Algèbre et Arithmétique Mathématiques L3 Université de Nice Sophia-Antipolis Année 2007-2008

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 5

IDÉAUX PREMIERS ET MAXIMAUX

Exercice 1 (Produit cartésien). Soit A et B deux anneaux commutatifs unitaires. On considère leur produit cartésien A × B. On rappelle que l’on munit ce produit cartésien d’une structure d’anneau de la manière suivante :

(a, b) + (a′, b′) := (a + a′, b + b′) et (a, b).(a′, b′) := (a.a′, b.b′).

Le neutre pour la somme est (0, 0) et le neutre pour le produit est (1, 1).

(1) Montrer que l’anneau produit A × B est intégre si et seulement si au moins un des deux anneaux A et B est intégre.

(2) Décrire l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau A × B.

(3) En conclure que le produit cartésien de deux anneaux (voire de deux corps) n’est en jamais un corps.

(4) Que se passe-t-il dans le cas des nombres complexes ?

Exercice 2 (Corps). Soit A un anneau commutatif unitaire. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.

(1) L’anneau A est un corps.

(2) Les seuls idéaux de A sont les idéaux triviaux {0} et A.

(3) Tout morphisme d’anneaux non identiquement nul f : A → B est injectif.

Exercice 3 (Lemme des restes chinois III). Soit I et J deux idéaux d’un anneau A.

(1) Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux injectif

Φ : A/I ∩ J → A/I × A/J.

(2) Montrer que le morphisme Φ est un isomorphisme si et seulement si I + J = A.

(3) Appliquer cet isomorphisme aux anneaux ℤ et 𝕂[X].

Exercice 4 (Idéaux de C(I)). On considère l’intervalle I = [0, 1] ⊂ ℝ et l’ensemble C(I) des fonctions continues de I dans ℝ. Avec l’addition (f + g)(x) := f(x) + g(x) et le produit (f.g)(x) := f(x).g(x) des fonctions, C(I) est un anneau.

(1) Quel est le neutre pour le produit ? Quels sont les éléments inversibles de C(I) ?

(2) Quelle est la forme des idéaux maximaux de C(I) ?

(3) Soit 𝔪 un idéal maximal de C(I). A quel anneau est isomorphe le quotient C(I)/𝔪?

Exercice 5 (Topologie de Zariski). Soit A un anneau commutatif unitaire. On considère l’ensemble Spec A des idéaux premiers (≠ A) de A. Cet ensemble est appelé le spectre de A. On va munir cet ensemble d’une topologie de la manière suivante. Pour tout sous-ensemble E de A, on considère l’ensemble

Z(E) := {𝔭 premier, E ⊂ 𝔭} ⊂ Spec A

des idéaux premiers de A contenant E.

(1) Montrer que Z(E) = Z((E)) = Z(Rad((E))), où (E) est l’idéal engendré par E et où Rad est le radical d’un idéal (cf. exercice 2, TD 4).

(2) Montrer que Z({0}) = Spec A et que Z(A) = ∅.

(3) Soit {E_{ω}}_{ω∈Ω} une famille de sous-ensembles de A. Montrer que

⋂_{ω∈Ω} Z(E_{ω}) = Z( ⋃_{ω∈Ω} E_{ω}).

(4) Soient I et J deux idéaux de A. Montrer que

Z(I) ∪ Z(J) = Z(IJ) = Z(I ∪ J).

Les relations des questions 2, 3 et 4 démontrent que les ensembles de la forme Z(E) sont des fermés pour une topologie sur Spec A. Cette dernière est appelée topologie de Zariski.

(5) Représenter graphiquement les espaces topologiques Spec ℤ, Spec ℝ, Spec ℂ[X] et Spec ℝ[X] et décrire leur topologie de Zariski.

(6) Montrer qu’un “point” 𝔭 ∈ Spec A est fermé si et seulement si 𝔭 est maximal.

Exercice 6 (Anneau local). Si un anneau A ne possède qu’un seul idéal maximal 𝔪, alors on dit que c’est un anneau local.

(1) Soit A un anneau et 𝔪 ≠ A un idéal de A tel que tout x ∈ A − 𝔪 soit inversible. Montrer que A est un anneau local et que 𝔪 est son unique idéal maximal.

(2) Soit A un anneau et 𝔪 un idéal maximal tel que tout élément de 1 + 𝔪 = {1 + x, x ∈ 𝔪} soit inversible. Montrer que A est local.

Exercice 7 (Radical et Jacobson). On considère le radical de Jacobson ℜ qui est l’intersection de tous les idéaux maximaux de A. Montrer que x ∈ ℜ si et seulement si 1 − xy est inversible pour tout y ∈ A.