% Feuille de TD 6 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 6}}$}
\author{\bf Arithm\'etique des anneaux}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}\\

\vskip10pt

\maketitle

On rappelle les deux th\'eor\`emes de transfert suivants. 

\begin{thm}
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. 

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $A$ est noetherien, alors $A[X]$ est noetherien {[Hilbert]}. 

\item[$\bullet$] Si $A$ est factoriel, alors $A[X]$ est factoriel {[Gauss]}. 
\end{itemize}
\end{thm}

\vskip.5cm
\hrule
\vskip1cm


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Division euclidienne dans $A\lbrack X \rbrack$]$\ $

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire int\'egre et soit $P\in A[X]$, $P\neq 0$, de coefficient dominant inversible.
\begin{enumerate}
\item Soit $F\in A[X]$, montrer qu'il existe $Q,R \in A[X]$, tels que l'on ait :
$$F=PQ+R \quad \textrm{et} \quad \textrm{deg}(R)<\textrm{deg}(P) \ \textrm{ou} \ R=0.$$
\end{enumerate}

\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[L'anneau des polyn\^omes \`a deux variables]$\ $

On consid\`ere l'anneau des polyn\^omes \`a deux variables $A=\KK[X,Y]$ sur un corps $\KK$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que le polyn\^ome $X$ est irr\'eductible dans $A$.

\item Montrer que $X$ et $Y$ sont premiers entre eux. 

\item Montrer que $\KK[X,Y]$ est factoriel mais pas principal. 
\end{enumerate}

\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[L'anneau $\ZZ\lbrack i\sqrt{5}\rbrack$] $\ $

On consid\`ere l'anneau $A=\ZZ[i\sqrt{5}]:=\lbrace a+ib\sqrt{5}; a,\, b \in \ZZ \rbrace$. On d\'efinit la \emph{norme} d'un \'el\'ement $z=a +ib\sqrt{5}$ par $N(z):=z.\bar{z}=a^2+5b^2$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la norme est multiplicative : $N(z.z')=N(z).N(z')$. 

\item Montrer que $N(z)=1$ si et seulement si $z$ est une unit\'e de $A$. 

\item Montrer que $A$ n'est pas factoriel. On pourra consid\'erer 
$(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})=6=2.3$. Donner un autre contre-exemple de ce type. 

\item Montrer que le quotient d'un anneau noetherien est noetherien. 

\item Montrer que l'anneau $A$ est isomorphe \`a $\ZZ[X]/(X^2+5)$. En conclure que $A$ est noetherien. 
\end{enumerate}

\end{ex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Un autre th\'eor\`eme de Fermat]$\ $

\smallskip

Montrer que les solutions de l'\'equation diophantienne $y^2+4=z^3$ sont $(\pm 11, \, 5)$ et $(\pm 2,\, 2)$.

\noindent

\underline{Indication} : Travailler dans l'anneau euclidien $\ZZ[i]$.

\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Courbe Alg\'ebrique]$\ $
On consid\`ere l'anneau $A=\mathbb{C}[X,Y]/(X^2-Y)$. On note par $x$ et $y$ les images de $X$ et de $Y$ par la projection canonique $\pi\, :\, \mathbb{C}[X,Y] \epi A$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $A$ est int\'egre.

\item Montrer qu'il existe un morphisme injectif $\varphi\, : A \to \mathbb{C}[T]$ tel que $\varphi(x)=T$ et  $\varphi(y)=T^2$.

\noindent
\underline{Indication} : On pourra consid\'erer le reste de la division euclidienne d'un polyn\^ome $P$ par $X^2-Y$ dans l'anneau $\mathbb{C}[Y][X]$.

\item Montrer que $A$ est isomorphe \`a $\mathbb{C}[T]$. En d\'eduire que $A$ est principal.
\end{enumerate}

\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Racines d'un polyn\^ome]$\ $

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. On dit que $\xi \in A$ est une \emph{racine} d'un polyn\^ome $P\in A[X]$ si $P(\xi)=0$.

\begin{enumerate}
\item Si $A$ est int\'egre, montrer que $\xi$ est une racine de $P$ si et seulement si $X-\xi$ divise $P$ dans $A[X]$.

\item En d\'eduire que, si $A$ est int\'egre, le nombre de racines d'un polyn\^ome $P$ est inf\'erieur ou \'egal \`a son degr\'e.

\item Donner un contre-exemple lorsque $A$ n'est pas int\'egre.

\item D\'eterminer les polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $3$ de $\ZZ/2\ZZ[X]$ et ceux de degr\'e $2$ de $\ZZ/3\ZZ[X]$.

\end{enumerate}

\end{ex}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Racine d'un polyn\^ome dans $Frac(A)$]$\ $

Soit $A$ un anneau factoriel et $P(X)=\sum_{i=0}^n a_i X^i \in A[X]$ un polyn\^ome de degr\'e $n$. Soit $r=\frac{p}{q}$ une racine de $P$ dans le corps des fractions de $A$ (cf. Exercice 3 de la Feuille 4), o\`u $p$ et $q$ sont premiers entre eux dans $A$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p$ divise $a_0$ et que $q$ divise $a_n$.

\item D\'eterminer si le polyn\^ome $P(X)=3X^3+2X^2+X+4$ est irr\'eductible sur $\QQ$.
\end{enumerate}

\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Irr\'eductibilit\'e des polyn\^omes modulo $p$]$\ $

Soit $p$ un nombre premier. On consid\`ere l'application $\pi\, :, \, \ZZ[X]\to \ZZ/p\ZZ[X]$, d\'efinie pour $P=a_nX^n+\cdots +a_1X+a_0$ par
$$\pi(a_nX^n+\cdots +a_1X+a_0):=\overline{P}=\overline{a_n}X^n+\cdots +\overline{a_1}X+\overline{a_0}.$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\pi$ est un morphisme d'anneaux surjectif. 

\item soit $P\in \ZZ[X]$ un polyn\^ome unitaire. Montrer que $\overline{P}$ irr\'eductible dans $\ZZ/p\ZZ[X]$ implique $P$ irr\'edictible dans $\ZZ[X]$. 
    
    \item Le polyn\^ome $P=X^4+2X^3+X+1$ est-il irr\'edictible dans $\ZZ[X]$ ? 
\end{enumerate}

\end{ex}








\vfill

\end{document}
