% Feuille de TD 2 Sciences-Economiques 2007-2008

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\newtheorem{ex}{\bf Exercice}

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  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 2}}$}

\begin{document}


{Licence de Sciences \'Economiques} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Math\'ematiques L1}\\

\vskip10pt

\maketitle

\begin{ex} $\ $
\begin{enumerate}
\item Tracer dans le plan $\RR^2$ la droite d'\'equation
$x_2=2x_1+1$.

\item  Repr\'esenter les points $A$ et $B$ de coordonn\'ees
respectives $(1, \, 2)$ et $(5, \, 0)$. Donner l'\'equation de la
droite passant par ces deux points.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
\begin{enumerate}

\item On consid\`ere l'ensemble $A:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ;
\, x_1>0\}$. Repr\'esenter graphiquement cet ensemble. Cet
ensemble est-il un ouvert ? D\'ecrire la fronti\`ere
$\mathrm{Fr}\,  A$ de l'ensemble $A$. L'ensemble $A$ est-il un
ferm\'e ? Que vaut le compl\'ementaire $A^c$ ?

\item On consid\`ere l'ensemble $B:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ;
\, x_1 \leq 0\}$. Est-il un ferm\'e de $\RR^2$ ? Est-il un ouvert
de $\RR^2$ ?

\item On pose $C:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \, x_1=0 \}$.
Est-il ferm\'e ? D\'ecrire la fronti\`ere $\mathrm{Fr}\,  C$ de
l'ensemble $C$. Est-il ouvert ?

\item Soit $D$ l'ensemble d\'efini par $D:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2
\, ; \, x_1\ge 0, \, x_2>0 \}$. Repr\'esenter graphiquement cet
ensemble. Cette ensemble est-il ouvert ? Est-il ferm\'e ?

\item Quelle figure d\'ecrit l'ensemble $E$ d\'efini par
$E:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \, x_1^2+x_2^2=9 \}$ ?
Repr\'esenter cet ensemble. D\'ecrire la fronti\`ere $\mathrm{Fr}
\, E$ de l'ensemble $E$. Cet ensemble est-il ferm\'e ? Si oui, le
d\'emontrer. Est-il ouvert ? Est-il born\'e ?

\item Donner un exemple d'ensemble qui n'est pas born\'e ?

\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
On consid\`ere les ensembles $A_1:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \,
x_1>0\}$ et $A_2:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \, x_2>0\}$.

\begin{enumerate}
\item  Repr\'esenter graphiquement les ensembles $A_1$ et $A_2$
ainsi que leur intersection $A_1\cap A_2$ et leur union $A_1\cup
A_2$. Donner la d\'efinition de $A_1\cap A_2$ et de $A_1\cup A_2$
(sous la m\^eme que nous avons d\'efini $A_1$ et $A_2$). D\'ecrire
le compl\'ementaire de $A_1 \cap A_2$.

\item Montrer que $A_1 \cap A_2$ est ouvert.

\item On consid\`ere $B:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \, x_1\ge 0
\ \textrm{ou} \ x_2\ge 0\}$. Montrer que $B$ est un ferm\'e de
$\RR^2$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
On pose $f(x_1,\, x_2):=x_1^2+x_1x_2+x_2^2+5$ et $g(x_1,\,
x_2):=x_1x_2-5$.
\begin{enumerate}
\item De quel type sont ces deux fonctions ?

\item Que vaut la fonction $f+g$ ? Calculer $f(0,\, 0)$, $f(1,\,
-1)$ ?
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}
On pose
$$  \left\{
\begin{array}{lll}
f &:& (x_1,\, x_2) \mapsto {\displaystyle
\frac{4x_1+7x_2}{x_1+3x_2-5}}.
\end{array} \right. $$
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est une fonction de quel type ?

\item Quel est le domaine de d\'efinition de $f$ ? Repr\'esenter
graphiquement ce domaine. S'agit-il d'un ouvert ? S'agit-il d'un
ferm\'e ? Est-il born\'e ?
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
On pose
$$  \left\{
\begin{array}{lll}
f &:& (x_1,\, x_2) \mapsto {\displaystyle \frac{x_2}{x_2-x_1^2}}, \\
&& \\ g &:& (x_1,\, x_2) \mapsto { \displaystyle \frac{x_2}{x_1}}.
\end{array} \right. $$

\begin{enumerate}
\item De quel type sont ces deux fonctions ?

\item Donner les domaines de d\'efinition de $f$ et de $g$.
Sont-il des ouverts ? Sont-ils ferm\'es ? Sont-ils born\'es ?

\item Calculer la somme des fractions rationnelles $f+g$ et le
quotient $\frac{f}{g}$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
On consid\`ere la fonction
$$h \, : \, (x_1,\, x_2) \mapsto
\frac{x_1^2+5x_2^2}{4-x_1^2-x_2^2}.$$

\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de d\'efinition de $h$ ? \`A quoi
correspond ce domaine g\'eom\'etriquement ? Est-il ouvert ? Est-il
ferm\'e ? Est-il born\'e ? \\

On consid\`ere la fonction
$$k \, : \, (x_1,\, x_2) \mapsto \sqrt{h(x_1,\, x_2)}.$$

\item Quelle est le domaine de d\'efinition de $k$ ? \`A quoi
correspond ce domaine g\'eom\'etriquement ? Est-il ouvert ? Est-il
ferm\'e ? Est-il born\'e ?
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{ex} $\ $
Consid\'erons la fonction
$$ \xymatrix@R=0pt@C=20pt{f :& \RR^2 \ar[r] & \RR \\
& (x,\, y) \ar@{|->}[r] & {\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}.}$$
Quel est le domaine de d\'efinition $\mathcal{D}_f$ de $f$ ?
Est-il ouvert ? Est-il ferm\'e ? Est-il born\'e ?
\end{ex}
\end{document}