% Feuille de TD 4 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2008-2009

\documentclass{amsart}[14pt]

%Package

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{a4wide}
%\usepackage{fancyhdr}


\input{Macros.tex}


%  Parameters

\setlength{\parindent}{0pt}
\linespread{1.3}
%\addtolength{\headsep}{0.5cm}


%  Newtheorem
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{ex}{\bf Exercice}
\newtheorem{defi}{D\'efinition}
\newtheorem{prop}{Proposition}

% Newenvironment

%\newenvironment{proo}{\begin{trivlist} \item{\sc {Proof.}}}
%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

%  Newcommand



\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 4}}$}
\author{\bf Sous-groupes distingu\'es et groupes quotients}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2008-2009}\\

\vskip10pt

\maketitle


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Le groupe di\'edral $D_6$ {[suite]}]$\ $

On reprend l'\'enonc\'e de l'exercice $2$ de la feuille de Travaux Dirig\'es $2$. Soit $H:=<\sigma>$ le sous-groupe de $D_6$ engendr\'e par $\sigma$.

\begin{enumerate}

\item Le sous-groupe $H$ est-il distingu\'e dans $D_6$ ?

\item Existe-t-il une structure de groupe sur $D_6/H$ telle que la projection canonique $\pi \,:\, D_6 \epi D_6/H$ soit un morphisme de groupes ?

\item Donner deux paires $(a,b)$ et $(a', b')$ d'\'el\'ements de $D_6$ tels que $a$ et $a'$ (respectivement $b$ et $b'$) soient dans la m\^eme classe \`a gauche modulo $H$ et tels  que $a.b$ ne soient pas dans le m\^eme classe que $a'.b'$ module $H$.

\smallskip
\noindent On consid\`ere le sous-ensemble $R:=SO(2)\cap D_6$ de $D_6$ form\'e des seules rotations.

\item  Pourquoi $R$ est-il un sous-groupe de $D_6$ ?

\item Montrer que $R$ est un sous-groupe distingu\'e des $D_6$ de deux mani\`eres diff\'erentes.

\item D\'ecrire le groupe quotient $D_6/R$. \`A quel groupe connu, ce quotient est-il isomorphe ?

\item D\'ecrire le produit dans le groupe quotient $D_6/R$  \`a l'aide de  repr\'esentants quelconques de deux classes.

\item Donner un syst\`eme de repr\'esentants $\Theta\subset D_6$ des classes \`a gauche modulo $R$.

\item Est-il possible de trouver un syst\`eme de repr\'esentants qui forme un sous-groupe de $D_6$ ? Dans ce cas, \`a quoi est isomorphe le groupe quotient $D_6/R$ ?

\end{enumerate}
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Le groupe sym\'etrique $\Sy_4$ {[suite]}]
$\ $

On reprend l'exercice $3$ de la feuille de Travaux Dirig\'es $2$. Soit $H:=<(1 2 3 4)>$ le sous-groupe engendr\'e par $(1 2 3 4)$.

\begin{enumerate}
\item Le sous-groupe $H$ est-il distingu\'e non trivial de $\Sy_4$ ? 


\item Donner un sous-groupe distingu\'e de $\Sy_4$. 

\item D\'ecrire le groupe quotient associ\'e. 
\end{enumerate}
\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[L'exemple $\ZZ$ et $\ZZ/n\ZZ$]$\ $


\begin{enumerate}
\item Soit $n\in \ZZ$, montrer que $n\ZZ:=\lbrace n.k, \, k\in \ZZ   \rbrace$ est un sous-groupe de $(\ZZ, +,\, 0)$.
    
\item Pourquoi $n\ZZ$ est-il un sous-groupe distingu\'e de $\ZZ$ ?    
\item Montrer que tous les sous-groupes de $\ZZ$ sont de cette forme.

\smallskip

\noindent
Comme dans le cours, on note $(\ZZ/n\ZZ, \bar{+},\, n\ZZ)$ le groupe quotient. Pour tout $k\in \ZZ$, on notera $\bar{k}$ la classe $k+n\ZZ$ de $k$ modulo $n$.

\item D\'emontrer que $\ZZ/n\ZZ$ est un groupe ab\'elien.

\item Que vaut $\overline{137}\bar{+}\overline{212}$ dans $\ZZ/13\ZZ$ ?

\item ``Arithm\'etique horlog\`ere'' [Gauss]

\noindent
Je dois partir demain pour San Fransisco \`a 9 heures. Le train mettra 126 heures pour relier Nice \`a Vladivostok. Il faudra ensuite 358 heures au bateau pour franchir le Golden Gate Bridge. En arrivant au Pier 1, vais-je pouvoir boire mon caf\'e favori au Farmer Market dont les horaires d'ouverture sont 7 heures - 13 heures ?
\end{enumerate}

\end{ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Groupe sym\'etrique, groupe altern\'e]$\ $

\begin{enumerate}
\item Montrer que le groupe altern\'e $\mathcal{A}_n:=\lbrace \sigma\in \mathfrak{S}_n \, ; \, \textrm{sgn}(\sigma)=1   \rbrace$ est un sous-groupe distingu\'e du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_n$.

\item D\'ecrire l'ensemble quotient $\mathfrak{S}_n/\mathcal{A}_n$ et en donner un syst\`eme de repr\'esentants.

\item \`A quel groupe est isomorphe le groupe quotient $\mathfrak{S}_n/\mathcal{A}_n$ ?

\end{enumerate}
\end{ex}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}$\ $

\begin{enumerate}
\item Montrer que $(\QQ/\ZZ, \bar{+})$ est un \emph{groupe de torsion}, c'est-\`a-dire que tous ses \'el\'ements ont un ordre fini.

\item Montrer que $\QQ/\ZZ$ poss\`ede un unique sous-groupe d'ordre $n$ pour tout $n\in \NN^*$ et qu'il est cyclique.
\end{enumerate}

\end{ex}




\end{document}
