de tous les id\'eaux premiers de $A$ qui contiennent $I$. 


\end{enumerate}
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Corps des fractions]$\ $

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire int\`egre. Sur l'ensemble $X:=A\times (A-\lbrace 0 \rbrace)$, on consid\`ere la relation :
$$(n,\,d) \, \mathcal{R} \, (n',\, d') \quad \textrm{si} \quad nd'=n'd.$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'\'equivalence.


\noindent 
On note $\textrm{Frac}(A)$ l'ensemble quotient par cette relation, c'est-\`a-dire l'ensemble des classes d'\'equivalence. Et on \'ecrit $\displaystyle \frac{n}{d}$ la classe de $(n,\, d)$. 

\item Montrer que les deux lois de composition interne suivantes sont bien d\'efinies
$$\frac{n_1}{d_1}+\frac{n_2}{d_2}:=\frac{n_1d_2+n_2d_1}{d_1d_2} \quad \textrm{et} \quad 
\frac{n_1}{d_1}.\frac{n_2}{d_2}:=\frac{n_1n_2}{d_1d_2}.$$

\item Montrer que $\textrm{Frac}(A)$ est un corps. On appelle ce corps, le \emph{corps des fractions de $A$}. 

\item Que se passe-t-il si $A$ n'est pas int\`egre ? 

\item D\'ecrire les corps de fractions $\textrm{Frac}(\ZZ)$, $\textrm{Frac}(\KK[X])$, avec $\KK$ un corps, et  $\textrm{Frac}(\KK)$. 
    
\item On consid\`ere l'application suivante
$$\left\{ \begin{array}{cccc}
\iota  : &  A &\to& \textrm{Frac}(A)\\
 & a &\mapsto&  \displaystyle\frac{a}{1}
 \end{array} \right.$$
    
Montrer que $\iota$ est un morphisme d'anneaux.     
    
    
\item(Propri\'et\'e universelle des corps de fractions) Montrer que tout morphisme d'anneaux $f\,:\, A \to \KK$, avec $\KK$ un corps, se factorise de mani\`ere unique en $f=\bar{f}\circ \iota$ o\`u $\bar{f}\, :\, \textrm{Frac}(A) \to \KK$ est un morphisme de corps. 
$$\xymatrix{A \ar[r]^(0.4){\iota} \ar[dr]_{f}& \textrm{Frac}(A)\ar@{-->}[d]^{\exists ! \, \bar{f}}\\ & \KK} $$



\end{enumerate}
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Lemme des restes chinois II, le retour]$\ $

Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers entre eux. Dans la d\'emonstration du lemme des restes chinois, nous avons d\'ecrit un isomorphisme d'anneaux 
$$\varphi \ : \ \ZZ/pq\ZZ \to \ZZ/p\ZZ\times \ZZ/q\ZZ. $$ 

Expliciter la r\'eciproque de $\varphi$. 

\noindent
\underline{Indication} : Aller revoir votre cours de l'an dernier. 

\end{ex}






\vfill

\end{document}

