Licence de Sciences Économiques Année 2007-2008 Université de Nice Sophia-Antipolis Mathématiques L1

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 4

Exercice 1 (Examen février 2005). On considère la fonction

\{ \begin{matrix}f & : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + x_{1} + 2x_{2} + 4. \end{matrix}

(1) Justifier en une phrase que f admet des dérivées partielles d’ordre deux.

(2) Soit (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2}, déterminer \frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}) et \frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{1}, x_{2}).

(3) Soit (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2}, déterminer \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}^{2}} (x_{1}, x_{2}), \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}^{2}} (x_{1}, x_{2}), \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}) et \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} (x_{1}, x_{2}).

(4) Montrer que \frac{∂f}{∂x_{1}} (0, − 1) = 0 et que \frac{∂f}{∂x_{2}} (0, − 1) = 0. Calculer f(0, − 1).

(5) Soit (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2}, calculer \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}^{2}} (x_{1}, x_{2}) × \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}^{2}} (x_{1}, x_{2}) − (\frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} (x_{1}, x_{2}))^{2}.

(6) Montrer que f admet en (0, − 1) un extremum local. Est-ce un maximum local ou un minimum local?

(7) Trouver les points critiques de f (c’est-à-dire les points où les dérivées partielles d’ordre un s’annulent).

Exercice 2.

Soit f la fonction définie par \{ \begin{matrix}f & : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & & (x, y) & ↦ & e^{x^{2}+2y^{2}−2xy−y+1}. \end{matrix}

Posons Ψ(x, y) := x^{2} + 2y^{2} − 2xy − y + 1, de telle sorte que f(x, y) = e^{Ψ(x, y)}.

(1) Quel est le domaine de définition de f? Pourquoi la fonction f admet-elle des dérivées partielles?

(2) On pose C := (x_{C}, y_{C}) le seul point critique de f. Quelles sont les coordonnées de C? Calculer la valeur ν de f en C.

(3) La valeur ν est-elle un extremum local de la fonction f?

\underline{Conseil} : Utiliser la quantité \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x_{C}, y_{C}) × \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x_{C}, y_{C}) − (\frac{∂^{2}f}{∂x ∂y} (x_{C}, y_{C}))^{2} .

(4) La valeur ν est-elle un maximum ou un minimum local?

\underline{Conseil} : Utiliser la quantité \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x_{C}, y_{C}) + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x_{C}, y_{C}).

(5) La fonction f admet-elle un maximum global?

Exercice 3.

Soit h la fonction définie par \{ \begin{matrix}h & : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & (2x_{1} + x_{2})^{2} − 4x_{1} − 2x_{2} + 7. \end{matrix}

(1) Quel est le domaine de définition de h? Pourquoi la fonction h admet-elle des dérivées partielles sur ℝ^{2}.

(2) Chercher les points critiques de h.

(3) Soit c un nombre réel et P un point de coordonnées (x_{1}, x_{2}) telles que 2x_{1} +x_{2} = c. Tracer l’ensemble des points P vérifiant cette condition pour c = −1, 0, 1, 2 et 3.

(4) Si 2x_{1} + x_{2} = c, que vaut h(x_{1}, x_{2})?

(5) La fonction h admet-elle un minimum global, maximum global ? S’il existe, donner sa valeur et dire où il est atteint.

Exercice 4 (Partiel décembre 2004). On considère la fonction \{ \begin{matrix}f & : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & & (x, y) & ↦ & x + y. \end{matrix}

(1) Quel est son domaine de définition?

(2) Pourquoi cette fonction est-elle continue?

Posons E := {(x, y) ∈ ℝ^{2} ; x^{2} + 4y^{2} = 1}.

(3) Représenter graphiquement E.

(4) Montrer que E est un ensemble fermé et borné de ℝ^{2}.

(5) Montrer que la fonction f admet un maximum M et un minimum m sur E et qu’ils sont atteints. Que valent M et m? Où sont-ils atteints?

Exercice 5. Une ménagère achète un adoucissant P_{1} et une lessive P_{2}. Le prix de l’adoucissant P_{1} est p_{1} et le prix de la lessive P_{2} est p_{2}. Elle achète des deux produits pour un panier global de 10 euros. Posons x_{1} la quantité d’adoucissant achetée et x_{2} la quantité de lessive achetée.

(1) Écrire l’équation qui représente la valeur du panier acheté.

On modélise l’utilité du panier par la fonction

\{ \begin{matrix}f & : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & ln(x_{1} + 1) + 2 ln(x_{2} + 1). \end{matrix}

(2) Existe-t-il une utilité optimale? Si oui pour quelles quantités achetées?

On pose α(p_{1}, p_{2}) la quantité de lessive achetée dans ce cas.

(3) Que se passe-t-il si 2p_{1} ⩽ p_{2} + 10 et si 2p_{1} ⩾ p_{2} + 10? Commenter ces résultats.

(4) Quel est le signe de \frac{∂α}{∂p_{1}} et de \frac{∂α}{∂p_{2}} ? Commenter.

(5) Si l’adoucissant coute 2 euros et la lessive 5 euros, en quelles proportions faut-il acheter les deux produits pour un résultat maximal? Commenter.

Exercice 6.

On considère la fonction \{ \begin{matrix}f & : & ℝ^{2} & → & ℝ \\ & & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & x_{1}^{2} + x_{2}^{2}. \end{matrix}

(1) Quel est son domaine de définition?

(2) Pourquoi cette fonction est-elle continue?

Posons A := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} ≥ 0, x_{2} ≥ 0, x_{1} + x_{2} ≤ 1}.

(3) Représenter graphiquement A.

(4) Montrer que A est un ensemble fermé et borné de ℝ^{2}.

(5) Montrer que la fonction f admet un maximum M et un minimum m sur A et qu’ils sont atteints.

Pour calculer m et M, on distingue deux cas. Posons F la frontière de l’ensemble A. L’ensemble F correspond donc au triangle de sommets (0, 0), (1, 0), (0, 1). Soit I, l’intérieur de l’ensemble A, I := {(x, y) ∈ ℝ^{2} ; 0 < x_{1}, 0 < x_{2}, x_{1} + x_{2} < 1}. On a donc A = F ∪ I.

(6) Montrer que I est un ouvert de ℝ^{2}.

(7) Chercher et étudier les extrema de f sur I.

\underline{Conseil} : Utiliser les dérivées partielles d’ordre 1 et d’ordre 2 de f.

(8) Etudier les valeurs prises par la fonction f sur F.

(9) Comparer les résultats des deux questions précédentes et conclure (donner les valeurs de m et M et dire où ces valeurs sont atteintes).

Exercice 7. Soit A l’ensemble défini par A := {(x, y) ∈ ℝ^{2} ; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

On considère maintenant la restriction de la fonction f de l’exercice 2 à A:

\{ \begin{matrix}g = f_{A} & : & A & → & ℝ \\ & & (x, y) & ↦ & e^{x^{2}+2y^{2}−2xy−y+1}. \end{matrix}

(1) Montrer que l’ensemble A est un ensemble fermé et borné de ℝ^{2}.

(2) Expliquer pourquoi la fonction g admet et atteint un minimum m et un maximum M.

Pour calculer m et M, on distingue deux cas. Posons F la frontière de l’ensemble A. L’ensemble F correspond donc au carré de sommets (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Soit I, l’intérieur de l’ensemble A, I := {(x, y) ∈ ℝ^{2} ; 0 < x < 1, 0 < y < 1}. On a donc A = F ∪ I.

(3) Montrer que I est un ouvert de ℝ^{2}.

(4) Le minimum m peut-il être atteint sur I? Le maximum M peut-il être atteint sur I? \underline{Conseil} : Utiliser l’exercice 2.

(5) Etudier les valeurs prises par la fonction g sur F.

\underline{Conseil} : Distinguer quatre cas.

(6) Comparer les résultats des deux questions précédentes et conclure (donner les valeurs de m et M et dire où ces valeurs sont atteintes).

Exercice 8. Soit A l’ensemble défini par A := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; 0 ≤ x_{1}, 0 ≤ x_{2}, x_{1} + x_{2} ≤ 4}.

(1) Représenter graphiquement l’ensemble A.

(2) Montrer que l’ensemble A est un ensemble fermé et borné de ℝ^{2}.

On considère la fonction f

\{ \begin{matrix}f & : & A & → & ℝ \\ & & (x_{1}, x_{2}) & ↦ & 2(x_{1} − 2)^{2} + (x_{2} − 1)^{2}. \end{matrix}

(3) Expliquer pourquoi la fonction f admet et atteint un minimum m et un maximum M.

(4) Donner les valeurs de m et M et dire où ces valeurs sont atteintes.

\underline{Conseil} : Inspirez-vous des exercices précédents.