% Feuille de TD 8 Algebre et Arithmetique, Licence 3, 2008-2009

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\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 8}}$}
\author{\bf Polyn\^omes et extension de corps }



\begin{document}


{\sc Alg\`ebre et Arithm\'etique} \hfill {\sc Math\'ematiques L3}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Ann\'ee 2008-2009}\\

\vskip10pt

\maketitle



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ex}[Corps]$\ $

Soit $A$ un anneau. Montrer que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes.

\begin{enumerate}
\item L'anneau $A$ est un corps.

\item Les seuls id\'eaux de $A$ sont les id\'eaux triviaux $\lbrace 0 \rbrace$ et $A$.

\item Tout morphisme d'anneaux non identiquement nul $f \, :\, A \to B$ est injectif.
\end{enumerate}
\end{ex}


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\begin{ex}[Division euclidienne dans $A\lbrack X \rbrack$]$\ $

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire int\'egre et soit $P\in A[X]$, $P\neq 0$, de coefficient dominant inversible.
\begin{enumerate}
\item Soit $F\in A[X]$, montrer qu'il existe $Q,R \in A[X]$, tels que l'on ait :
$$F=PQ+R \quad \textrm{et} \quad \textrm{deg}(R)<\textrm{deg}(P) \ \textrm{ou} \ R=0.$$
\end{enumerate}

\end{ex}

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\begin{ex}[Racines d'un polyn\^ome]$\ $

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. On dit que $\xi \in A$ est une \emph{racine} d'un polyn\^ome $P\in A[X]$ si $P(\xi)=0$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\xi$ est une racine de $P$ si et seulement si $X-\xi$ divise $P$ dans $A[X]$.

\item En d\'eduire que, si $A$ est int\'egre, le nombre de racines d'un polyn\^ome $P$ est inf\'erieur ou \'egal \`a son degr\'e.

\item Donner un contre-exemple lorsque $A$ n'est pas int\'egre.

\item D\'eterminer les polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $3$ de $\ZZ/2\ZZ[X]$ et ceux de degr\'e $2$ de $\ZZ/3\ZZ[X]$.

\end{enumerate}

\end{ex}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ex}[Racine rationnelle d'un polyn\^ome \`a coefficients entiers] $\ $

Soit $P(X)=\sum_{i=0}^n a_i X^i \in \ZZ[X]$ un polyn\^ome de degr\'e $n$. Soit $r=\frac{p}{q}$ une racine de $P$ dans le corps des fractions rationnelles $\QQ$, o\`u $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p$ divise $a_0$ et que $q$ divise $a_n$.

\item D\'eterminer si le polyn\^ome $P(X)=3X^3+2X^2+X+4$ est irr\'eductible sur $\QQ$.
\end{enumerate}

\end{ex}

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\begin{ex}[Extension de corps]$\ $

On consid\`ere l'extension de corps $\QQ \subset \CC$ et $\alpha:=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. 
\begin{enumerate}
\item Le nombre $\alpha$ est-il transcendant ou alg\'ebrique ?

\item Quel est le degr\'e de $\alpha$ sur $\QQ$ ?

\item Donner son polyn\^ome minimal. 

\item Montrer que l'anneau quotient $\QQ[X]/(X^4-10X^2+1)$ est un corps et qu'il est isomorphe \`a $\QQ[\alpha]$. 
\end{enumerate}

\end{ex}


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\end{document}