% Feuille de TD 6 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2008-2009

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\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 6}}$}
\author{\bf Propri\'et\'e universelle des groupes quotients, sections et produits}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2008-2009}\\

\vskip10pt

\maketitle




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Th\'eor\`eme des restes chinois]$\ $

Soient deux nombres entiers $p$ et $q$ premiers entre eux.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\ZZ/pq\ZZ$ est isomorphe au produit $\ZZ/p\ZZ\times \ZZ/q\ZZ$.

\item Un g\'en\'eral chinois est parti pour une bataille avec 386 soldats. A la fin du combat, il souhaite compter ses troupes. Il leur ordonne de se mettre en rang de $p$ soldats et il note le nombre de soldats formant la derni\`ere rang\'ee. Puis il proc\`ede de m\^eme mais en les faisant se mettre en rang de $q$ soldats. Quelles valeurs de $p$ et $q$ doit-il prendre ? Expliquer comment il s'y prend finalement pour compter pr\'ecisement ses soldats.

\item Que peut-on dire si $p$ n'est pas premier avec $q$ ?

\noindent
(On pourra consid\`erer $\ZZ/4\ZZ$ et $\ZZ/2\ZZ\times\ZZ/2\ZZ$.)

\end{enumerate}

\end{ex}


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\begin{ex}[Produit et quotient]$\ $

On rappelle que le \emph{produit} de deux groupes $G_1$ et $G_2$ est d\'efini par la loi de composition interne
$$(g_1, g_2).(h_1,h_2):=(g_1.h_1, g_2.h_2) $$
sur le produit cart\'esien des ensembles sous-jacents $G:=G_1\times G_2$. Les groupes $G_1$ et $G_2$ s'injectent dans le produit $G$ par 
\begin{eqnarray*}
i_1\, :\, G_1 \mono G_1\times G_2, \quad   g_1\mapsto (g_1, e_2),  \\
i_2\, :\, G_2 \mono G_1\times G_2, \quad   g_2\mapsto (e_1, g_2),  \\
\end{eqnarray*}
o\`u $e_1$ et $e_2$ sont les neutres de $G_1$ et $G_2$ respectivement. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'image de $i_1$, not\'ee $\overline{G}_1$ est un sous-groupe distingu\'e de $G$. 

\item Donner un syst\`eme de repr\'esentants du quotient $G/\overline{G}_1$ qui soit un sous-groupe de $G$, donner un sous-groupe de $G$ qui soit isomorphe au groupe quotient $G/\overline{G}_1$ et donner une section du groupe quotient $G/\overline{G}_1$.
    
\item Est-il possible de trouver un syst\`eme de repr\'esentants du quotient    $G/\overline{G}_1$ qui soit un sous-groupe distingu\'e de $G$ ? 
    
\item Montrer qu'un groupe $G$ est isomorphe \`a un produit de groupes $G\cong G_1\times G_2$ si et seulement si il existe dans $G$ un sous-groupe distingu\'e $N$ isomorphe \`a $G_1$ et dont le groupe quotient $G/N$ admet un syst\`eme de repr\'esentants $S$ qui soit un sous-groupe distingu\'e isomorphe \`a $G_2$.

\end{enumerate}

\end{ex}



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\begin{ex}[Groupes di\'edraux {[suite]}]$\ $

On reprend l'exemple du groupe di\'edral $D_6$ (Exercice 2, Feuille de TD2). On consid\`ere le groupe di\'edral $D_3$ qui est le groupe des isom\'etries d'un triangle \'equilat\'eral.

Montrer que $D_6$ est isomorphe au produit direct $D_3\times \ZZ/2\ZZ$.
\end{ex}


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\begin{ex}[Groupe sym\'etrique, groupe altern\'e {[suite]}]$\ $

On reprend l'exercice 4 de la feuille de Travaux Dirig\'es $4$. On rappelle que le sous-groupe altern\'e $\mathcal{A}_n:=\lbrace \sigma\in \mathfrak{S}_n \, ; \, \textrm{sgn}(\sigma)=1   \rbrace$ est un sous-groupe distingu\'e du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_n$ et le quotient $ \mathfrak{S}_n/\mathcal{A}_n$ est isomorphe au groupe $\ZZ/2\ZZ$.

\begin{enumerate}

\item D\'eterminer une section du quotient $\mathfrak{S}_n/\mathcal{A}_n$. Est-il possible de trouver une section dont l'image soit un sous-groupe distingu\'e de $\mathfrak{S}_n$ ?


\item Le groupe $\mathfrak{S}_n$ est-il isomorphe au produit direct $\mathcal{A}_n \times \ZZ/2\ZZ$ ?
\end{enumerate}
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{ex}$\ $

\begin{enumerate}
\item Montrer que le groupe ab\'elien $(\QQ, +, 0)$ n'a pas de sous-groupe isomorphe \`a $\ZZ^2$.

\item Montrer que $\QQ$ n'est pas isomorphe \`a $\QQ^2$.

\item \'Ecrire $\RR$ comme somme directe de copies de $\QQ$.

\item Montrer que $\RR$ est isomorphe \`a $\RR^2$.

\end{enumerate}

\end{ex}


\end{document}


