% Feuille de TD 2 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2007-2008

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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 3}}$}
\author{\bf Action de groupes}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2008-2009}\\

\vskip10pt

\maketitle







\begin{ex}[Espace projectif]$\ $

On consid\`ere l'action suivante du groupe multiplicatif $\RR^*$ sur $\RR^n\backslash\{0\}$ :
$$  \begin{array}{ccc}
\RR^*\times \RR^n\backslash\{0\} & \to & \RR^n\backslash\{0\} \\
\big(\lambda; (x_1, \ldots, x_n)   \big) & \mapsto & (\lambda.x_1, \ldots, \lambda.x_n)
 \end{array}  $$

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il s'agit d'une action de groupe.

\item  D\'ecrire l'ensemble quotient, c'est-\`a-dire l'ensemble des orbites,  lorsque $n$ vaut $1$, $2$ ou $3$.

\item Dans chacun des cas pr\'ec\'edents, dire si l'action est transitive, simplement transitive, fid\`ele.


\item Pour $n=1,2\  \textrm{ou}\ 3$, donner un syst\`eme de repr\'esentants de l'ensemble quotient.
\end{enumerate}
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[\'Equation aux classes]$\ $

Soit $G$ un groupe fini op\'erant sur un ensemble fini $X$. Soit $\Theta$ un syst\`eme de repr\'esentants des orbites. Montrer que
$$|X|=\sum_{x\in \Theta} |G.x|=\sum_{x\in \Theta} \frac{|G|}{|G_x|}\, . $$
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Action par conjugaison]$\ $

Soit $(G, *, e)$ un groupe fini.
\begin{enumerate}
\item On d\'efinit l'application suivante
$$ \xymatrix@R=0pt@C=20pt{G\times G \ar[r] & G \\
 (g,\, x) \ar@{|->}[r] & g.x:=g*x*g^{-1}.}$$
Montrer qu'il s'agit d'une action du groupe $G$ sur lui-m\^eme.

\item Lorsque qu'un groupe $G$ agit sur un ensemble $X$, on appelle \emph{points fixes} les \'el\'ements de $X$ qui sont invariants sous l'action de $G$; ils forment l'ensemble $\{x\in X\, |\,  g.x=x, \forall g\in G \}$. D\'ecrire les points fixes de l'action par conjugaison d'un groupe $G$ sur lui-m\^eme.

\item Dans le cas $G=\Sy_4$, d\'ecrire les orbites et les stabilisateurs.


\item Combien y a-t-il d'orbites pour l'action par conjugaison de $\Sy_{10}$ sur lui-m\^eme ?


\item Appliquer l'\'equation aux classes \`a cette action pour montrer qu'il existe une famille finie $\lbrace H_i \rbrace_{i\in I}$ de sous-groupes stricts de $G$ (i.e. $\neq \lbrace 1_G \rbrace$ et $\neq G$) telle que
    $$|G|=|Z(G)|+\sum_{i\in I} \frac{|G|}{|H_i|}. $$

\noindent
 Supposons maintenant que le cardinal de $G$ soit \'egal \`a $p^r$ avec $p$ un nombre premier. On dit que $G$ est un \emph{$p$-groupe}.

\item Montrer que le centre de $G$ n'est pas r\'eduit au neutre. Pour cela montrer qu'il a au moins $p$ \'el\'ements.

\item  D\'ecrire $G$ lorsque $r=1$. Montrer que $G$ est ab\'elien lorsque $r=2$. D\'eterminer tous les groupes ab\'eliens d'ordre $p^{\, 2}$.

\end{enumerate}
\end{ex}



\begin{ex}[Nombre d'orbites : Formule de Burnside-Frobenius]$\ $

Soit $G$ un groupe fini agissant sur un ensemble fini $X$. Montrer que le nombre d'orbites est \'egal \`a
$$\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G}|X^g|, $$
o\`u $X^g:=\lbrace x\in X \, ; \,  g.x=x \rbrace$ est l'ensemble des \'el\'ements de $X$ invariants sous l'action de $g$.

\noindent
\underline{Indication} : On pourra calculer le cardinal de l'ensemble $\lbrace (g,x)\in G \times X \, ;\,  g.x=x  \rbrace$ de deux mani\`eres diff\'erentes.
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Les bagues de Suleima]$\ $

Le fianc\'e de Suleima, orf\`evre arithm\'eticien, pr\'epare dans son atelier une bague pour sa bien-aim\'ee. Il a en effet promis, comme preuve d'amour, de lui offrir chaque mois une bague diff\'erente. Les bagues qu'il confectionne sont en or et incrust\'ees d'\'emeraudes, de saphirs ou de rubis. Chaque bague a six pierres pr\'ecieuses r\'eguli\`erement r\'eparties et qui se distingue des autres uniquement par l'ordonnancement des pierres qu'elle comporte.\\

Pendant combien de temps Suleima pourra-t-elle \^etre rassur\'ee sur l'amour que lui voue son futur mari ?\\

\noindent
\underline{Indication} : On pourra faire op\'erer le groupe di\'edral $D_6$ sur l'ensemble des hexagones r\'eguliers dont les sommets sont indic\'es par $\{E, S, R\}$ et appliquer le r\'esultat de l'exercice pr\'ec\'edent.
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Coloriage du cube]$\ $

Combien y a-t-il de mani\`eres diff\'erentes de colorier des sommets d'un cube avec 3 couleurs ?
\end{ex}

\end{document}
