Algèbre et Arithmétique Mathématiques L3 Université de Nice Sophia-Antipolis Année 2008-2009

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 1

RAPPELS SUR LES GROUPES, ANNEAUX ET CORPS

1. Groupes

Définition 1 (Groupe). Un groupe (G, ⋆, e) est un ensemble G muni d’une loi de composition interne ⋆ : G × G → G telle que

• la loi ⋆ est associative, i.e. (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z), pour tout x, y, z ∈ G,

• il existe un élément neutre e, i.e. x ⋆ e = e ⋆ x = x, pour tout x ∈ G,

• tout élément a un inverse, i.e. pour tout x ∈ G il existe y ∈ G tel que x ⋆ y = y ⋆ x = e Lorsque la loi ⋆ est commutative, on parle de groupe commutatif ou de groupe abélien.

Définition 2 (Sous-groupe). Un sous-groupe d’un groupe G est un sous-ensemble H ⊂ G tel que e ∈ H et la restriction de la loi ⋆ à H lui confèrent une structure de groupe.

Proposition 1. Soit G un groupe et H ⊂ G un sous-ensemble. L’ensemble H est un sous-groupe de G si et seulement si H ≠ ∅ et pour tout couple (x, y) ∈ H^{2}, on a x ⋆ y^{−1} ∈ H.

Définition 3 (Morphisme de groupes). Soient (G, ⋆, e) et (G′, ⋆′, e′) deux groupes. Un morphisme de groupes est une application φ : G → G′ telle que φ(x ⋆ y) = φ(x) ⋆′ φ(y). Le noyau d’un morphisme de groupes φ est égal à

Ker φ := φ^{−1}({e′}) = {x ∈ G; φ(x) = e′}.

Exercice 1 (Injectivité et noyau). Montrer qu’un morphisme de groupes f : G → G′ est injectif, c’est-à-dire f(x) = f(y) implique x = y, si et seulement si le noyau de f est égal à {e}.

Exercice 2 (Le cercle unitaire).

(1) Montrer que l’application

ℝ → GL_{2}(ℝ) ; θ ↦ ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} )

est un morphisme de groupes.

(2) Quelle est son image ?

(3) Quel est son noyau ?

(4) Déterminer un isomorphisme de groupes de SO(2) sur U := {z ∈ ℂ; |z| = 1}.

Exercice 3 (Union et intersection de sous-groupes). Soit un G un groupe et soient H_{1} et H_{2} deux sous-groupes de G.

(1) Montrer que, pour que l’union H_{1} ∪ H_{2} soit un sous-groupe de G, il faut que H_{1} ⊂ H_{2} ou que H_{2} ⊂ H_{1}.

(2) Si les ordres de H_{1} et de H_{2} sont finis et premiers entre eux, décriver l’intersection H_{1}∩H_{2}.

Exercice 4 (Générateurs de 𝕊_{n}).

(1) Soit σ ∈ 𝕊_{n} une permutation de {1, …, n} et soit (a_{1}, …, a_{k}) un cycle de longueur k de 𝕊_{n}, avec a_{1}, …, a_{k} ∈ {1, …, n}. Que vaut le conjugué σ(a_{1}, …, a_{k})σ^{−1} ?

(2) Montrer que les familles suivantes sont des systèmes de générateurs du groupe symétrique

𝕊_{n}.

• S_{1} = {(1, 2), (1, 3), …, (1, n)}.

• S_{2} = {(1, 2), (2, 3), …, (n − 1, n)}.

• S_{3} = {(1, 2), (1, 2, 3, …, n)}.

2. Anneaux

Définition 4 (Anneau). Un anneau (A, +, .) est un ensemble A muni de deux lois de composition internes +, . : G × G → G telles que

• (A, +) est un groupe abélien,

• la loi . est associative,

• la loi . est distributive par rapport à la loi +, i.e. pour tout a, b, c ∈ A on a a.(b + c) = a.b + a.c et (a + b).c = a.c + b.c.

Si la loi . admet un élément neutre, on parle d’anneau unitaire. Si la loi . est commutative, on parle d’anneau commutatif. Un élément de A est dit inversible s’il l’est pour la loi . de A.

Le neutre de la loi + est souvent noté 0 et le neutre de la loi . est souvent noté 1.

Définition 5 (Anneau intégre). Un anneau est dit intégre s’il n’a pas de diviseur de zéro, i.e. si a.b = 0 alors a = 0 ou b = 0.

Définition 6 (Sous-anneau). Un sous-ensemble B ⊂ A d’un anneau A est un sous-anneau de A si les restrictions de + et de . à B en font un anneau.

Définition 7 (Idéal). Un sous-ensemble I ⊂ A d’un anneau A est un idéal de A si

• (I, +) est un sous-groupe de (A, +),

• pour tout x ∈ I et a ∈ A, on a a.x ∈ I et x.a ∈ I.

Définition 8 (Morphisme d’anneaux). Soient (A, +, .) et (A′, +′, .′) deux anneaux. Un morphisme d’anneaux est une application φ : A → A′ telle que φ(x+y) = φ(x)+′φ(y) et φ(x.y) = φ(x).′φ(y) pour tout x, y ∈ A. Le noyau d’un morphisme d’anneaux φ est égal à

Ker φ := φ^{−1}({0′}) = {x ∈ A; φ(x) = 0′}.

Exercice 5 (Image d’un idéal). Soit f : A → B un morphisme d’anneaux commutatifs unitaires.

(1) Montrer que l’image réciproque f^{−1}(I′) d’un idéal I′ de A′ est encore un idéal de A. Que peut-on dire du noyau de f ?

(2) Si on suppose que f soit surjectif, montrer que l’image de tout idéal I de A par f est un idéal de B.

(3) Donner un exemple de morphisme f : A → B et d’idéal I de A tel que f(I) ne soit pas un idéal de B.

Exercice 6 (Entiers de Gauss et entiers quadratiques).

(1) Montrer que ℤ[i] := {z = a + ib; a, b ∈ ℤ} est un sous-anneau de ℂ (appelé anneau des entiers de Gauss).

(2) Soit d ∈ ℕ. Montrer que ℤ[\sqrt{d}] := \{x = a + b\sqrt{d}; a, b ∈ ℤ\} est un sous-anneau de ℝ.

(3) Montrer que 2 n’est pas un carré dans ℤ[\sqrt{3}]. En déduire qu’il n’existe pas de morphismes d’anneaux de ℤ[\sqrt{2}] dans ℤ[\sqrt{3}].

3. Corps

Définition 9 (Corps). Un corps est un anneau commutatif (𝕂, +, .) [en France] tel que (𝕂−{0}, .) soit un groupe.

Exercice 7 (Idéaux d’un corps). Montrer qu’un anneau commutatif A différent de {0} est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont {0} et A.

Exercice 8 (Le corps des nombres complexes). Montrer que l’ensemble des matrices de la forme

( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) avec a, b ∈ ℝ est un sous-anneau commutatif de M_{2}(ℝ). Montrer que c’est un corps

isomorphe à ℂ, le corps des nombres complexes.

Exercice 9 (Corps des fractions). Soit A un anneau commutatif unitaire intègre. Sur l’ensemble X := A × (A − {0}), on considère la relation :

(n, d) R (n′, d′) si nd′ = n′d.

(1) Montrer que R est une relation d’équivalence.

On note Frac(A) l’ensemble des classes d’équivalence. Et on écrit \frac{n}{d} la classe de (n, d).

(2) Montrer que les deux lois de composition interne suivantes sont bien définies

\frac{n_{1}}{d_{1}} + \frac{n_{2}}{d_{2}} := \frac{n_{1}d_{2} + n_{2}d_{1}}{d_{1}d_{2}} et \frac{n_{1}}{d_{1}} .\frac{n_{2}}{d_{2}} := \frac{n_{1}n_{2}}{d_{1}d_{2}} .

(3) Montrer que Frac(A) est un corps. On appelle ce corps, le corps des fractions de A.

(4) Que se passe-t-il si A n’est pas intègre ?

(5) Décrire les corps de fractions Frac(ℤ), Frac(𝕂[X]), avec 𝕂 un corps, et Frac(𝕂).

(6) On considère l’application suivante

\{ \begin{matrix}ι : & A & → & Frac(A) \\ & a & ↦ & \frac{a}{1} \end{matrix}

Montrer que ι est un morphisme d’anneaux.

(7) (Propriété universelle des corps de fractions) Montrer que tout morphisme d’anneaux f : A → 𝕂, avec 𝕂 un corps, se factorise de manière unique en f = f̄∘ ι où f̄ : Frac(A) → 𝕂 est un morphisme de corps.

\xymatrix{A \ar[r]^{ι} \ar[dr]_{f} & Frac(A) \ar@{-->}[d]^{∃! f̄} \\  & 𝕂}

Cours : Bruno Vallette (brunov@unice.fr), TDs : Georges Elencwajg (elenc@unice.fr) et Bruno Vallette Page web du cours : Depuis http ://math.unice.fr/∼brunov, le lien vers le site du cours se trouve en bas de l’écran. (Pour la retrouver rapidement : Taper “Bruno Vallette” sur Google. Cliquer sur le premier lien proposé.)