% Feuille de TD 3 Sciences Economiques 2007-2008

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\newtheorem{ex}{\bf Exercice}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 3}}$}

\begin{document}


{Licence de Sciences \'Economiques} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Math\'ematiques L1}\\

\vskip10pt

\maketitle



\begin{ex} $\ $

\noindent Pr\'eciser le domaine de d\'erivabilit\'e et calculer la
d\'eriv\'ee des fonctions suivantes.
$$\displaystyle \begin{array}{lll}
\displaystyle {\bf 1.} \  x \mapsto \frac{5}{x^5}-\frac{1}{x^7} &
\displaystyle{\bf 2.}\ x \mapsto \frac{2x+3}{x+2}
& \displaystyle{\bf 3.}\ x \mapsto \frac{x}{1+\sqrt{x}} \\
\\
\displaystyle{\bf 4.}\ x \mapsto \sqrt{x^2-3x+5} &\displaystyle {\bf 5.} \ x
\mapsto \cos(\cos{x}) & \displaystyle{\bf 6.}\ x \mapsto \sin(\sqrt{3x+1})\\
\\
\displaystyle{\bf 7.}\ x \mapsto e^{2x^2+1} & \displaystyle{\bf 8.}\ x \mapsto \ln{\frac{1}{3x-1}} &
\displaystyle {\bf 9.}\ x \mapsto  3^{\textstyle \frac{1}{x}}
\end{array} $$
\end{ex}


\begin{ex} $\ $

\noindent Calculer la d\'eriv\'ee de $\ln \left(
\sqrt{3+\displaystyle \frac{2}{x}}\right)$.

\noindent \underline{Conseil} : Vous pouvez poser la fonction
$u(x):=\sqrt{3+\displaystyle \frac{2}{x}}$, la d\'eriver puis
finir le calcul demand\'e.
\end{ex}

\begin{ex}
$ \ $

\noindent On consid\`ere la fonction $$\left\{
\begin{array}{lccl} f: &
\RR^2 &\to& \RR \\
 & (x_1,\, x_2)& \mapsto & 5x_1^2 + 3 x_2^2 -2 x_1 x_2+14 x_2 -1
 \end{array} \right. $$
\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de d\'efinition de la fonction $f$  ?

\item Calculer les d\'eriv\'ees partielles d'ordre 1 et 2.

\item D\'eterminer les \'eventuels points critiques de la fonction
$f$.
\end{enumerate}
\end{ex}



\begin{ex} $ $
\begin{enumerate}

\item On consid\`ere la fonction $$\left\{
\begin{array}{lccl} f: &
\RR^2 &\to& \RR \\
 & (x_1,\, x_2)& \mapsto & 3x_1^2 + \frac{2}{x_2}-x_1 x_2+7
 \end{array} \right. $$
Quel est le domaine de d\'efinition de la fonction $f$  ?

\noindent Pourquoi les d\'eriv\'ees partielles de $f$ sont-elles
d\'efinies sur tout le domaine de d\'efinition de $f$ ?

\noindent Calculer les d\'eriv\'ees partielles d'ordre $1$ et $2$
de $f$. Que remarquez-vous entre $\displaystyle \frac{\partial^2
f}{\partial x_1 \, \partial x_2} $ et $\displaystyle
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \, \partial x_1} $ ? \'Enoncer le th\'eor\`eme
du cours qui correspond \`a ce r\'esulat. \\

\item R\'epondre aux m\^emes questions avec les fonctions des
exercices $4$, $5$, $6$, $7$ et $8$ de la feuille de Travaux
Dirig\'es 2.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
\begin{enumerate}
\item  Pour les fonctions suivantes, pr\'eciser leur domaine de
d\'efinition, leur domaine de d\'erivabilit\'e et calculer leurs
d\'eriv\'ees partielles.

$$\displaystyle \begin{array}{lll}
\displaystyle
{\bf 1.} \  (x,\, y) \mapsto \ln(1+x)+2\ln(1+y) & \displaystyle{\bf 2.}\ (x,\, y) \mapsto
10 \, x^{\textstyle\frac{1}{2}}+2y^{\textstyle\frac{1}{2}}
& \displaystyle{\bf 3.}\ (x,\, y) \mapsto (3x+2y)^{\textstyle\frac{1}{2}}\\
\\
\displaystyle{\bf 4.}\ (x,\, y) \mapsto \sqrt{xy} &\displaystyle {\bf 5.} \ (x,\, y)
\mapsto \sqrt{2x^2+3y^2} & \displaystyle{\bf 6.}\ (x_1,\, x_2,\, x_3) \mapsto
x_1^{\textstyle\frac{1}{4}}x_2^{\textstyle\frac{1}{4}}x_3^{\textstyle\frac{1}{2}}
\end{array} $$\\

\item Pour les fonctions des exemples $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$
trouver le nombre $\alpha$ tel que $x\frac{\partial f}{\partial x}
+ y \frac{\partial f}{\partial y} = \alpha f$. V\'erifier que dans
tous les cas, on a $f(\lambda x,\, \lambda y)=\lambda^\alpha
f(x,\, y)$, pour $\lambda >0$. \`A quel th\'eor\`eme du cours
correspond ce r\'esultat ?
\end{enumerate}
\end{ex}






\end{document}