% Feuille de TD 7 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2008-2009

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%  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 7}}$}
\author{\bf Espaces vectoriels quotients et anneaux quotients}



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2008-2009}\\

\vskip10pt

\maketitle

\section{Anneaux}

\begin{defi}[Anneau]
Un \emph{anneau} $(A, +, .)$ est un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes $+, . \, : \, G\times G \to G$ telles que
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $(A, +)$ est un groupe ab\'elien,

\item[$\bullet$] la loi $.$ est associative,

\item[$\bullet$] la loi $.$ est distributive par rapport \`a la loi $+$, i.e. pour tout $a,b,c \in A$ on a $a.(b+c)=a.b+a.c$ et $(a+b).c=a.c+b.c$.
\end{itemize}
Si la loi $.$ admet un \'el\'ement neutre, on parle d'anneau \emph{unitaire}. Si la loi $.$ est commutative, on parle d'anneau \emph{commutatif}. Un \'el\'ement de $A$ est dit \emph{inversible} s'il l'est pour la loi $.$ de $A$.
\end{defi}

Le neutre de la loi $+$ est souvent not\'e $0$ et le neutre de la loi $.$ est souvent not\'e $1$.

\begin{defi}[Anneau int\'egre]
Un anneau est dit \emph{int\'egre} s'il n'a pas de diviseur de z\'ero, i.e. si $a.b=0$ alors $a=0$ ou $b=0$.
\end{defi}

\begin{defi}[Sous-anneau]
Un sous-ensemble $B\subset A$ d'un anneau $A$ est un \emph{sous-anneau} de $A$ si les restrictions de $+$ et de $.$ \`a $B$ en font un anneau.
\end{defi}

\begin{defi}[Id\'eal]
Un sous-ensemble $I\subset A$ d'un anneau $A$ est un \emph{id\'eal} de $A$ si
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$,

\item[$\bullet$] pour tout $x\in I$ et $a\in A$, on a $a.x\in I $ et $x.a \in I$.
\end{itemize}

\end{defi}

\begin{defi}[Morphisme d'anneaux]
Soient $(A, +, .)$ et $(A', +', .')$  deux anneaux. Un \emph{morphisme d'anneaux} est une application
$\varphi\, :\, A \to A'$ telle que $\varphi(x+y)=\varphi(x)+' \varphi(y)$ et $\varphi(x.y)=\varphi(x).' \varphi(y)$ pour tout $x,y \in A$.



Le \emph{noyau} d'un morphisme d'anneaux $\varphi$ est \'egal \`a
$$\mathop{Ker} \varphi:=\varphi^{-1}(\{0'\})=\{x\in A; \varphi(x)=0' \}.$$
\end{defi}



\section{Corps}



\begin{defi}[Corps]
Un \emph{corps} est un anneau commutatif $(\KK, +, .)$ [en France] tel que $(\KK-\{0\}, .)$ soit un groupe, c'est-\`a-dire que tout \'el\'ement non nul est inversible pour la loi ``$.$''.
\end{defi}


\section{Espaces vectoriels}

On rappelle qu'un \emph{espace vectoriel} sur un corps $\KK$ est un groupe ab\'elien $(V, +, 0)$ muni d'une loi de composition externe (\emph{multiplication scalaire}) $\KK\times V \to V, \ (\lambda,\, u) \mapsto \lambda.\mu $ telle que
\begin{eqnarray*}
1.u&=&u\\
(\lambda \times \mu ). u &=& \lambda .(\mu. u)\\
(\lambda + \mu ). u &=& \lambda.u + \mu. u\\
\lambda.(u+v)&=&\lambda.u +\lambda.v
\end{eqnarray*}
pour tout $\lambda,\mu\in \KK$ et $u, v \in V$.


\bigskip

\hrule

\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Espaces vectoriels quotients]$\ $

Soit $V$ un espace vectoriel sur un corps $\KK$ et soit $W$ un sous-espace de $V$. Donc $W$ est en particulier un
sous-groupe dsitingu\'e de $(V, +,\, 0)$.

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere le groupe ab\'elien quotient $V/W$. Montrer qu'il existe une unique structure de $\KK$-espace vectoriel sur  $V/W$  telle que la projection $\pi\,  :\,
V \epi V/W$ soit une application lin\'eaire.

\item Pour $V=\RR^2$ et $W=\lbrace (x,\, 0),\, x\in \RR \rbrace$, \`a quoi correspondent graphiquement les \'elements de $V/W$ dans le plan affine.

\item Avec les coordonn\'ees canoniques de $\RR^2$, on d\'efinit l'application $s \, :\, V \to V$ par la formule
$s\big((x,y)\big):=(y,y)$. Montrer que $s$ d\'efinie une application lin\'eaire $\bar{s}\,:\, V/W \to V$ et interpr\'eter la graphiquement.

\item Que vaut $\pi \circ \bar{s}\, $ ? Interpr\'eter graphiquement la compos\'ee $\bar{s}\circ \pi$.

\item Si on pose $X:=(1,1).\RR$, \`a quoi est isomorphe $V$ (en fonction de $X$ et $W$) ?

\item Reprenez les questions pr\'ec\'edentes avec $V$ et $W$ quelconque.
\end{enumerate}

\end{ex}


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Anneaux quotients]$\ $

Soit $A$ un anneau et soit $I$ un sous-groupe du groupe ab\'elien $(A, +, 0)$. Donc $I$ est en particulier un
sous-groupe distingu\'e de $(A, +,\, 0)$.

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere le groupe ab\'elien quotient $A/I$. Montrer qu'il existe une unique structure de d'anneau  sur $A/I$  telle que la projection $\pi\,  :\,
A \epi A/I$ soit un morphisme d'anneaux.

\item Quels sont les seuls id\'eaux de l'anneau $\ZZ$  ? 

\item Pour tout $n\in \ZZ$, le groupe ab\'elien quotient $\ZZ/n\ZZ$ est aussi un anneau tel que la projection canonique $\ZZ \epi \ZZ/n\ZZ$ soit un morphisme d'anneaux. Qu'est-ce que cela signifie au niveau des calculs faits dans $\ZZ/n\ZZ$ ?
    
\item Que vaut $17*(31+111)$ modulo $9$ ?     

\end{enumerate}

\end{ex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{ex}[Id\'eaux premiers, id\'eaux maximaux]$\ $

On se place dans un anneau commutatif unitaire $A$. 

Un id\'eal $I$ est dit \emph{premier} si pour tout $x,y \in A$ tels que $x.y \in I$, alors on a $x\in I$ ou $y\in I$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $I$ est premier si et seulement si l'anneau quotient $A/I$ est int\`egre. 

\item D\'eterminer les id\'eaux premiers de $\ZZ$ et de $\KK[X]$. 


\noindent 
Un id\'eal $I$ est dit \emph{maximal} s'il l'est pour l'inclusion, c'est-\`a-dire si les seuls id\'eaux contenant $I$ sont $I$ et $A$.



\item  Montrer que $I$ est un id\'eal maximal si et seulement si l'anneau $A/I$ est un corps.
    
\item D\'eterminer les id\'eaux maximaux de $\ZZ$.    
    
\item Montrer que tout id\'eal maximal est premier. 

\item R\'eciproquement, si $A$ est principal, montrer qu'un id\'eal premier $I\neq \{ 0\}$ est maximal. 

\item L'anneau $\ZZ$ est-il principal ? 

\item L'anneau $\KK[X]$ est-il principal ?
\end{enumerate}

\end{ex}

\end{document}