Licence de Sciences Économiques Année 2007-2008 Université de Nice Sophia-Antipolis Mathématiques L1

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 3

Exercice 1. Préciser le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x ↦ \frac{5}{x^{5}} − \frac{1}{x^{7}}  2. x ↦ \frac{2x + 3}{x + 2}  3. x ↦ \frac{x}{1 + \sqrt{x}}

4. x ↦ \sqrt{x^{2} − 3x + 5} 5. x ↦ cos(cos x) 6. x ↦ sin(\sqrt{3x + 1})
7. x ↦ e^{2x^{2}+1}  8. x ↦ ln \frac{1}{3x − 1} 9. x ↦ 3^{\frac{1}{x}}

Exercice 2.

Calculer la dérivée de ln (\sqrt{3 + \frac{2}{x}}).

\underline{Conseil} : Vous pouvez poser la fonction u(x) := \sqrt{3 + \frac{2}{x}}, la dériver puis finir le calcul demandé.

Exercice 3. On considère la fonction

\{ \begin{matrix}f : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & 5x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} − 2x_{1}x_{2} + 14x_{2} − 1 \end{matrix}

(1) Quel est le domaine de définition de la fonction f?

(2) Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 et 2.

(3) Déterminer les éventuels points critiques de la fonction f.

Exercice 4.

(1) On considère la fonction

\{ \begin{matrix}f : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & 3x_{1}^{2} + \frac{2}{x_{2}} − x_{1}x_{2} + 7 \end{matrix}

Quel est le domaine de définition de la fonction f?

Pourquoi les dérivées partielles de f sont-elles définies sur tout le domaine de définition de f?

Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 et 2 de f. Que remarquez-vous entre \frac{∂^{2}f}{∂x_{1} ∂x_{2}} et

\frac{∂^{2}f}{∂x_{2} ∂x_{1}} ? Énoncer le théorème du cours qui correspond à ce résulat.

(2) Répondre aux mêmes questions avec les fonctions des exercices 4, 5, 6, 7 et 8 de la feuille de Travaux Dirigés 2.

Exercice 5.

(1) Pour les fonctions suivantes, préciser leur domaine de définition, leur domaine de dérivabilité et calculer leurs dérivées partielles.

\begin{matrix}1. (x, y) ↦ ln(1 + x) + 2 ln(1 + y) & 2. (x, y) ↦ 10 x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}} & 3. (x, y) ↦ (3x + 2y)^{\frac{1}{2}} \\ 4. (x, y) ↦ \sqrt{xy} & 5. (x, y) ↦ \sqrt{2x^{2} + 3y^{2}} & 6. (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ x\frac{1}{4} 1 x\frac{1}{4} 2 x\frac{1}{2} 3 \end{matrix}

(2) Pour les fonctions des exemples 2, 3, 4, 5 et 6 trouver le nombre α tel que x\frac{∂f}{∂x} +y \frac{∂f}{∂y} = αf. Vérifier que dans tous les cas, on a f(λx, λy) = λ^{α}f(x, y), pour λ > 0. À quel théorème du cours correspond ce résultat?