Licence de Sciences Économiques Année 2005-2006 Université de Nice Sophia-Antipolis Mathématiques L1

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 3

Exercice 1. Préciser le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x ↦ \frac{5}{x^{5}} − \frac{1}{x^{7}}  2. x ↦ \frac{2x + 3}{\sqrt{x^{3}}}  3. x ↦ \frac{x}{1 + \sqrt{x}}

4. x ↦ \sqrt{x^{2} − 3x + 5} 5. x ↦ cos(cos x) 6. x ↦ sin(\sqrt{3x + 1})
7. x ↦ e^{2x^{2}+1}  8. x ↦ ln \frac{1}{3x − 1} 9. x ↦ 3^{\frac{1}{x}}

Exercice 2.

Calculer la dérivée de ln (\sqrt{3 + \frac{2}{x}}).

\underline{Conseil} : Vous pouvez poser la fonction u(x) := \sqrt{3 + \frac{2}{x}}, la dériver puis finir le calcul demandé.

Exercice 3.

(1) On considère la fonction

\{ \begin{matrix}f : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & 3x_{1}^{2} + \frac{2}{x_{2}} − x_{1}x_{2} + 7 \end{matrix}

Quel est le domaine de définition de la fonction f?

Pourquoi les dérivées partielles de f sont-elles définies sur tout le domaine de définition de f?

Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 et 2 de f. Que remarquez-vous entre \frac{∂^{2}f}{∂x_{1} ∂x_{2}} et

\frac{∂^{2}f}{∂x_{2} ∂x_{1}} ?

(2) Répondre aux mêmes questions avec les fonctions des exercices 6, 7 et 8 de la feuille de Travaux Dirigés 2.

Exercice 4. Pour les fonctions suivantes, préciser leur domaine de définition, leur domaine de dérivabilité et calculer leurs dérivées partielles.

\begin{matrix}1. (x, y) ↦ ln(1 + x) + 2 ln(1 + y) & 2. (x, y) ↦ 10 x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}} & 3. (x, y) ↦ (3x + 2y)^{\frac{1}{2}} \\ 4. (x, y) ↦ \sqrt{xy} & 5. (x, y) ↦ \sqrt{2x^{2} + 3y^{2}} & 6. (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ x\frac{1}{4} 1 x\frac{1}{4} 2 x\frac{1}{2} 3 \end{matrix}

Pour les fonctions des exemples 2, 3, 4, 5 et 6 trouver le nombre α tel que x\frac{∂f}{∂x} +y \frac{∂f}{∂y} = αf. Vérifier que dans tous les cas, on a f(λx, λy) = λ^{α}f(x, y), pour λ > 0.

Exercice 5. On considère la fonction

\{ \begin{matrix}f : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & 5x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} − 2x_{1}x_{2} + 14x_{2} − 1 \end{matrix}

Quel est le domaine de définition de la fonction f? Déterminer les éventuels points critiques de la fonction f.

Exercice 6. Donner une équation de la tangente au graphe de f, au point P où

(1) f(x) = 5(1 + x^{2})^{−1} et P = (−2, 1).
(2) f(x) = 3x^{2} − 2\sqrt{x} et P = (4, 44).

Exercice 7. En quel(s) point(s) la courbe d’équation y = x^{3} + 2x^{2} − 4x + 5 admet-elle un tangente

(1) horizontale?

(2) parallèle à la droite d’équation 2y + 8x = 1?

Exercice 8. Donner sans calcul la tangente à y = 1 + 2x + x^{4} au point d’abscisse 0 et la position de la courbe par rapport à la tangente en ce point.