% Feuille de TD 1 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 1}}$}
\author{\bf Rappels sur les groupes, anneaux et corps}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2008-2009}\\

\vskip10pt

\maketitle



\section{Groupes}

\begin{defi}[Groupe]
Un \emph{groupe} $(G, \star, e)$ est un ensemble $G$ muni d'une loi de composition interne $\star\, : \, G\times G \to G$ telle que
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] la loi $\star$ est associative, i.e. $(x\star y) \star z = x \star(y\star z)$, pour tout $x,y,z\in G$,

\item[$\bullet$] il existe un \emph{\'el\'ement neutre} $e$,  i.e. $x\star e=e\star x=x$, pour tout $x\in G$,

\item[$\bullet$] tout \'el\'ement a un \emph{inverse}, i.e. pour tout $x\in G$ il existe $y \in G$ tel que $x\star y=y\star x=e$
\end{itemize}

\smallskip

Lorsque la loi $\star$ est commutative, on parle de groupe \emph{commutatif} ou de groupe \emph{ab\'elien}.
\end{defi}

\begin{defi}[Sous-groupe]
Un \emph{sous-groupe} d'un groupe $G$ est un sous-ensemble $H\subset G$ tel que $e\in H$ et la restriction de la loi $\star$ \`a $H$ lui conf\`erent une structure de groupe. 
\end{defi}

\begin{prop}
Soit $G$ un groupe et $H\subset G$ un sous-ensemble. L'ensemble $H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H\neq \emptyset$ et pour tout couple $(x,y)\in H^{2}$, on a $x\star y^{-1}\in H$. 
\end{prop}

\begin{defi}[Morphisme de groupes]
Soient $(G, \star, e)$ et $(G', \star', e')$  deux groupes. Un \emph{morphisme de groupes} est une application 
$\varphi\, :\, G \to G'$ telle que $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\star' \varphi(y)$. 


Le \emph{noyau} d'un morphisme de groupes $\varphi$ est \'egal \`a 
$$\mathop{Ker} \varphi:=\varphi^{-1}(\{e'\})=\{x\in G; \varphi(x)=e' \}.$$
\end{defi}


\medskip
\hrule
\medskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Injectivit\'e et noyau]
Montrer qu'un morphisme de groupes $f\, : \, G \to G'$ est injectif, c'est-\`a-dire $f(x)=f(y)$ implique $x=y$, si et seulement si le noyau de $f$ est \'egal \`a $\{e\}$. 
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Le cercle unitaire]$\ $ 

\begin{enumerate}

\item Montrer que l'application 
$$\RR \to GL_2(\RR)\quad ;\quad \theta \mapsto \left( \begin{array}{cc} \cos \theta  & -\sin \theta \\ 
\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
est un morphisme de groupes.

\item Quelle est son image ? 

\item Quel est son noyau ? 

\item D\'eterminer un isomorphisme de groupes de $SO(2)$ sur $U:=\{ z\in \CC\, ; \, |z|=1\}$. 
\end{enumerate}
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Union et intersection de sous-groupes]$\ $

Soit un $G$ un groupe et soient $H_1$ et $H_2$ deux sous-groupes de $G$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour que l'union $H_1\cup H_2$ soit un sous-groupe de $G$, il faut que  $H_1 \subset H_2$ ou que $H_2 \subset H_1$.

    \item Si les ordres de $H_1$ et de $H_2$ sont finis et premiers entre eux, d\'ecriver l'intersection $H_1 \cap H_2$.
\end{enumerate}
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[G\'en\'erateurs de $\Sy_n$]$\ $

\begin{enumerate}
\item Soit $\sigma \in \Sy_n$ une permutation de $\lbrace 1, \ldots,\,  n\rbrace$ et soit $(a_1, \ldots, \, a_k)$ un cycle de longueur $k$ de $\Sy_n$, avec $a_1, \ldots, \, a_k \in \lbrace 1, \ldots,\, n\rbrace$. Que vaut le conjugu\'e $\sigma (a_1, \ldots, \, a_k) \sigma^{-1}$ ?

\item Montrer que les familles suivantes sont des syst\`emes de g\'en\'erateurs du groupe sym\'etrique $\Sy_n$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $S_1=\lbrace(1,\, 2),\, (1,\,3), \ldots,\, (1,\,n)\rbrace$.

\item[$\bullet$] $S_2=\lbrace(1,\, 2),\, (2,\,3), \ldots,\, (n-1,\,n)\rbrace$.

\item[$\bullet$] $S_3=\lbrace(1,\, 2),\, (1,\, 2,\, 3, \ldots,\, n) \rbrace$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Anneaux}

\begin{defi}[Anneau]
Un \emph{anneau} $(A, +, .)$ est un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes $+, . \, : \, G\times G \to G$ telles que
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $(A, +)$ est un groupe ab\'elien, 

\item[$\bullet$] la loi $.$ est associative,

\item[$\bullet$] la loi $.$ est distributive par rapport \`a la loi $+$, i.e. pour tout $a,b,c \in A$ on a $a.(b+c)=a.b+a.c$ et $(a+b).c=a.c+b.c$.
\end{itemize}
Si la loi $.$ admet un \'el\'ement neutre, on parle d'anneau \emph{unitaire}. Si la loi $.$ est commutative, on parle d'anneau \emph{commutatif}. Un \'el\'ement de $A$ est dit \emph{inversible} s'il l'est pour la loi $.$ de $A$. 
\end{defi}

Le neutre de la loi $+$ est souvent not\'e $0$ et le neutre de la loi $.$ est souvent not\'e $1$. 

\begin{defi}[Anneau int\'egre]
Un anneau est dit \emph{int\'egre} s'il n'a pas de diviseur de z\'ero, i.e. si $a.b=0$ alors $a=0$ ou $b=0$.
\end{defi}

\begin{defi}[Sous-anneau]
Un sous-ensemble $B\subset A$ d'un anneau $A$ est un \emph{sous-anneau} de $A$ si les restrictions de $+$ et de $.$ \`a $B$ en font un anneau. 
\end{defi}

\begin{defi}[Id\'eal]
Un sous-ensemble $I\subset A$ d'un anneau $A$ est un \emph{id\'eal} de $A$ si 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$,

\item[$\bullet$] pour tout $x\in I$ et $a\in A$, on a $a.x\in I $ et $x.a \in I$. 
\end{itemize}

\end{defi}

\begin{defi}[Morphisme d'anneaux]
Soient $(A, +, .)$ et $(A', +', .')$  deux anneaux. Un \emph{morphisme d'anneaux} est une application
$\varphi\, :\, A \to A'$ telle que $\varphi(x+y)=\varphi(x)+' \varphi(y)$ et $\varphi(x.y)=\varphi(x).' \varphi(y)$ pour tout $x,y \in A$. 


Le \emph{noyau} d'un morphisme d'anneaux $\varphi$ est \'egal \`a
$$\mathop{Ker} \varphi:=\varphi^{-1}(\{0'\})=\{x\in A; \varphi(x)=0' \}.$$
\end{defi}


\medskip
\hrule
\medskip





\begin{ex}[Image d'un id\'eal]$\ $

Soit $f\, :\, A \to B$ un morphisme d'anneaux commutatifs unitaires.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'image r\'eciproque $f^{-1}(I')$ d'un id\'eal $I'$ de $A'$ est encore un id\'eal de $A$. Que peut-on dire du noyau de $f$ ?

\item Si on suppose que $f$ soit surjectif, montrer que l'image de tout id\'eal $I$ de $A$ par $f$ est un id\'eal de $B$.

\item Donner un exemple de morphisme $f\, : A\to B$ et d'id\'eal $I$ de $A$ tel que $f(I)$ ne soit pas un id\'eal de $B$.
\end{enumerate}

\end{ex}

\begin{ex}[Entiers de Gauss et entiers quadratiques]$\ $

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\ZZ[i]:=\{ z=a+ib;\, a,b \in \ZZ\}$ est un sous-anneau de $\CC$ (appel\'e anneau des entiers de Gauss). 
    
\item Soit $d\in \NN$. Montrer que $\ZZ[\sqrt{d}]:=\{x=a+b\sqrt{d};\, a,b \in \ZZ\}$ est un sous-anneau de $\RR$.

\item Montrer que $2$ n'est pas un carr\'e dans $\ZZ[\sqrt{3}]$. En d\'eduire qu'il n'existe pas de morphismes d'anneaux de $\ZZ[\sqrt{2}]$ dans $\ZZ[\sqrt{3}]$. 
\end{enumerate}

\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Corps}



\begin{defi}[Corps]
Un \emph{corps} est un anneau commutatif $(\KK, +, .)$ [en France] tel que $(\KK-\{0\}, .)$ soit un groupe. 
\end{defi}

\medskip
\hrule
\medskip



\begin{ex}[Id\'eaux d'un corps]
Montrer qu'un anneau commutatif $A$ diff\'erent de $\{0\}$ est un corps si et seulement si ses seuls id\'eaux sont $\{0\}$ et $A$.
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{ex}[Le corps des nombres complexes]
Montrer que l'ensemble des matrices de la forme $\left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right)$ avec $a,b\in \RR$ est un sous-anneau commutatif de $M_2(\RR)$. Montrer que c'est un corps isomorphe \`a $\CC$, le corps des nombres complexes. 
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{ex}[Corps des fractions]$\ $

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire int\`egre. Sur l'ensemble $X:=A\times (A-\lbrace 0 \rbrace)$, on consid\`ere la relation :
$$(n,\,d) \, \mathcal{R} \, (n',\, d') \quad \textrm{si} \quad nd'=n'd.$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'\'equivalence.


\noindent
On note $\textrm{Frac}(A)$  l'ensemble des classes d'\'equivalence. Et on \'ecrit $\displaystyle \frac{n}{d}$ la classe de $(n,\, d)$.

\item Montrer que les deux lois de composition interne suivantes sont bien d\'efinies
$$\frac{n_1}{d_1}+\frac{n_2}{d_2}:=\frac{n_1d_2+n_2d_1}{d_1d_2} \quad \textrm{et} \quad
\frac{n_1}{d_1}.\frac{n_2}{d_2}:=\frac{n_1n_2}{d_1d_2}.$$

\item Montrer que $\textrm{Frac}(A)$ est un corps. On appelle ce corps, le \emph{corps des fractions de $A$}.

\item Que se passe-t-il si $A$ n'est pas int\`egre ?

\item D\'ecrire les corps de fractions $\textrm{Frac}(\ZZ)$, $\textrm{Frac}(\KK[X])$, avec $\KK$ un corps, et  $\textrm{Frac}(\KK)$.

\item On consid\`ere l'application suivante
$$\left\{ \begin{array}{cccc}
\iota  : &  A &\to& \textrm{Frac}(A)\\
 & a &\mapsto&  \displaystyle\frac{a}{1}
 \end{array} \right.$$

Montrer que $\iota$ est un morphisme d'anneaux.


\item(Propri\'et\'e universelle des corps de fractions) Montrer que tout morphisme d'anneaux $f\,:\, A \to \KK$, avec $\KK$ un corps, se factorise de mani\`ere unique en $f=\bar{f}\circ \iota$ o\`u $\bar{f}\, :\, \textrm{Frac}(A) \to \KK$ est un morphisme de corps.
$$\xymatrix{A \ar[r]^(0.4){\iota} \ar[dr]_{f}& \textrm{Frac}(A)\ar@{-->}[d]^{\exists ! \, \bar{f}}\\ & \KK} $$



\end{enumerate}
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%\begin{ex}$\ $

%\begin{enumerate}
%\item

%\end{enumerate}

%\end{ex}






\vfill

\vskip8pt

\hrule

\vskip14pt

\noindent
\textbf{Cours} : Bruno Vallette (\texttt{brunov@unice.fr}),
\textbf{TDs} : Georges Elencwajg (\texttt{elenc@unice.fr})
et Bruno Vallette

\noindent
\textbf{Page web du cours} :
Depuis \texttt{http://math.unice.fr/$\sim$brunov}, le lien vers le site du
cours se trouve en bas de l'\'ecran.

\noindent
(Pour la retrouver rapidement : Taper ``Bruno Vallette" sur Google.
Cliquer sur le premier lien propos\'e.)

\end{document}
