Licence de Sciences Économiques Année 2007-2008 Université de Nice Sophia-Antipolis Mathématiques L1

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 2

Exercice 1.

(1) Tracer dans le plan ℝ^{2} la droite d’équation x_{2} = 2x_{1} + 1.

(2) Représenter les points A et B de coordonnées respectives (1, 2) et (5, 0). Donner l’équation de la droite passant par ces deux points.

Exercice 2.

(1) On considère l’ensemble A := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} > 0}. Représenter graphiquement cet ensemble. Cet ensemble est-il un ouvert? Décrire la frontière Fr A de l’ensemble A. L’ensemble A est-il un fermé? Que vaut le complémentaire A^{c}?

(2) On considère l’ensemble B := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} ≤ 0}. Est-il un fermé de ℝ^{2} ? Est-il un ouvert de ℝ^{2} ?

(3) On pose C := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} = 0}. Est-il fermé? Décrire la frontière Fr C de l’ensemble C. Est-il ouvert?

(4) Soit D l’ensemble défini par D := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} ≥ 0, x_{2} > 0}. Représenter graphiquement cet ensemble. Cette ensemble est-il ouvert? Est-il fermé?

(5) Quelle figure décrit l’ensemble E défini par E := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 9}? Représenter cet ensemble. Décrire la frontière Fr E de l’ensemble E. Cet ensemble est-il fermé? Si oui, le démontrer. Est-il ouvert? Est-il borné?

(6) Donner un exemple d’ensemble qui n’est pas borné?

Exercice 3. On considère les ensembles A_{1} := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} > 0} et A_{2} := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{2} > 0}.

(1) Représenter graphiquement les ensembles A_{1} et A_{2} ainsi que leur intersection A_{1} ∩ A_{2} et leur union A_{1} ∪ A_{2}. Donner la définition de A_{1} ∩ A_{2} et de A_{1} ∪ A_{2} (sous la même que nous avons défini A_{1} et A_{2}). Décrire le complémentaire de A_{1} ∩ A_{2}.

(2) Montrer que A_{1} ∩ A_{2} est ouvert.

(3) On considère B := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} ≥ 0 ou x_{2} ≥ 0}. Montrer que B est un fermé de ℝ^{2}.

Exercice 4. On pose f(x_{1}, x_{2}) := x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + 5 et g(x_{1}, x_{2}) := x_{1}x_{2} − 5.

(1) De quel type sont ces deux fonctions?

(2) Que vaut la fonction f + g? Calculer f(0, 0), f(1, − 1)?

Exercice 5. On pose

\{ f : (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{4x_{1} + 7x_{2}}{x_{1} + 3x_{2} − 5}.

(1) La fonction f est une fonction de quel type?

(2) Quel est le domaine de définition de f? Représenter graphiquement ce domaine. S’agit-il d’un ouvert? S’agit-il d’un fermé? Est-il borné?

Exercice 6. On pose

\{ \begin{matrix}f & : & (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{2}}{x_{2} − x_{1}^{2}} , \\ g & : & (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{2}}{x_{1}} . \end{matrix}

(1) De quel type sont ces deux fonctions?

(2) Donner les domaines de définition de f et de g. Sont-il des ouverts ? Sont-ils fermés ? Sont-ils bornés?

(3) Calculer la somme des fractions rationnelles f + g et le quotient \frac{f}{g}.

Exercice 7. On considère la fonction

h : (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2}}{4 − x_{1}^{2} − x_{2}^{2}} .

(1) Quel est le domaine de définition de h? À quoi correspond ce domaine géométriquement? Est-il ouvert? Est-il fermé? Est-il borné?

On considère la fonction

k : (x_{1}, x_{2}) ↦ \sqrt{h(x_{1}, x_{2})}.

(2) Quelle est le domaine de définition de k? À quoi correspond ce domaine géométriquement? Est-il ouvert? Est-il fermé? Est-il borné?

Exercice 8. Considérons la fonction

\xymatrix{f : & ℝ^{2} \ar[r] & ℝ \\  & (x, y) \ar@{|->}[r] & \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} .}

Quel est le domaine de définition D_{f} de f? Est-il ouvert? Est-il fermé? Est-il borné?