% Feuille de TD 5 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008 [Corrections]

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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{\'EL\'EMENTS DE CORRECTION DE LA FEUILLE DE TD 5}}$}
\author{\bf Id\'eaux premiers et maximaux}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}\\

\vskip10pt

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Produit cart\'esien]$\ $

Soit $A$ et $B$ deux anneaux commutatifs unitaires. On consid\`ere leur produit cart\'esien $A\times B$.
On rappelle que l'on munit ce produit cart\'esien d'une structure d'anneau de la mani\`ere suivante :
\begin{eqnarray*}
(a,\, b)+(a',\, b') := (a+a', \, b+b') \quad \textrm{et} \quad (a,\, b).(a',\, b') := (a.a', \, b.b').
\end{eqnarray*}
Le neutre pour la somme est $(0,\, 0)$ et le neutre pour le produit est $(1,\, 1)$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'anneau produit $A\times B$ est int\'egre si et seulement si au moins un des deux anneaux $A$ et $B$ est  int\'egre.

\medskip
\sf \noindent
$(\Longleftarrow)$ Soient $(a,\, b)$ et $(a',\, b')$ tels que $(a,\, b).(a',\, b')=(a.a', \, b.b')=(0,\, 0)$. Comme au moins un des deux anneaux $A$ ou $B$ est int\'egre, alors au moins un parmi $a$, $a'$, $b$ et $b'$ est diff\'erent de $0$. D'o\`u $(a,\, b)\neq(0,\,0)$ ou $(a',\, b')\neq(0,\,0)$ et $A\times B$ est int\'egre.\\

\noindent
$(\Longrightarrow)$ Par l'absurde, si les deux anneaux $A$ et $B$ ne sont pas int\'egres, on peut trouver deux \'el'ements non nuls $a$ et $a'$ de $A$ tel que $a.a'=0$ et deux \'el'ements non nuls $b$ et $b'$ de $B$ tel que $b.b'=0$ (diviseurs de z\'ero). Alors, $(a,\,b)\neq (0,\,0)$ et $(a',\,b')\neq (0,\,0)$ mais $(a,\, b).(a',\, b')=(a.a', \, b.b')=(0,\, 0)$. Donc $A\times B$ ne serait pas int\'egre, d'o\`u la contradiction. 
\medskip
\rm




\item D\'ecrire l'ensemble des \'el\'ements inversibles de l'anneau $A\times B$.

\medskip
\sf \noindent
L'ensemble $(A\times B)^{\times}$ des inversibles est \'egal au produit cart\'esien $A^\times\times B^\times$ des inversibles de $A$ et de $B$. 
\medskip
\rm

\item     En conclure que le produit cart\'esien de deux anneaux unitaires (voire de deux corps) n'est en jamais un corps.

\medskip
\sf \noindent
Dans le produit cart\'esien de deux anneaux unitaires, nous avons les deux \'el\'ements $(1,\, 0)$ et $(0,\, 1)$ qui ne sont pas nuls mais pas non plus inversibles. 
\medskip
\rm

\item Que se passe-t-il dans le cas des nombres complexes.

\medskip
\sf \noindent
Dans le cas des nomnbres complexes, $\mathbb{C}$ est bien \'egal au produit cart\'esien de $\RR$ par $\RR$ mais la structure de corps n'est pas celle d\'ecrite ci-dessus (i.e. celle du produit cart\'esien). On a d\'efini une autre structure d'anneaux dessus (le produit est diff\'erent : $(a,\, b).(a',\, b')=(a.a'-b.b', \, a'.b+a.b')$ ) ! Il n'y a donc pas de contradiction.
\medskip
\rm


\end{enumerate}

\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Lemme des restes chinois III]$\ $

Soit $I$ et $J$ deux id\'eaux d'un anneau $A$.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un morphisme d'anneaux injectif
$$\Phi \ : \ A/I\cap J \xrightarrow{\sim} A/I \times A/J.$$

\medskip
\sf \noindent
On consid\`ere le morphisme $\varphi \, : \, A \to A/I \times A/J$ qui envoie un \'el\'ement $a\in A$ sur la paire constitu\'ee de la classe de $a$ modulo $I$ et de la classe de $a$ modulo $J$. C'est un morphisme d'anneaux dont le noyau est \'egal \`a $I\cap J$ [\`a v\'erifier]. Par th\'eor\`eme du cours, le morphisme $\varphi$ passe donc au quotient et d\'efinit un morphisme injectif d'anneaux $\Phi \ : \ A/I\cap J \mono A/I \times A/J$.
\medskip
\rm


\item Montrer que le morphisme $\Phi$ est un isomorphisme si et seulement si $I+J=A$.

\medskip
\sf \noindent
Par th\'eor\`eme du cours, le morphisme $\Phi$ est un morphisme surjectif si et seulement si $\varphi$ est surjectif. Comme $I+J$ est un id\'eal de $A$, on sait que $I+J=A$ si et seulement si $1\in I+J$. On montre donc que $\varphi$ est surjectif si et seulement si $1\in I+J$. 

\noindent 
$(\Longleftarrow)$ Dans ce cas, il utilise les m\^emes arguments que pour l'exercice $4$ de la feuille $4$ (Th\'eor\`eme de Bezout).

\noindent
$(\Longrightarrow)$ Si $\varphi$ est surjective, alors la paire $([1]_I,\, [0]_J)$ est atteinte par un \'el\'ement $x\in A$. C'est-\`a-dire que $x\in J$ et $x=1+i$, avec $i\in I$. Donc $1=x-i\in I+J$. 
\medskip
\rm


\item Appliquer cet isomorphisme aux anneaux $\ZZ$ et $\KK[X]$.

\medskip
\sf \noindent
Dans ces deux cas, tous les id\'eaux sont principaux. Soient $I=n\ZZ$ et $J=m\ZZ$ deux id\'eaux de $\ZZ$. Comme $I\cap J= \textrm{ppcm}(n,\,m) \ZZ$ et $I+J=\textrm{pgcd}(n,\,m) \ZZ$, on a toujours
$$ \ZZ / \textrm{ppcm}(n,\,m) \ZZ \mono \ZZ/n\ZZ \times \ZZ/m\ZZ,$$
qui est un isomorphisme si et seulement si $n$ et $m$ sont premiers entre eux. Dans ce cas, on retrouve le lemme des reste chinois
$$ \ZZ /nm \ZZ \xrightarrow{\sim} \ZZ/n\ZZ \times \ZZ/m\ZZ.$$

\noindent 
De la m\^eme mani\`ere, soient $I=(P)$ et $J=(Q)$ deux id\'eaux de $\KK[X]$ engendr\'es par deux polyn\^omes $P$ et $Q$ respectivement. On a $I\cap J= (\textrm{ppcm}(P,\,Q))$ et $I+J=(\textrm{pgcd}(P,\,Q))$.
D'o\`u, on a toujours un morphisme injectif d'anneaux 
$$ \KK[X] / (\textrm{ppcm}(P,\,Q)) \mono \KK[X] / (P) \times \KK[X] / (Q),$$
qui est un isomorphisme si et seulement si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux. Dans ce cas, on retrouve un lemme des reste chinois pour les polyn\^omes
$$ \KK[X] / (P.Q) \xrightarrow{\sim}\KK[X] / (P) \times \KK[X] / (Q) .$$


\medskip
\rm


\end{enumerate}

\end{ex}

\vfill

\end{document}
