% Corrige Feuille de TD 3 Sciences-Economiques 2007-2008

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\newtheorem{ex}{\bf Exercice}

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\newenvironment{proo}{\begin{trivlist} \item{\sc {Proof.}}}
  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{CORRECTION DE LA FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 3}}$}

\begin{document}


{Licence de Sciences \'Economiques} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Math\'ematiques L1}\\

\vskip10pt

\maketitle

\begin{ex}

\noindent On appelle \`a chaque fois $f$ la fonction d\'efinie par
la formule de la question.

\begin{enumerate}

\item La fonction $f$ est d\'efinie et d\'erivable sur $\RR^*$.
$$\boxed{ \frac{df}{dx}(x)=f'(x)=-\frac{25}{x^6}+\frac{7}{x^8}=-25x^{-6}+7x^{-8}} \, .$$

\item La fonction $f$ est d\'efinie et d\'erivable sur
$\RR-\{-2\}$.

$$\boxed{ f'(x)=\frac{1}{(x+2)^2}} \, .$$

\item La fonction $f$ est d\'efinie sur $\RR^{+}$ et d\'erivable
sur $\RR^{+*}$.

$$\boxed{ f'(x)=\frac{1}{2}\frac{2+\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}} \, .$$

\item La fonction $f$ est d\'efinie et d\'erivable sur $\RR$
($x^2-3x+5>0$ et $\Delta=-11<0$).

$$\boxed{ f'(x)=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+5}}} \, .$$

\item La fonction $f$ est d\'efinie et d\'erivable sur $\RR$.

$$\boxed{ f'(x)=(\sin x) \times \sin( \cos x)} \, .$$

\item La fonction $f$ est d\'efinie sur $[-\frac{1}{3}\, ;\, +
\infty[$, $3x+1\ge 0$, et d\'erivable sur $]-\frac{1}{3}\, ;\, +
\infty[$, $3x+1> 0$.

$$\boxed{ f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}\cos(\sqrt{3x+1})    } \, .$$

\item La fonction $f$ est d\'efinie et d\'erivable sur $\RR$.

$$\boxed{ f'(x)=4x e^{2x^2+1}} \, .$$

\item La fonction $f$ est d\'efinie et d\'erivable sur
$]\frac{1}{3}\, ;\, + \infty[$, $3x-1> 0$.

$$\boxed{ f'(x)=-\frac{3}{3x-1}     } \, .$$

\item La fonction $f$ est d\'efinie et d\'erivable sur $\RR^*$.

$$\boxed{ f'(x)=-\frac{1}{x^2} \times \ln 3 \times   3^{\frac{1}{x}}      } \, .$$

\end{enumerate}
\end{ex}



\begin{ex}
On peut soit utiliser la formule qui donne la d\'eriv\'ee d'une
fonction compos\'ee. Attention, ici la fonction $f$ est la
compos\'ee de trois fonctions. On peut aussi remarquer que
$$\ln \left(\sqrt{ 3+\frac{2}{x}}\, \right)=\frac{1}{2}\ln \left(  3+\frac{2}{x}\, \right).$$
Cela simplifie grandement le calcul de la d\'eriv\'ee qui est
alors  $\boxed{ f'(x)=-\frac{1}{3x^2+2x} }$ .

\noindent
\end{ex}

\begin{ex}

La fonction $f$ est polynomiale. Elle est donc d\'efinie et admet
des d\'eriv\'ees partielles sur $\RR^2$.


On a $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\,
x_2)=\boxed{10x_1-2x_2 } $ et $ \frac{\partial f}{\partial
x_2}(x_1,\, x_2)=\boxed{ 6x_2-2x_1+14 }$ . Les points critiques
sont donc les solutions du syst\`eme

$$ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\, x_2)=10x_1-2x_2=0 \\
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,\,
x_2)=6x_2-2x_1+14=0.
\end{array}\right.
$$

On trouve une seule solution $\boxed{\left( -\frac{1}{2} ;\,
-\frac{5}{2} \right)}$ .\\

Les d\'eriv\'ees d\'ordre $2$ sont


$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x_1,\, x_2)= \boxed{10}\, ,$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(x_1,\, x_2)= \boxed{-2}\, ,$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,\, x_2)= \boxed{-2}\, ,$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(x_1,\, x_2)= \boxed{6}\, .        $$


\end{ex}


\begin{ex}$\ $

\begin{enumerate}
\item $D_f=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, | \, x_2\neq 0 \}$.


\noindent La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle admet
donc des d\'eriv\'ees partielles de tout ordre (et continues) sur
tout son domaine de d\'efinition.

$$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\, x_2)=\boxed{6x_1-x_2}\, , $$

$$ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,\, x_2)=\boxed{-\frac{2}{x_1^2}-x_1}\,  ,    $$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x_1,\, x_2)= \boxed{6}\, ,$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(x_1,\, x_2)= \boxed{\frac{4}{x_2^3}}\, ,             $$

\noindent Comme la fonction $f$ admet des d\'eriv\'ees partielles
 d'ordre $2$ \underline{continues}, on peut appliquer le
 th\'eor\`eme de Schwarz :

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,\, x_2)=
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(x_1,\,
x_2)=\boxed{-1} \, .
$$
\end{enumerate}

\end{ex}


\begin{ex}$\ $
\noindent On appelle \`a chaque fois $f$ la fonction d\'efinie par
la formule de la question.

\begin{enumerate}

\item La fonction $f$ est d\'efinie et admet des d\'eriv\'ees
partielles sur $\{(x,\, y)\in \RR^2\, |\, x>-1,\, y>-1 \}$.

$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\, y)=\boxed{\frac{1}{x+1}}\, , $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y}(x,\, y)=\boxed{\frac{2}{y+1}}\,. $$

\item La fonction $f$ est d\'efinie sur $\{(x,\, y)\in \RR^2\, |\,
x\ge 0,\, y\ge 0 \}$ et admet des d\'eriv\'ees partielles sur
$\{(x,\, y)\in \RR^2\, |\, x>0 ,\, y>0 \}$.

$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\, y)=\boxed{5x^{-\frac{1}{2}}  }\, , $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y}(x,\, y)=\boxed{y^{-\frac{1}{2}}}\,. $$

\noindent Soit $\lambda>0$, on a $f(\lambda x,\, \lambda y)=10
(\lambda x)^{\frac{1}{2}} + 2 (\lambda y)^{\frac{1}{2}} =
\lambda^{\frac{1}{2}} ( 10 x^{\frac{1}{2}} + 2
y^{\frac{1}{2}})=\lambda^{\frac{1}{2}} f(x,\, y)$. La fonction $f$
est donc \underline{homog\`ene de degr\'e $\frac{1}{2}$}.\\

\noindent [\emph{Autre M\'ethode}] Comme la fonction $f$ admet des
d\'eriv\'ees partielles \underline{continues}, on peut appliquer
le th\'eor\`eme d'Euler :

\noindent Comme $x\frac{\partial f}{\partial x}(x,\, y) +
y\frac{\partial f}{\partial y}(x,\, y)= \frac{1}{2}\times (10
x^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} f(x,\, y)$
(identit\'e d'Euler), alors la fonction $f$ est
\underline{homog\`ene de degr\'e $\frac{1}{2}$}.

\item La fonction $f$ est d\'efinie sur $\{(x,\, y)\in \RR^2\, |\,
3x+2y \ge 0\}$ et admet des d\'eriv\'ees partielles sur $\{(x,\,
y)\in \RR^2\, |\, 3x+2y>0\}$.

$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\, y)=\boxed{\frac{3}{2}\left(3x+2y   \right)^{-\frac{1}{2}}  }\, , $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y}(x,\, y)=\boxed{  \left(3x+2y   \right)^{-\frac{1}{2}}}\,. $$
La fonction $f$ est \underline{homog\`ene de degr\'e
$\frac{1}{2}$}.

\item La fonction $f$ est d\'efinie sur $\{(x,\, y)\in \RR^2\, |\,
(x\ge 0,\, y\ge 0) \ \textrm{ou}\  (x\leq 0,\, y\leq 0) \}$ et
admet des d\'eriv\'ees partielles sur $\{(x,\, y)\in \RR^2\, |\,
(x> 0,\, y> 0) \ \textrm{ou}\  (x< 0,\, y< 0) \}$.

$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\, y)=\boxed{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}  }\, , $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y}(x,\, y)=\boxed{  \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}}\,. $$
La fonction $f$ est \underline{homog\`ene de degr\'e $1$}.

\item La fonction $f$ est d\'efinie sur $\RR^2$ car $2x^2+3y^2\ge
0$ et admet des d\'eriv\'ees partielles sur $\RR^2-\{(0; 0)\}$.

$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\, y)=\boxed{  \frac{2x}{\sqrt{2x^2+3y^2}}}\, , $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y}(x,\, y)=\boxed{\frac{3y}{\sqrt{2x^2+3y^2}}  }\,. $$
La fonction $f$ est \underline{homog\`ene de degr\'e $1$}.

\item La fonction $f$ est d\'efinie sur $\{(x_1,\, x_2,\, x_3)\in
\RR^3\, |\, x_1\ge 0,\, x_2\ge 0,\, x_3\ge 0 \}$ et admet des
d\'eriv\'ees partielles sur $\{(x_1,\, x_2,\, x_3)\in \RR^3\, |\,
x_1> 0,\, x_2> 0,\, x_3> 0 \}$.

$$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\, x_2,\, x_3)=
\boxed{\frac{1}{4}x_1^{-\frac{3}{4}}x_2^{\frac{1}{4}}x_3^{\frac{1}{2}}
}\, , $$

$$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\, x_2,\, x_3)=
\boxed{\frac{1}{4}x_1^{\frac{1}{4}}x_2^{-\frac{3}{4}}x_3^{\frac{1}{2}}
}\, , $$

$$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\, x_2,\, x_3)=
\boxed{\frac{1}{2}x_1^{\frac{1}{4}}x_2^{\frac{1}{4}}x_3^{-\frac{1}{2}}
}\, . $$

La fonction $f$ est \underline{homog\`ene de degr\'e $1$}.
\end{enumerate}
\end{ex}


\end{document}
