% Feuille de TD 2 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 2}}$}
\author{\bf G\'en\'erateurs de groupes and classes modulo un sous-groupe}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2008-2009}\\

\vskip10pt

\maketitle



%\section{G\'en\'erateurs}


\begin{ex}[Produit de groupes cycliques]$\ $


Soient deux groupes cycliques $C_1$ et $C_2$ d'ordre respectivement $p$ et $q$ premiers entre eux.
[On rappelle que le produit $C_1\times C_2$ de deux groupes est d\'efini par le produit suivant
$(a_1, a_2).(b_1, b_2):=(a_1.b_1, a_2.b_2)$.]

\begin{enumerate}
\item Montrer que le produit $C_1\times C_2$ est encore un groupe cyclique et en donner un g\'en\'erateur.

\item Sachant que tout groupe cyclique d'ordre $n$ est isomorphe \`a $\ZZ/n\ZZ$, quel th\'eor\`eme venez-vous de red\'emontrer ?
\end{enumerate}
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Le groupe di\'edral $D_6$]$\ $

On consid\`ere les matrices suivantes de $GL_2(\RR)$ :
$$\sigma:=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \end{array} \right) \quad \quad \textrm{et} \quad \quad \rho:=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1 \end{array} \right).$$

\begin{enumerate}
\item Interpr\'eter g\'eom\'etriquement $\sigma$ et $\rho$ comme transformations du plan.

\item Quel est l'ordre de $\sigma$ et de $\rho$ ?

\item Pouvait-on pr\'evoir ce r\'esultat avec le th\'eor\`eme de Lagrange ?

\item Montrer que $\sigma \circ \rho = \rho^5 \circ \sigma$.

\item D\'ecrire le sous-groupe de $GL_2(\RR)$ engendr\'e par $\sigma$ et $\rho$.

\noindent
Ce groupe est le \emph{groupe di\'edral $D_6$}. C'est le groupe des isom\'etries de l'hexagone r\'egulier.

\item Soit $H:=<\sigma>$ le sous-groupe de $D_6$ engendr\'e par $\sigma$. Combien y a-t-il dans  $D_6$ de classes  \`a gauche modulo $H$ ? D\'ecrivez les.

\item Appliquer le th\'eor\`eme de Cayley \`a $D_6$. Montrer que l'on peut affiner ce r\'esultat ici en d\'ecrivant un monomorphisme de groupes de $D_6$ dans  $\Sy_6$. Peut-il \^etre un isomorphisme ?

\item On consid\`ere le groupe di\'edral $D_3$ qui est le groupe des isom\'etries d'un triangle \'equilat\'eral.
Montrer que $D_6$ est isomorphe au produit direct $D_3\times \ZZ/2\ZZ$.

\end{enumerate}

\end{ex}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Le groupe sym\'etrique $\Sy_4$]
$\ $

\begin{enumerate}
\item Quel est le cardinal de $\Sy_4$ ?

\item Donner la liste de tous ses \'el\'ements.

\item Quel est l'ordre du cycle  $(1 2 3 4)$? Quel est le cardinal du groupe cyclique $H:=<(1 2 3 4)>$ engendr\'e par $(1 2 3 4)$ ?

\item Combien de classes \`a gauche modulo $H$  existe-t-il dans $\Sy_4$ ?

\item D\'ecrire $\Sy_4/H$. En donner des repr\'esentants.
\end{enumerate}
\end{ex}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Examen partiel, mars 2008]$\ $

On consid\`ere les deux matrices suivantes de $GL_2(\RR)$ :

$$ \alpha:=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\0  &1  \end{array}\right)\quad
\beta:=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\1  &0  \end{array}\right).   $$



\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre de $\alpha$ de $\beta$ et de $\alpha\beta$.

\item Supposons que le sous-groupe $\mathbb{B}_2:=<\alpha,\, \beta>$ de $GL_2(\RR)$ engendr\'e par $\alpha$ et $\beta$ soit de cardinal fini, que pouvez-vous dire sur ce cardinal ?

\item Donner une relation entre $\alpha\beta\alpha\beta$ et $\beta\alpha\beta\alpha$.

\item D\'ecrire le sous-groupe $\mathbb{B}_2$ engendr\'e par $\alpha$ et $\beta$. Donner la liste des \'el\'ements qu'il contient sous la forme de mots en $\alpha$ et $\beta$.


\item Donner la liste des sous-groupes de $\mathbb{B}_2$.


%\item On rappelle que $\mathbb{H}_8$ est le groupe \`a $8$ \'el\'ements suivant
%$$\mathbb{H}_8:=\lbrace I,\, -I,\, A,\, -A,\, B,\, -B,\, C,\, -C  \rbrace, $$
%avec pour relations
%$$\left\{ \begin{array}{ccccc}
%AB=C, && A^2=-I, && AB=-BA, \\
%BC=A, && B^2=-I, && BC=-CB, \\
%CA=B, && C^2=-I, && CA=-AC.
%\end{array}\right.$$


% \noindent
% Est-ce-que $\mathbb{B}_2$ est isomorphe \`a $\mathbb{H}_8$ ?



\noindent
On consid\`ere l'action naturelle de $\mathbb{B}_2$ sur les vecteurs du plan $\RR^2$ : pour $M\in \RR^2$ et $\gamma\in \mathbb{B}_2\subset GL_2(\RR)$, on d\'efinit $\gamma.M:=\gamma(M)$, o\`u $\gamma$ est vu comme l'isomorphisme associ\'e dans la base canonique.

\item Pour tout vecteur non nul $M$ de $\RR^2-\{0\}$, d\'ecrire son orbite pour l'action de $\mathbb{B}_2$. Combien contient-elle de points ?


\noindent
\underline{Indication} : Un dessin sera appr\'eci\'e.

\item Interpr\'eter $\mathbb{B}_2$ g\'eom\'etriquement comme groupe de transformation du plan.

\item On consid\`ere le sous-groupe  $N:=\lbrace I,\, \alpha\beta,\, \beta\alpha,\, \alpha\beta\alpha\beta    \rbrace$. Montrer qu'il est distingu\'e dans $\mathbb{B}_2$.

\item  Montrer que $\mathbb{B}_2/N$ est isomorphe \`a un sous-groupe de $\mathbb{B}_2$, que l'on pr\'ecisera.

\item Est-ce-que $\mathbb{B}_2$ est isomorphe \`a $\ZZ/4\ZZ \times \ZZ/2\ZZ$ ?

\end{enumerate}
\end{ex}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[G\'en\'erateurs de $GL_n(\RR)$]


On consid\`ere les trois familles de matrices de $M_n(\RR)$ suivantes :

\begin{itemize}

\item[$\bullet$] \emph{Transvections :} matrices $M$ telles que tous les $M_{ij}=0$ sauf $M_{ii}=1$ et eventuellement pour un seul couple $(i,j)$ avec $i\neq j$,

\item[$\bullet$] \emph{Dilatations :} matrices diagonales avec des coefficients non nuls sur la diagonale,

\item[$\bullet$] \emph{Permutations :} matrices associ\'ees aux permutations de $\Sy_n$, i.e. pour $\sigma\in \Sy_n$, $M(\sigma)_{i \sigma(i)}=1$ pour tout $1\leq i \leq n$ et $M(\sigma)_{ij}=0$ sinon.

\end{itemize}

\begin{enumerate}

\item Montrer que les matrices de chacune de ces familles sont inversibles.

\item Pour chacune de ces familles, d\'ecrire l'effet de la multiplication \`a gauche et \`a droite d'une matrice de cette famille sur une matrice quelconque.

\item Montrer ces trois familles de matrices engendrent $GL_n(\RR)$.

\item Soit $H$ le sous-groupe de $GL_n(\RR)$ engendr\'e par les transvections et les permutations.  D\'ecrire les classes de $GL_n(\RR)$ module $H$ \`a gauche et \`a droite. D\'ecrire un syst\`eme de repr\'esentants.

\end{enumerate}
\end{ex}






\end{document}
