% DEBUT DES MACROS LOCALES

\def\d{\succ}
\def\g{\prec}
\def\l{\dashv }
\def\r{\vdash }
\def\u{\underline }
\def\b{\backslash }
\def\m{\, \bot\,  }
\def\YY{Y\!\!\!\! Y}
\def\TT{T\!\!\! T}
\def\SS{\Sigma}
\def\oo{\omega}
\def\OO{\Omega}
\def\dd{\delta}
\def\DD{\Delta}
\def\mm{{}^{-1}}
\def\ss{\sigma}
\def\aa{\alpha}
\def\bb{\beta}
\def\ee{\epsilon}
\def\rr{\rho}
\def\urr{{}^{(\rho)}}
\def\t{\otimes}
\def\tH{\underset{\textrm{H}}{\otimes}}
\def\P{\noindent \emph{Proof.} }
\def\Vtn{V^{\otimes n}}
\def\KSn{\KK[S_n]}
\def\gg{\mathfrak{g}}
\def\cc{\gamma}


\def\ue{universal enveloping }

%V tensor whatever
\newcommand{\Vt}[1]{V^{\otimes #1}}

%vecteur horizontal #1= variable #2= premier indice
%#3=dernier indice
\def\row#1#2#3{(#1_{#2},\ldots,#1_{#3})}

%K[S whatever]
\newcommand{\KS}[1]{\KK[S_{#1}]}

%billboard
\def\NN{{\mathbb{N}}}
\def\ZZ{{\mathbb{Z}}}
\def\QQ{{\mathbb{Q}}}
\def\RR{{\mathbb{R}}}
\def\CC{{\mathbb{C}}}
\def\RR{{\mathbb{R}}}
\def\YY{{\mathbb{Y}}}
%\def\TT{{\mathbb{T}}}

\def\HH{{\mathcal{H}}}
\def\CCC{{\mathcal{C}}}
\def\DDD{{\mathcal{D}}}
\def\MMM{{\mathcal{M}}}
\def\PP{{\mathcal{P}}}
\def\PPs{{\textrm{P}}}
\def\QQQ{{\mathcal{Q}}}
\def\RRR{{\mathcal{R}}}
\def\XXX{{\mathcal{X}}}
\def\KKK{{\mathcal{K}}}
\def\FFF{{\mathcal{F}}}
\def\NNN{{\mathcal{N}}}
\def\TTT{{\mathcal{T}}}

\def\Prim{\mathrm{Prim\, }}
\def\Id{\mathrm{Id }}
\def\Hom{\mathrm{Hom}}
\def\End{\mathrm{End}}
\def\sgn{\mathrm{sgn}}
\def\Ho{\mathrm{H}}
\def\Tw{\mathrm{Tw}}
\def\Kos{\mathrm{Kos}}

\def\epi{\twoheadrightarrow}
\def\mono{\rightarrowtail}

\def\Bi{\mathop{B_{\infty}}}
\def\eun{e^{(1)}}
\def\Im{\mathop{\rm Im }}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker }}
\def\Hom{\mathrm{\rm Hom }}
\def\Vect{\mathop{\rm Vect }}
\def\Ind{\mathop{\rm Ind }}
\def\END{\mathop{\rm End }}
\def\End{\mathop{\rm End }}
\def\ue{universal enveloping }
\def\dim{\mathop{\rm dim }}
\def\id{\mathrm{ id }}
\def\I{\mathrm{ I }}

\def\Min{\mathop{\rm Min }}
\def\Max{\mathop{\rm Max }}


\def\TTi{\TT_{\infty}}
\def\uu#1{{\underline #1}}
\def\DDo{\overline {\Delta}}
\def\HHo{\overline {\HH}}
\def\To{\overline {T}}
\def\So{\overline {S}}
\def\Ao{\overline {A}}
\def\Co{\overline {C}}
\def\PPo{\overline {\PP}}
\def\CCCo{\overline {\CCC}}


\def\ac{{}^{\scriptstyle \textrm{!`}}}
\def\alg{\textrm{-alg}}

\def\KK{\mathbb{K}}

\def\sm{{\bf S}-module }
\def\sms{{\bf S}-modules }
\def\dgsm{dg {\bf S}-module }
\def\dgsms{dg {\bf S}-modules }

\def\Sy{{\mathbb{S}}}

\def\co{\mathop{cone}}

\def\arbreA{\vcenter{\xymatrix@R=3pt@C=3pt{
&& \\
&*{}\ar@{-}[ur] \ar@{-}[ul] \ar@{-}[d]     &\\
&&
}}}

% Newenvironment

\newenvironment{proo}{\begin{trivlist} \item{\emph{Proof.}}}
  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}
\newenvironment{exer}{\begin{trivlist} \item{\bf{Exercise.}}}
  {\end{trivlist}}
\newenvironment{exam}{\begin{trivlist} \item{\bf{Example.}}}
  {\end{trivlist}}

\def\arbreA{\vcenter{\xymatrix@R=3pt@C=3pt{
&& \\
&*{}\ar@{-}[ur] \ar@{-}[ul] \ar@{-}[d]     &\\
&&
}}}

\def\arbreAgrand{\vcenter{\xymatrix@R=30pt@C=30pt{
&& \\
&*{}\ar@{-}[ur] \ar@{-}[ul] \ar@{-}[d]     &\\
&&
}}}

\def\arbreBA{\vcenter{\xymatrix@R=2pt@C=2pt{
&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&*{}\ar@{-}[uurr] \ar@{-}[uull] \ar@{-}[d]     &&\\
&&&&
}}}

\def\arbreAB{\vcenter{\xymatrix@R=2pt@C=2pt{
&&&&\\
&*{}\ar@{-}[ur] &&& \\
&&*{}\ar@{-}[uurr] \ar@{-}[uull] \ar@{-}[d]     &&\\
&&&&
}}}

\def\arbreBB{\vcenter{\xymatrix@R=2pt@C=2pt{
&&*{}&&\\
&&&& \\
&&*{}\ar@{-}[uurr] \ar@{-}[uull] \ar@{-}[d] \ar@{-}[uu]     &&\\
&&&&
}}}


\def\arbreBBbis{\vcenter{\xymatrix@R=4pt@C=4pt@M=0pt{
&&*{}&&\\
&&&& \\
&&*{}\ar@{-}[uurr] \ar@{-}[uull] \ar@{-}[d] \ar@{-}[uu]     &&\\
&&&& }}}


\def\arbreABC{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&*{}\ar@{-}[ur] &&&&& \\
&&*{}\ar@{-}[uurr] &&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreBAC{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[ul] &&& \\
&&*{}\ar@{-}[uurr] &&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreACA{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&*{}\ar@{-}[ur] &&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreCAB{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[ur] &&& \\
&&&&*{}\ar@{-}[uull] &&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}


\def\arbreCBA{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&&&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&&&*{}\ar@{-}[uull] &&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreAAC{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&&&&&& \\
&&*{}\ar@{-}[uurr]\ar@{-}[uu]  &&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreCAC{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[ul]\ar@{-}[ur] &&& \\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll]\ar@{-}[uu]  \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreACC{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&*{}\ar@{-}[ur] &&&&& \\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll]\ar@{-}[uuu]  \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreCBB{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&&&&&& \\
&&&&*{}\ar@{-}[uull]\ar@{-}[uu]  &&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}


\def\arbreCCA{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&&&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll]\ar@{-}[uuu]  \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreBBC{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&&&&&& \\
&&*{}\ar@{-}[uu] \ar@{-}[uurr] &&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr] \ar@{-}[uuulll] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreCCC{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
&&&&&& \\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr]  \ar@{-}[uuulll]\ar@{-}[uuul] \ar@{-}[uuur]  \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreCCCbis{\vcenter{\xymatrix@R=4pt@C=4pt@M=0pt{
&&&&&&\\
&&&&&& \\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuurrr]  \ar@{-}[uuulll]\ar@{-}[uuul] \ar@{-}[uuur]  \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&& }}}

\def\arbreBBDA{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
 &&&&&&\\
&&&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&*{}\ar@{-}[uu] \ar@{-}[uurr] \ar@{-}[uull] &&&&\\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuuurrr] \ar@{-}[uul] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreBBDAa{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
 \ar@{.}[rrrrrr]&&&&&&\\
&&&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&*{}\ar@{-}[uu] \ar@{-}[uurr] \ar@{-}[uull] &&&&\\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuuurrr] \ar@{-}[uul] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreBBDAb{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
&&&&&&\\
 \ar@{.}[rrrr]&&&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&*{}\ar@{-}[uu] \ar@{-}[uurr]\ar@{-}[uull]   &\ar@{.}[rrr]&&&\\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuuurrr] \ar@{-}[uul] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreBBDAc{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
 &&&& \ar@{.}[rr]&&\\
&&&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&*{}\ar@{-}[uu] \ar@{-}[uurr]\ar@{-}[uull]  &&&&\\
 \ar@{.}[rrr]&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuuurrr] \ar@{-}[uul] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreBBDAd{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
 &&&&&&\\
&&&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&*{}\ar@{-}[uu] \ar@{-}[uurr]\ar@{-}[uull]  &&&&\\
 \ar@{.}[rrrrrr]&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuuurrr] \ar@{-}[uul] \ar@{-}[d] &&&\\
&&&&&&
}}}

\def\arbreBBDAe{\vcenter{\xymatrix@R=1pt@C=1pt{
 &&&&&&\\
&&&&&*{}\ar@{-}[ul] & \\
&&*{}\ar@{-}[uu] \ar@{-}[uurr]\ar@{-}[uull]  &&&&\\
&&&&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[uuuurrr] \ar@{-}[uul] \ar@{-}[d] &&&\\
 \ar@{.}[rrrrrr]&&&&&&
}}}

\def\elecun{\vcenter{\xymatrix@R=6pt@C=6pt{
&&*{}\ar@{-}[d] &&&*{}\ar@{-}[dddd] \\
&&*{}\ar@{-}[dl] \ar@{-}[dr] &&&\\
&*{}\ar@{-}[dddd] &&*{}\ar@{-}[d] &&\\
&&&\bb \ar@{-}[d]&&\\
&&&*{}\ar@{-}[dr] &&*{}\ar@{-}[dl] \\
&&&&*{}\ar@{-}[dddd] &\\
&*{}\ar@{-}[dr] \ar@{-}[dl] &&&&\\
*{}\ar@{-}[dddd] &&*{}\ar@{-}[d] &&&\\
&&\aa \ar@{-}[d]&&&\\
&&*{}\ar@{-}[dr] &&*{}\ar@{-}[dl] &\\
&&&*{}\ar@{-}[d] &&\\
&&&*{}&&
}}}

\def\elecdeux{\vcenter{\xymatrix@R=6pt@C=6pt{
&&*{}\ar@{-}[dd] &&&*{}\ar@{-}[dddddd] \\
&&&&&\\
&&*{}\ar@{-}[dl] \ar@{-}[dr] &&&\\
&*{}\ar@{-}[dr] \ar@{-}[dl] &&*{}\ar@{-}[dd] &&\\
*{}\ar@{-}[ddddddd] &&*{}\ar@{-}[d]&&&\\
&&\aa \ar@{-}[dd]&\bb \ar@{-}[d]&&\\
&&&*{}\ar@{-}[dr] &&*{}\ar@{-}[dl] \\
&&*{}\ar@{-}[dr] &&*{}\ar@{-}[dl] &\\
&&&*{}\ar@{-}[ddd] &\\
&&&&&\\
&& &&&\\
&&&*{}&&
}}}

\def\electrois{\vcenter{\xymatrix@R=6pt@C=6pt{
&&*{}\ar@{-}[dd] &&&&*{}\ar@{-}[dddddd] \\
&&&&&&\\
&&*{}\ar@{-}[dl] \ar@{-}[ddrr] &&&&\\
&*{}\ar@{-}[dl] &&*{}\ar@{-}[dl] & &&\\
*{}\ar@{-}[ddddddd] &&*{}\ar@{-}[d]&&*{}\ar@{-}[d]&\\
&&\aa \ar@{-}[d]&&\bb \ar@{-}[d]&&\\
&&*{}\ar@{-}[dr] &&*{}\ar@{-}[dl] &&*{}\ar@{-}[dl] \\
&&&*{}\ar@{-}[dr] &&*{}\ar@{-}[dl] &\\
&&&&*{}\ar@{-}[ddd] &\\
&&&&&\\
&& &&&\\
&&&*{}&&
}}}

\def\elecquatre{\vcenter{\xymatrix@R=6pt@C=6pt{
&*{}\ar@{-}[d] &&&*{}\ar@{-}[ddddd] &&*{}\ar@{-}[ddddddd] &&*{}\ar@{-}[ddddddd]  \\
&*{}\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]  &&&  &&&&\\
*{}\ar@{-}[ddddd] &&*{}\ar@{-}[d] && &&&&\\
&&{\bullet}&& &= & & & &\\
&&{\bullet}\ar@{-}[d] && &&&&\\
&&*{}\ar@{-}[dr] &&*{}\ar@{-}[dl]  &&&&\\
&&&*{}\ar@{-}[d] & &&&&\\
&&&*{}& &&*{}&&*{}
}}}
