% Feuille de TD 4 Sciences Economiques 2007-2008

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\newtheorem{ex}{\bf Exercice}

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  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{$\boxed{\textsc{FEUILLE DE TRAVAUX DIRIG\'ES 4}}$}

\begin{document}


{Licence de Sciences \'Economiques} \hfill {Ann\'ee 2007-2008}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Math\'ematiques L1}\\

\vskip10pt

\maketitle
\begin{ex}[{\it Examen f\'evrier 2005}]$\ $

\noindent On consid\`ere la fonction $$\displaystyle \left\{
\begin{array}{cccll}
f & :&  \RR^2 &\to& \RR \\
&&  (x_1,\, x_2) & \mapsto&\displaystyle
x_1^2+x_1x_2+x_2^2+x_1+2x_2+4.
\end{array} \right.$$

\begin{enumerate}

\item Justifier en une phrase que $f$ admet des d\'eriv\'ees
partielles d'ordre deux.

\item Soit $(x_1,\, x_2) \in \RR^2$, d\'eterminer
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\, x_2)$ et
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,\, x_2)$.

\item Soit $(x_1,\, x_2) \in \RR^2$, d\'eterminer $\displaystyle
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x_1,\, x_2)$, $\displaystyle
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(x_1,\, x_2)$, $\displaystyle
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(x_1,\, x_2)$ et
$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial
x_2}(x_1,\, x_2)$.

\item Montrer que $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial
x_1}(0,\, -1)=0$ et que $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial
x_2}(0,\, -1)=0$. Calculer $f(0,\, -1)$.

\item Soit $(x_1,\, x_2) \in \RR^2$, calculer $\displaystyle
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x_1,\, x_2)\times
 \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(x_1,\, x_2)-
\left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,\,
x_2)\right)^2$.

\item Montrer que $f$ admet en $(0,-1)$ un extremum local. Est-ce
un maximum local ou un minimum local ?

\item Trouver les points critiques de $f$ (c'est-\`a-dire les
points o\`u les d\'eriv\'ees partielles d'ordre un s'annulent).
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}$\ $

\noindent Soit $f$ la fonction d\'efinie par $\displaystyle
\left\{
\begin{array}{cccll}
f & :&  \RR^2 &\to& \RR \\
&&  (x,\, y) &\displaystyle \mapsto& e^{x^2+2y^2-2xy-y+1} .
\end{array} \right.$

\noindent Posons $\Psi(x,\, y):=x^2+2y^2-2xy-y+1$, de telle sorte
que $f(x,\, y)=e^{\Psi(x,\, y)}$.


\begin{enumerate}

\item Quel est le domaine de d\'efinition de $f$ ? Pourquoi la
fonction $f$ admet-elle des d\'eriv\'ees partielles ?

\item On pose $C:=(x_C,\,  y_C)$ le seul point critique de $f$.
Quelles sont les coordonn\'ees de $C$ ? Calculer la valeur $\nu$
de $f$ en $C$.

\item La valeur $\nu$ est-elle un extremum local de la fonction
$f$ ?

\noindent \underline{Conseil} : Utiliser la quantit\'e
$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_C,\, y_C)\times
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_C,\, y_C)-
\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x\, \partial y}(x_C,\, y_C)
\right)^2.$

\item La valeur $\nu$ est-elle un maximum ou un minimum local ?

\noindent \underline{Conseil} : Utiliser la quantit\'e
$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_C,\, y_C)+
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_C,\, y_C).$


\item La fonction $f$ admet-elle un maximum global ?
\end{enumerate}

\end{ex}

\begin{ex}$\ $

\noindent Soit $h$ la fonction d\'efinie par $\displaystyle
\left\{
\begin{array}{cccll}
h & :&  \RR^2 &\to& \RR \\
&&  (x_1,\, x_2) &\displaystyle \mapsto& (2x_1+x_2)^2-4x_1-2x_2+7
.
\end{array} \right.$ \\

\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de d\'efinition de $h$ ? Pourquoi la
fonction $h$ admet-elle des d\'eriv\'ees partielles sur $\RR^2$.

\item Chercher les points critiques de $h$.

\item Soit $c$ un nombre r\'eel et $P$ un point de coordonn\'ees
$(x_1,\, x_2)$ telles que $2x_1+x_2=c$. Tracer l'ensemble des
points $P$ v\'erifiant cette condition pour $c=-1$, $0$, $1$, $2$
et $3$.

\item Si $2x_1+x_2=c$, que vaut $h(x_1,\, x_2)$ ?

\item La fonction $h$ admet-elle un minimum global, maximum global
? S'il existe, donner sa valeur et dire o\`u il est atteint.
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{ex}[{\it Partiel d\'ecembre 2004}] $\ $

\noindent
 On consid\`ere la fonction $\displaystyle \left\{
\begin{array}{cccll}
f & :&  \RR^2 &\to& \RR \\
&&  (x,\, y) &\mapsto& x+y.
\end{array} \right.$ \\


\begin{enumerate}
\item  Quel est son domaine de d\'efinition ?

\item Pourquoi cette fonction est-elle continue ?\\

\noindent
Posons $E:=\{ (x,\, y) \in {\RR}^2 \ ; \ x^2+4y^2=1\}.$\\

 \item Repr\'esenter graphiquement $E$.

\item Montrer que $E$ est un ensemble ferm\'e et born\'e de
$\RR^2$.

\item Montrer que la fonction $f$ admet un maximum $M$ et un
minimum $m$ sur $E$ et qu'ils sont atteints. Que valent $M$ et $m$
? O\`u sont-ils atteints ?

\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex} $\ $

\noindent
 Une m\'enag\`ere ach\`ete un adoucissant $P_1$ et une
lessive $P_2$. Le prix de l'adoucissant $P_1$ est $p_1$ et le prix
de la lessive $P_2$ est $p_2$. Elle ach\`ete des deux produits
pour un panier global de $10$ euros. Posons $x_1$ la quantit\'e
d'adoucissant achet\'ee et $x_2$ la quantit\'e de lessive
achet\'ee.


\begin{enumerate}
\item \'Ecrire l'\'equation qui repr\'esente la valeur du panier
achet\'e. \\

\noindent On mod\'elise l'utilit\'e du panier par la fonction
$$\displaystyle \left\{
\begin{array}{cccll}
f&  : &  \RR^2 &\to& \RR \\
&& (x_1,\, x_2) &\mapsto& \ln(x_1+1)+2\ln(x_2+1).
\end{array} \right.$$\\

\item Existe-t-il une utilit\'e optimale ? Si oui pour quelles
quantit\'es achet\'ees ?\\

\noindent
On pose $\alpha(p_1,\, p_2)$ la quantit\'e de lessive
achet\'ee dans ce cas.

\item Que se passe-t-il si $\displaystyle 2p_1 \leqslant p_2+10$
et si $\displaystyle 2p_1 \geqslant p_2+10$ ? Commenter ces
r\'esultats.

\item Quel est le signe de $\displaystyle \frac{\partial
\alpha}{\partial p_1}$ et de $\displaystyle \frac{\partial
\alpha}{\partial p_2}$ ? Commenter.

\item Si l'adoucissant coute $2$ euros et la lessive $5$ euros, en
quelles proportions faut-il acheter les deux produits pour un
r\'esultat maximal ? Commenter.

\end{enumerate}
\end{ex}



\begin{ex} $\ $

\noindent On consid\`ere la fonction $\displaystyle \left\{
\begin{array}{cccll}
f & :&  \RR^2 &\to& \RR \\
&&  (x_1,\, x_2) &\mapsto& x_1^2+x_2^2.
\end{array} \right.$ \\


\begin{enumerate}
\item  Quel est son domaine de d\'efinition ?

\item Pourquoi cette fonction est-elle continue ?\\

\noindent Posons $A:=\{ (x_1,\, x_2) \in {\RR}^2 \ ;\  x_1\ge 0, \
 x_2\ge 0,\ x_1+x_2\leq 1\}.$\\

 \item Repr\'esenter graphiquement $A$.

\item Montrer que $A$ est un ensemble ferm\'e et born\'e de
$\RR^2$.

\item Montrer que la fonction $f$ admet un maximum $M$ et un
minimum $m$ sur $A$ et qu'ils sont atteints. \\

\noindent Pour calculer $m$ et $M$, on distingue deux cas. Posons
$F$ la fronti\`ere de l'ensemble $A$. L'ensemble $F$ correspond
donc au triangle de sommets $(0,\, 0)$, $(1,\, 0)$, $(0,\, 1)$.
Soit $I$, l'int\'erieur de l'ensemble $A$, $I:=\{ (x,\, y) \in
{\RR}^2 \ ;\ 0 < x_1 , \ 0 < x_2,\  x_1+x_2< 1  \}$. \noindent On
a donc
$A=F\cup I$.\\

\item Montrer que $I$ est un ouvert de $\RR^2$.

\item Chercher et \'etudier les extrema de $f$  sur $I$.

\noindent \underline{Conseil} :  Utiliser les d\'eriv\'ees
partielles d'ordre $1$ et d'ordre $2$ de $f$.

\item Etudier les valeurs prises par la fonction $f$ sur $F$.

\item Comparer les r\'esultats des deux questions pr\'ec\'edentes
et conclure (donner les valeurs de $m$ et $M$ et dire o\`u ces
valeurs sont atteintes).

\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}$\ $

Soit $A$ l'ensemble d\'efini par $A:=\{ (x,\, y) \in {\RR}^2 \ ;\
0 \leq x \leq 1, \
0 \leq y \leq 1\}.$\\

On consid\`ere maintenant la restriction de la fonction $f$ de
l'exercice 2 \`a $A$ : $$\displaystyle \left\{
\begin{array}{cccll}
g=f_{A} & :&  A &\to& \RR \\
&&  (x,\, y) &\displaystyle \mapsto& e^{x^2+2y^2-2xy-y+1} .
\end{array} \right.$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble $A$ est un ensemble ferm\'e et
born\'e de $\RR^2$.

\item Expliquer pourquoi la fonction $g$ admet et atteint un
minimum $m$ et un maximum $M$.\\

\noindent Pour calculer $m$ et $M$, on distingue deux cas. Posons
$F$ la fronti\`ere de l'ensemble $A$. L'ensemble $F$ correspond
donc au carr\'e de sommets $(0,\, 0)$, $(1,\, 0)$, $(1,\, 1)$,
$(0,\, 1)$. Soit $I$, l'int\'erieur de l'ensemble $A$, $I:=\{
(x,\, y) \in {\RR}^2 \ ;\
0 < x < 1, \ 0 < y < 1\}$. \noindent On a donc $A=F\cup I$.\\

\item Montrer que $I$ est un ouvert de $\RR^2$.

\item Le minimum $m$ peut-il \^etre atteint sur $I$ ? Le maximum
$M$ peut-il \^etre atteint sur $I$ ?

\noindent \underline{Conseil} : Utiliser l'exercice $2$.

\item Etudier les valeurs prises par la fonction $g$ sur $F$.

\noindent \underline{Conseil} : Distinguer quatre cas.

\item Comparer les r\'esultats des deux questions pr\'ec\'edentes
et conclure (donner les valeurs de $m$ et $M$ et dire o\`u ces
valeurs sont atteintes).

\end{enumerate}

\end{ex}

\begin{ex}$\ $

Soit $A$ l'ensemble d\'efini par $A:=\{ (x_1,\, x_2) \in {\RR}^2 \
;\ 0 \leq x_1, \
0 \leq x_2 , \  x_1+x_2\leq 4  \}.$\\


\begin{enumerate}
\item Repr\'esenter graphiquement l'ensemble $A$.

\item Montrer que l'ensemble $A$ est un ensemble ferm\'e et
born\'e de $\RR^2$.\\

\noindent On consid\`ere la fonction $f$  $$\displaystyle \left\{
\begin{array}{cccll}
f & :&  A &\to& \RR \\
&&  (x_1,\, x_2) &\displaystyle \mapsto& 2(x_1-2)^2+(x_2-1)^2 .
\end{array} \right.$$\\

\item Expliquer pourquoi la fonction $f$ admet et atteint un
minimum $m$ et un maximum $M$.

\item Donner les valeurs de $m$ et $M$ et dire o\`u ces valeurs
sont atteintes.

\noindent \underline{Conseil} :  Inspirez-vous des exercices
pr\'ec\'edents.

\end{enumerate}
\end{ex}




\end{document}