% Feuille de TD 5 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 5}}$}
\author{\bf Id\'eaux premiers et maximaux}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}\\

\vskip10pt

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Produit cart\'esien]$\ $

Soit $A$ et $B$ deux anneaux commutatifs unitaires. On consid\`ere leur produit cart\'esien $A\times B$.
On rappelle que l'on munit ce produit cart\'esien d'une structure d'anneau de la mani\`ere suivante : 
\begin{eqnarray*}
(a,\, b)+(a',\, b') := (a+a', \, b+b') \quad \textrm{et} \quad (a,\, b).(a',\, b') := (a.a', \, b.b').
\end{eqnarray*}
Le neutre pour la somme est $(0,\, 0)$ et le neutre pour le produit est $(1,\, 1)$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'anneau produit $A\times B$ est int\'egre si et seulement si au moins un des deux anneaux $A$ et $B$ est  int\'egre.


\item D\'ecrire l'ensemble des \'el\'ements inversibles de l'anneau $A\times B$. 
    
\item     En conclure que le produit cart\'esien de deux anneaux (voire de deux corps) n'est en jamais un corps. 

\item Que se passe-t-il dans le cas des nombres complexes ? 
\end{enumerate}

\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Corps]$\ $

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. Montrer que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes.

\begin{enumerate}
\item L'anneau $A$ est un corps.

\item Les seuls id\'eaux de $A$ sont les id\'eaux triviaux $\lbrace 0 \rbrace$ et $A$.

\item Tout morphisme d'anneaux non identiquement nul $f \, :\, A \to B$ est injectif.
\end{enumerate}
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Lemme des restes chinois III]$\ $

Soit $I$ et $J$ deux id\'eaux d'un anneau $A$.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un morphisme d'anneaux injectif
$$\Phi \ : \ A/I\cap J \to A/I \times A/J.$$

\item Montrer que le morphisme $\Phi$ est un isomorphisme si et seulement si $I+J=A$.

\item Appliquer cet isomorphisme aux anneaux $\ZZ$ et $\KK[X]$.
\end{enumerate}

\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Id\'eaux de $\mathcal{C}(I)$]$\ $

On consid\`ere l'intervalle $I=[0, 1]\subset \RR$ et l'ensemble $\mathcal{C}(I)$ des fonctions continues de $I$ dans $\RR$. Avec l'addition $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ et le produit $(f.g)(x):=f(x).g(x)$ des fonctions, $\mathcal{C}(I)$ est un anneau.

\begin{enumerate}
\item Quel est le neutre pour le produit ? Quels sont les \'el\'ements inversibles de $\mathcal{C}(I)$ ?

\item Quelle est la forme des id\'eaux maximaux de $\mathcal{C}(I)$ ?

\item Soit $\mathfrak{m}$ un id\'eal maximal de $\mathcal{C}(I)$. A quel anneau est isomorphe le quotient $\mathcal{C}(I)/\mathfrak{m}$ ?
\end{enumerate}

\end{ex}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Topologie de Zariski]$\ $

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. On consid\`ere l'ensemble $\spec$ des id\'eaux premiers  ($\neq A$) de $A$. Cet ensemble est appel\'e le \emph{spectre} de $A$. 
On va munir cet ensemble d'une topologie de la mani\`ere suivante. Pour tout sous-ensemble $E$ de $A$, on consid\`ere l'ensemble $$Z(E):=\lbrace \mathfrak{p}\  \textrm{premier}, \, E\subset \mathfrak{p} \rbrace\subset \spec$$ des id\'eaux premiers de $A$ contenant $E$.


\begin{enumerate}
\item Montrer que $Z(E)=Z((E))=Z(\textrm{Rad}((E)))$, o\`u $(E)$ est l'id\'eal engendr\'e par $E$ et o\`u $\textrm{Rad}$ est le radical d'un id\'eal (cf.  exercice 2, TD 4). 
    
\item Montrer que $Z(\lbrace 0 \rbrace)=\spec$ et que $Z(A)=\emptyset$.

\item Soit $\lbrace E_\omega  \rbrace_{\omega \in \Omega}$ une famille de sous-ensembles de $A$. Montrer que    
         $$\bigcap_{\omega \in \Omega} Z(E_\omega) = Z (\bigcup_{\omega \in \Omega} E_\omega).$$  
    
    
\item Soient $I$ et $J$ deux id\'eaux de $A$. Montrer que 
$$Z(I)\cup Z(J)=Z(IJ)=Z(I\cup J) .$$

\noindent 
Les relations des questions $2$, $3$ et $4$ d\'emontrent que les ensembles de la forme $Z(E)$ sont des ferm\'es pour une topologie sur $\spec$. Cette derni\`ere est appel\'ee \emph{topologie de Zariski}. 

\item Repr\'esenter graphiquement les espaces topologiques $\spe \ZZ$, $\spe \RR$, $\spe \mathbb{C}[X]$ et $\spe \mathbb{R}[X]$ et d\'ecrire leur topologie de Zariski. 
    
\item Montrer qu'un ``point'' $\mathfrak{p} \in \spec$ est ferm\'e si et seulement si $\mathfrak{p}$ est maximal. 

\end{enumerate}

\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Anneau local]$\ $

Si un anneau $A$ ne poss\`ede qu'un seul id\'eal maximal $\mathfrak{m}$, alors on dit que c'est un \emph{anneau local}.

\begin{enumerate}
\item  Soit $A$ un anneau et $\mathfrak{m}\neq A$ un id\'eal de $A$ tel que tout $x\in A - \mathfrak{m}$ soit inversible. Montrer que $A$ est un anneau local et que $\mathfrak{m}$ est son unique id\'eal maximal.

\item Soit $A$ un anneau et $\mathfrak{m}$ un id\'eal maximal tel que tout \'el\'ement de $1+\mathfrak{m}=\lbrace 1+x, \, x\in \mathfrak{m}  \rbrace$ soit inversible. Montrer que $A$ est local.

\end{enumerate}

\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Radical et Jacobson]$\ $

On consid\`ere le \emph{radical de Jacobson} $\mathfrak{R}$ qui est l'intersection de tous les id\'eaux maximaux de $A$.

 Montrer que $x\in \mathfrak{R}$ si et seulement si $1-xy$ est inversible pour tout $y\in A$.

\end{ex}


\vfill

\end{document}
