% Feuille de TD 1 Sciences-Economiques 2007-2008

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  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 1}}$}

\begin{document}


{Licence de Sciences \'Economiques} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Math\'ematiques L1}\\

\vskip10pt

\maketitle

\begin{ex}$\ $
Nous allons mod\'eliser par une fonction les cha\^\i nes de
t\'el\'evision que j'ai regard\'ees pendant la semaine du 18 au 24
septembre. Chaque soir, j'ai regard\'e un film ou une \'emission
propos\'e par une de ces cha\^\i nes. Appelons les cha\^\i nes 1,
2, 3, 4, 5 et 6. Les 18, 20, 21 j'ai regard\'e la premi\`ere
cha\^\i ne. Les 19 et 22, j'ai regard\'e la deuxi\`eme cha\^\i ne.
Le 23 j'ai suivi le programme de la cinqui\`eme cha\^\i ne et le
24 celui de la sixi\`eme.

Posons $f$ la fonction de l'ensemble $\{18,\, 19, \ldots,\, 24\}$
 \`a $\{ 1,\,  2, \ldots,\, 6\}$ qui associe \`a un jour la cha\^\i
ne regard\'ee.

\begin{enumerate}
\item Repr\'esenter cette fonction (avec des ensembles et des
fl\`eches).

\item Quelle est l'image $\mathrm{Im} f$ de $f$ ? \`A quoi
correspond cet ensemble en termes de cha\^\i ne de t\'el\'evision
?

\item D\'ecrire les ensembles d'ant\'ec\'edents $f^{-1}(1)$,
$f^{-1}(2)$ et $f^{-1}(4)$ de 1, 2 et 4. \`A quoi correspondent
ces ensembles dans la r\'ealit\'e ?

\item Cette fonction est-elle surjective et qu'est-ce-que cela
signifie-t-il ici ? Est-il possible, en faisant un autre choix de
cha\^\i nes chaque jour, d'avoir une fonction surjective ?

\item Cette fonction est-elle injective et qu'est-ce-que cela
signifie-t-il ici ? Est-il possible, en faisant un autre choix de
cha\^\i nes chaque jour, d'avoir une fonction injective ?

\item Cette fonction est-elle bijective ? Est-il possible, en
faisant un autre choix de cha\^\i nes chaque jour, d'avoir une
fonction bijective ?

\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}$\ $

Soit la fonction $f :   \RR \to \RR$ d\'efinie par $x \mapsto
f(x):=(x+1)(x+2)$ et soit $g :   \RR \to \RR$ d\'efinie par $x
\mapsto g(x):=\sqrt{x}$.

Quel est le domaine de d\'efinition de $f$ et de $g$ ? D\'ecrire
la compos\'ee $g\circ f$, sans oublier son domaine de
d\'efinition.
\end{ex}


\begin{ex}$\ $

On consid\`ere la fonction $f :   \RR \to \RR$ d\'efinie par $x
\mapsto f(x):=5x+17$.

\begin{enumerate}
\item Rep\'esenter graphiquement cette fonction.

\item Fixons un $y\in \RR$, on consid\`ere l'\'equation
$f(x)=5x+17=y$ o\`u $x$ est l'inconnue. Posons
$\mathcal{S}_y=\{x\in \RR \ | \ 5x+17=y\}$ l'ensemble des
solutions de cette \'equation. D\'eterminer $\mathcal{S}_2$ puis
 $\mathcal{S}_y$.



\item Montrer que $f$ est bijective en utilisant deux m\'ethodes
diff\'erentes (celle que vous avez apprise les ann\'ees pass\'ees
et en appliquant directement la d\'efinition du cours).

\item D\'eterminer la r\'eciproque $f^{-1}$. V\'erifier par le
calcul que $f^{-1}\circ f = id_\RR$ et que $f\circ f^{-1} =
id_\RR$.
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{ex} $\ $

On rappelle que la fonction \emph{valeur absolue} $|\ |$ est d\'efinie de la mani\`ere suivante :
$$\left\{ \begin{array}{l}
\textrm{pour}\ x\geqslant 0,\ \textrm{on pose}\ |x|:=x,\\
 \textrm{pour}\ x\leqslant 0,\ \textrm{on pose}\ |x|:=-x.
 \end{array} \right.$$

\begin{enumerate}
\item Repr\'esenter graphiquement la fonction valeur absolue
$\left\{ \begin{array}{l}
  \RR \to \RR \\
 x \mapsto |x|.
 \end{array} \right.$

\item Pour tout $y\in \RR$, d\'eterminer le nombre d'ant\'ec\'edents de $y$ par la fonction valeur absolue.
Distinguer $3$ cas, les repr\'esenter sur le graphe de la question pr\'ec\'edente.
Cette fonction est-elle injective ? Est-elle surjective ? Est-elle bijective ?

\item On restreint l'ensemble d'arriv\'ee \`a $\RR^+$ et on consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie par
$\left\{ \begin{array}{cl}
f  : &  \RR \to \RR^+\\
 & x \mapsto  |x|.
 \end{array} \right.$
Pour tout $y\in \RR^+$, d\'eterminer le nombre d'ant\'ec\'edents de $y$ par la fonction $f$.
(Distinguer plusieurs cas.)
La fonction $f$ est-elle injective ? Est-elle surjective ? Est-elle bijective ?

\item On restreint l'ensemble de d\'epart \`a $\RR^+$ et on consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie par
$\left\{ \begin{array}{cl}
g  : &  \RR^+ \to \RR^+\\
 & x \mapsto  |x|.
 \end{array} \right.$
Pour tout $y\in \RR^+$, combien y-a-t-il d'ant\'ec\'edents de $y$ par la fonction $g$.
La fonction $g$ est-elle injective ? Est-elle surjective ? Est-elle bijective ?
\`A quelle fonction usuelle est \'egale la fonction $g$ ?

\end{enumerate}

\end{ex}

\begin{ex} $\ $
Soit $g \, : \RR \to \RR$ la fonction d\'efinie par
$g(x):=(x+2)^2-3$

\begin{enumerate}
\item Soit $y\in \RR$, on consid\`ere l'\'equation $g(x)=y$ dont
l'inconnue est $x$. En fonction des valeurs de $y$, d\'eterminer
le nombre des solutions de cette \'equation.

\item Repr\'esenter graphiquement cette fonction et retrouver le
r\'esultat pr\'ec\'edent.

\item Cette fonction est-elle injective ? Est-elle surjective ?
Est-elle bijective ?

\item Soit $\bar{g}\, : \, [-2,\, +\infty [ \to \RR$ la
restriction de $g$ \`a l'ensemble $[-2,\, +\infty [$. Quelle est
l'image $\mathrm{Im} \bar{g}$ de $\bar{g}$ ? En d\'eduire que la
fonction $\tilde{g} \,: \,  [-2,\, +\infty [ \to [-3,\, +\infty [$
d\'efinie par $\tilde{g}(x)=g(x)$, pour $x \in [-2,\, +\infty [$,
est bijective. D\'eterminer sa r\'eciproque ${\tilde{g}}^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{ex}



\begin{ex} $\ $

On consid\`ere la fonction  $f$ d\'efinie par
$\left\{ \begin{array}{cl}
f  : &  \RR \to \RR \\
 & x \mapsto \frac{x+2}{x+1}.
 \end{array}\right.$

\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de d\'efinition de $f$ ?
Montrer que $1$ est la seule valeur de $\RR$ non atteinte par $f$.

\item Soit $\bar{f}$ la restriction de $f$ suivante  $\left\{\begin{array}{cc}
\bar{f}  : &  \RR-\{-1\} \to \RR-\{1\} \\
 & x \mapsto \frac{x+2}{x+1}.
 \end{array}\right.$
Montrer que $\bar{f}$ est bien d\'efinie, bijective et calculer sa r\'eciproque.

\end{enumerate}
\end{ex}

\vskip8pt

\hrule

\vskip14pt

\textbf{Cours} : Philipe Maisonobe (\texttt{phm@math.unice.fr}),
\textbf{TDs} : St\'ephane Chau (\texttt{Stephane.Chau@unice.fr})
et Bruno Vallette (\texttt{brunov@math.unice.fr})

\textbf{Page web du cours} :
\texttt{http://math.unice.fr/$\sim$brunov/Cours-Sciences-Eco.html}

(Pour la retrouver rapidement : Taper "Bruno Vallette" sur Google.
Cliquer sur le premier lien propos\'e. Le lien vers le site du
cours se trouve en bas de l'\'ecran.)

\end{document}