 \documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amsmath}

\newtheorem{definition}[subsubsection]{D\'efinition}
\newtheorem{proposition} [subsubsection]{Proposition}
\newtheorem{notation} [subsubsection]{Notation}
\newtheorem{corollaire} [subsubsection]{Corollaire}
\newtheorem{remar}[subsubsection]{Remarque}
\newenvironment{remarque}{\begin{remar} \rm }%
{\end{remar}}
\newtheorem{theoreme} [subsubsection]{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{lemme} [subsubsection]{Lemme}
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\renewcommand\contentsname{Sommaire}
\newtheorem{exercice}[subsubsection]{\bf Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exercice}-- \rm }
{\end{exercice}}
\newtheorem{corrige}[subsubsection]{\bf Corrig\'e de  l'exercice}
\newenvironment{corri}{\begin{corrige}-- \rm }
{\end{corrige}}
\def\preuve{\ifhmode\par\fi\noindent{\bf D\'emonstration : }\ignorespaces}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}



 \title{Licence de Sciences \'Economiques \\Math\'ematiques  L1    \\ Ann\'ee 2004-2005}

  \begin{document}

\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage

\section{G\'en\'eralit\'es sur les ensembles et les applications}
\label{sgea}

\begin{definition}
Un ensemble est une collection d'objets appel\'es \'el\'ements de
l'ensemble.
\end{definition}

\noindent $a \in A$ signifie que $a$ est un \'el\'ement de $A$. \\
$\{ a,b,c \}$ d\'esigne l'ensemble form\'e des \'el\'ements $a$, $b$ et $c$.\\
$\emptyset$ d\'esigne l'ensemble sans \'el\'ement.

\begin{definition} Soit $A$ un ensemble. Un sous-ensemble de $A$ est un ensemble fom\'e
d'\'el\'ements de $A$.
\end{definition}

\noindent $B \subset A$ signifie que $B$ est un sous-ensemble de $A$.
On dit aussi que $B$ est contenu dans $A$.\\

\noindent {\bf Op\'erations :} Soit $B$ et $C$ deux sous-ensembles de $A$.\\

L'intersection de $B$ et $C$, not\'ee $ B \cap C $ est le sous-ensemble de $A$ form\'e
des \'elements de $A$ qui sont dans $B$ et dans $C$~:
$$ B \cap C = \{ a \in A \quad  ; \quad   a \in B \quad    {\rm et}  \quad   a \in C \}\; ,$$
lire : ''l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $A$ tels que $a$ appartient \`a $B$ et $a$ appartient \`a $C$''.\\


La r\'eunion de $B$ et  $C$, not\'ee $ B \cup C $ est le sous-ensemble de $A$ form\'e
des \'elements de $A$ qui sont dans $B$ ou dans $C$~:
$$ B \cup C = \{ a \in A \quad  ; \quad   a \in B \quad    {\rm ou}  \quad   a \in C \} \; ,$$
lire : ''l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $A$ tels que $a$ appartient \`a $B$ ou  $a$ appartient \`a $C$''.\\


Le compl\'ementaire de $B$ dans $A$, not\'e $ A - B $, est l'ensemble des \'el\'ements de $A$ qui ne sont pas dans $B$~:
$$ A - B  = \{ a \in A \quad  ; \quad   a \notin B  \}\; , $$
 lire : ''l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $A$ tels que $a$ n'appartient pas \`a $B$''.\\

\newtheorem{defappl}[subsubsection]{D\'efinition (application)}
\begin{defappl}
 Une application $f: A \rightarrow B$
est un proc\'ed\'e qui associe \`a tout \'el\'ement $a$ de $A$ un unique \'el\'ement $b$ de $B$  not\'e $f(a)$
et appel\'e image de $a$ par $f$.
\end{defappl}

\noindent  On appelle identit\'e de l'ensemble $A$ et on note $ {\rm Id}_A $ l'application de $A$ vers $A$ d\'efinie par
$ {\rm Id}_A (a) = a$~:
$$ {\rm Id}_A  : A \rightarrow A \quad : \quad a \mapsto ({\rm Id}_A )(a) = a \; .$$


\newtheorem{defca}[subsubsection]{D\'efinition (composition des applications)}
\begin{defca}
 Soit $f:A \rightarrow B$ et $g : B \rightarrow C$
deux applications. On appelle compos\'ee de $g$ par $f$ et on note $g \circ f $ l'application de $A$
vers $C$ d\'efinie par $ (g \circ f)(a) = g (f(a))$ pour tout $a$ dans $A$~:
$$ g\circ f : A \rightarrow C \quad : \quad a \mapsto (g \circ f)(a) = g (f(a))\; .$$
\end{defca}

\newtheorem{defisb}[subsubsection]{D\'efinition (application injective, surjective et bijective)}
\begin{defisb}   Soit $f : A \rightarrow B$ une application. Si pour tout \'el\'ement $b$ de $B$ l'\'equation~:
$$ f(a) = b $$
admet
\begin{itemize}
\item z\'ero ou une solution, on dit que $f$ est injective,
\item une ou plus de solutions, on dit que $f$ est surjective,
\item exactement une   solution, on dit que $f$ est bijective.
\end{itemize}
\end{defisb}

\begin{definition}
Soit $f :  A \rightarrow B $ une application bijective. On appelle inverse de $f$, l'application not\'ee $f^{-1} : B \rightarrow A$
d\'efinie pour tout \'el\'ement $b$ de $B$
 par~:
\begin{center} $f^{-1}(b)$ est l'unique \'el\'ement $a$ de $A$ solution de $f(a) =b$.
\end{center}
\end{definition}

Si $f : A \rightarrow B$ est une application bijective, on peut v\'erifier~:
$$ f \circ f^{-1} = {\rm Id}_B \quad {\rm et} \quad f^{-1} \circ f = {\rm Id}_A \; . $$

\newtheorem{deff}[subsubsection]{D\'efinition (fonction)}
\begin{deff}
 Une fonction $f: A \rightarrow B$
est un proc\'ed\'e qui associe \`a tout \'el\'ement $a$ de $A$ z\'ero ou un
 \'el\'ement $b$ de $B$  not\'e alors $f(a)$ et appel\'e image de $a$. Le domaine de d\'efinition de la fonction
$f$ est l'ensemble des \'el\'ements de $A$ qui ont une image par $f$.  On   note cet ensemble ${\cal D}_f$.
 \end{deff}

Soit $f:A \rightarrow B$ et $g : B \rightarrow C$  deux fonctions, $g\circ f$ d\'esignera la fonction
de $A$ vers $C$ d\'efinie sur l'ensemble des \'el\'ements $a$ de ${\cal D}_f$ tels que $f(a)$ appartienne \`a
${\cal D}_g$ par $(g \circ f) (a) = g (f(a))$. Ainsi, par d\'efinition~:
$$ {\cal D}_{g \circ f} = \{ a \in {\cal D}_f \quad ; \quad f(a) \in {\cal D}_g \}\; .$$

\section{Fonctions num\'eriques}

\subsection{Sous-ensembles de $\mathbb{R}$}

Soit $a$ et $b$ deux nombres r\'eels avec $a < b$. Il y a neuf
types d'intervalle de ${\R}$~:


 $$\begin{array}{lll}
]a,b[  & = &\{ x \in {\R} \quad ; \quad a < x < b \} \\
]a,b] & =& \{ x \in {\R} \quad ; \quad a < x \leq b \} \\
 {[}a,b[  & = & \{ x \in {\R} \quad ; \quad a \leq x < b \} \\
 {[}a,b] &=& \{ x \in {\R} \quad ; \quad a \leq x \leq b \} \\
  ] - \infty , b[& =& \{ x \in {\R} \quad ; \quad   x < b \} \\
 ] - \infty , b]& =& \{ x \in {\R} \quad ; \quad   x \leq b \} \\
 ]a,\infty[ &=& \{ x \in {\R} \quad ; \quad a < x  \} \\
 {[} a,\infty[  & = & \{ x \in {\R} \quad ; \quad a \leq x  \}  \\
   ]- \infty ,\infty [   & = & {\R}
\end{array}$$

\noindent Consid\'erons  la fonction valeur absolue~:
$${\R} \rightarrow {\R}^+ \quad : \quad x \mapsto \mid x \mid \quad  = \quad
 \left\{  \begin{array}{ll}  x  & {\rm si} \;   x \geq 0 \, , \\
   -x & {\rm sinon } \, .
 \end{array} \right. $$

 Pour tout $x$ et $y$ dans ${\R}$~:

$$\left\{  \begin{array}{l} \mid x+y \mid \leq  \mid x \mid +  \mid y \mid \,   , \\
  \mid x y \mid =  \mid x \mid \mid y \mid \, , \\
    \mid x \mid = 0 \quad {\rm si \; et \; seulement \; si} \quad x =0  \; .
 \end{array} \right. $$



 Rappelons que pour $\epsilon $ r\'eel positif et $a$ r\'eel~:

$$\left\{  \begin{array}{lll}   \mid x - a  \mid   \leq \epsilon  & {\rm \acute{e}quivaut \; \grave{a} }  & x \in ]a - \epsilon, a + \epsilon [\, , \\
   & {\rm \acute{e}quivaut \; \grave{a} }   & a - \epsilon < x < a + \epsilon   \, .
 \end{array} \right. $$

\newtheorem{defo}[subsubsection]{D\'efinition (ouvert, ferm\'e, born\'e)}
\begin{defo}
 Un sous-ensemble $U$ de ${\R}$ est dit ouvert si pour tout $u \in U$, il existe  $\epsilon$
tel que $]u - \epsilon, u + \epsilon [$ soit contenu dans $U$
(attention que $\epsilon$ d\'epend du $u$ pris dans $U$). \\
Un sous-ensemble  ${\R}$ est dit ferm\'e si son compl\'emenatire dans ${\R}$ est ouvert.\\
Un  sous-ensemble $H$ de  ${\R}$ est dit born\'e s'il existe un
r\'eel $M$ tel que pour tout $h \in H$, on ait $\mid h \mid \leq
M$.
\end{defo}

\begin{remar} Soit $a$ et $b$ deux nombres r\'eels avec $a < b$. Les
intervalles $]a,b[$,   $]-\infty, a[$, $]b, \infty[$  sont ouverts.
Les intervalles $[a,b]$, $]-\infty, a]$, $[b, \infty[$  sont ferm\'es.
\end{remar}

\begin{remar} L'intersection et la r\'eunion de deux ouverts de ${\R}$
sont des ouverts. De m\^eme, l'intersection et la r\'eunion de
deux ferm\'es de ${\R}$ sont  des ferm\'es et l'intersection et la
r\'eunion de deux sous-ensembles born\'es
 de ${\R}$ sont  born\'es.
\end{remar}



\subsection{Ouverts  de  ${\R}^2$ et ${\R}^n$}
Revenons aux intervalles de ${\R}$. Soit $ {\cal D} $ une droite.
Fixons  un rep\`ere de ${\cal D} $. L'ensemble des nombres r\'eels
${\R}$ s'identifie \`a  la droite ${\cal D} $   par l'application
qui \`a un r\'eel $x$
  associe le point $M$ de ${\cal D} $ d'abscisse $x$.\\

Soit $x$, $a$ deux r\'eels~; soit $M$    le point de $D$ d'abscisse $x$ et
$A$ celui d'abscisse $a$.
La longueur du segment $AM$ est  $ \mid x - a \mid $.
Soit de plus, $r $ un r\'eel positif. L'ensemble~:
$$B(a,r) :=  \{ x \in {\R} \; ; \; \mid x-a \mid < r \} = ] a -  r , a + r [ $$
s'identifie donc \`a l'ensemble  $M$ des points de  ${\cal D} $ qui sont \`a une distance de $A$
strictement inf\'erieur \`a $r$.
Comme $\sqrt{(x- a)^2} = \mid x - a \mid$, nous avons aussi~:
$$ B(a,r)= \{ x   \in  {\R}  \quad ; \quad  \sqrt{(x- a)^2} < r   \}  \; .$$





Consid\'erons l'ensemble ${\R}^2$ des couples de nombres r\'eels.
Soit ${\cal P}  $ un plan. Fixons un rep\`ere de ${\cal P}$.
L'ensemble ${\R}^2$ s'identifie alors au plan ${\cal P}$  par l'application qui au couple $(x_1,x_2)\in {\R}^2$ associe le point $M$ de ${\cal P}$  de coordonn\'ees $(x_1,x_2)$ dans le rep\`ere de ${\cal P}$.\\

Soit $x=(x_1,x_2) \in {\R}^2$, $a= (a_1,a_2) \in {\R}^2$. Soit $M$
le point de ${\cal P}$ de coordonn\'ees $x=(x_1,x_2)$ et $A$ celui
de coordonn\'ees $a= (a_1,a_2)$. La longueur du segment $AM$ est~:
$$ \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \; . $$
Soit de plus, $r $ un r\'eel positif. Notons~:
$$B(a,r )= \{ x=(x_1,x_2) \in  {\R}^2  \quad ; \quad  \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} < r   \} \; . $$
Cet ensemble s'identifie \`a l'ensemble  $M$ des points de  ${\cal P} $ qui sont \`a une distance de $A$
strictement inf\'erieur \`a $r$; c'est \`a dire au disque de centre $a$ et de rayon $r$
sans son bord.\\

Consid\'erons l'ensemble ${\R}^3$ des triplets de nombres r\'eels.
Soit $ {\cal E} $ un espace. Fixons un rep\`ere de $ {\cal E} $.
L'ensemble ${\R}^3$ s'identifie alors au plan ${\cal E}$  par l'application qui au couple $(x_1,x_2,x_3)\in {\R}^3$ associe le point $M$ de ${\cal E}$  de coordonn\'ees $(x_1,x_2,x_3)$ dans le rep\`ere de ${\cal E}$.\\

Soit $x=(x_1,x_2,x_3) \in {\R}^3$, $a= (a_1,a_2,a_3) \in {\R}^3$.
Soit $M$ le point de ${\cal E}$ de coordonn\'ees $x=(x_1,x_2,x_3)$
et $A$ celui de coordonn\'ees $a= (a_1,a_2,a_3)$. La longueur du
segment $AM$ est~:
$$ \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + (x_3 - a_3)^2} $$
Soit de plus, $r $ un r\'eel positif. Notons~:
$$B(a,r)= \{ x=(x_1,x_2,x_3) \in  {\R}^3    ;    \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 +(x_3 - a_3)^2} < r \} \; . $$
Cet ensemble s'identifie \`a l'ensemble  $M$ des points de  ${\cal E} $ qui sont \`a une distance de $A$
strictement inf\'erieur \`a $r$; c'est \`a dire \`a la boule de centre $a$ et de rayon $r$
sans son bord.\\

Soit $n \geq 1$ un entier naturel . Les d\'efinitions ci-dessus se
g\'en\'eralisent  \`a l'ensemble ${\R}^n$ form\'e des $n$-uplets
de nombres r\'eels.

\newtheorem{defdist}[subsubsection]{D\'efinition (distance)}
\begin{defdist}
 Soit $x=(x_1, \ldots ,x_n)  $,  $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n $.
 On appelle distance de $x $ \`a $a $ le nombre r\'eel
positif~:
$$\sqrt{ \sum_{i=1}^n(x_i-a_i)^2 } = \sqrt{ (x_1-a_1)^2 + \cdots + (x_n-a_n)^2}   \; .$$
 et nous notons pour $r$ r\'eel positif~:
$$B(a,r)= \{ x=(x_1,\ldots, x_n) \in  {\R}^n    \quad ;   \quad
 \sqrt{ \sum_{i=1}^n(x_i-a_i)^2} < r  \} \; . $$
 \end{defdist}

\newtheorem{defon}[subsubsection]{D\'efinition (ouvert, ferm\'e, born\'e)}
\begin{defon}
 Un sous-ensemble $U$ de ${\R}^n $ est dit ouvert si pour tout $u \in U$, il existe  $\epsilon$
tel que $B(u,\epsilon)$ soit contenu dans $U$
(attention~: $\epsilon$ d\'epend du $u$ pris dans $U$). \\
Un sous-ensemble  ${\R}^n$ est dit ferm\'e si son compl\'emenatire dans ${\R}^n$ est ouvert.\\
Un  sous-ensemble $H$ de  ${\R}^n$ est dit born\'e s'il existe un
r\'eel $M$ tel que pour tout $ x=(x_1, \ldots ,x_n)  \in H$, on
ait $\sqrt{  x_1^2 + \cdots + x_n^2 } < M$.
\end{defon}


\begin{remar} Soit $x=(x_1, \ldots ,x_n) \in {\R}^n$ et $r$ un r\'eel positif. Alors
$B(x,r)$ est un ouvert de ${\R}^n$. On appelle cet ensemble la
boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$.
\end{remar}

Soit $a=(a_1, \ldots ,a_n)  \in {\R}^n$ et  $r$ r\'eel positif.
D\'esignons par~:
$$\tilde{B}(a,r) = \{  x=(x_1,\ldots, x_n) \in  {\R}^n    \; ;   \;
 {\rm max}\{ \mid x_1 - a_1 \mid , \ldots , \mid x_n - a_n \mid  \} < r   \} \; .$$
Pour $n=2$, si $A$ d\'esigne le point de coordonnn\'ees $a=(a_1,a_2)$, $\tilde{B}(a,r)$
s'identifie au carr\'e de centre $a$ dont la longueur des cot\'es est $2r$. \\

Nous avons~:
$$ B(a,r) \subset \tilde{B}(a,r) \subset  B(a,\sqrt{n} \, r) \subset \tilde{B}(a,\sqrt{n} \, r) \; .$$

 L'ensemble ${\R}^n$ des $n$-uplets de r\'eels est muni d'une addition, d'une soustraction et d'une multiplication par les r\'eels. Soit~:
 $$x=(x_1,\ldots, x_n) \quad ,   \quad x=(y_1,\ldots, y_n)  \in  {\R}^n  \quad {\rm  et } \quad
\lambda \in {\R}$$
\begin{itemize}
\item la somme de $x$ et $y$ est le n-uplet not\'e $x+y$ d\'efini par~:
$$ x+ y = (x_1+y_1, \ldots ,x_n+y_n) \; , $$
\item la diff\'erence  de $x$ par $y$ est le n-uplet not\'e $x-y$ d\'efini par~:
$$ x - y = (x_1-y_1, \ldots ,x_n-y_n) \; , $$
\item le produit  de $x$ par $\lambda$ est le n-uplet not\'e $\lambda x$ d\'efini par~:
$$ \lambda x  = ( \lambda x_1+y_1, \ldots , \lambda x_n  )\; .$$
\end{itemize}
On note $0 \in {\R}^n$ le n-uplet $(0,\ldots,0)$.  \\

On peut v\'erifier que pour tout $x$,$y$,$z \in {\R}^n$ et
$\lambda,\mu \in {\R}$, on a~:
$$ \begin{array}{l}(x+y)+z = (x+y)+z \; , \\ \lambda(\mu x)= (\lambda \mu) x \; , \\
\lambda (x+y) = \lambda x + \lambda y \; , \\
(\lambda + \mu ) x = \lambda x + \mu x \; , \\x -x =0 \; .

\end{array}$$

\begin{remar} L'intersection et la r\'eunion de deux ouverts de ${\R}^n$
sont des ouverts. De m\^eme, l'intersection et la r\'eunion de
deux ferm\'es de ${\R}^n$ sont  des ferm\'es et l'intersection et
la r\'eunion de deux sous-ensembles born\'es
 de ${\R}^n$ sont  born\'es.
\end{remar}





\subsection{Fonctions num\'eriques :  d\'efinitions et  exemples}
 On appelle fonction num\'erique \`a $n$ variables une fonction $f : U \rightarrow {\R}$
d'un sous-ensemble $U$ de ${\R}^n$ vers l'ensemble des nombres r\'eels.\\

{\noindent} {\bf Exemple} :  Consid\'erons la fonction~:
$$ g :{\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad x= (x_1,x_2) \mapsto \frac{ \sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \; .$$
Son domaine de d\'efinition est~:
$${\cal D}_g = \{ x= (x_1,x_2)  \quad  ; \quad x_1\geq 0 \; {\rm et} \; x_2 >0 \}\; .$$
 Consid\'erons la fonction~:
$$ h :{\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad x= (x_1,x_2) \mapsto \frac{ x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}\; .$$
Son domaine de d\'efinition est~:
$${\cal D}_g = \{ x= (x_1,x_2)  \quad  ; \quad x_1 \neq  0 \; {\rm ou} \; x_2\neq 0 \}$$
qui s'identifie  \`a la r\'eunion des axes de coordonn\'ees.\\

Consid\'erons deux fonctions $f  :  U \rightarrow {\R}$,
$g  :  U \rightarrow {\R}$, et un r\'eel $\lambda$.  \\

On appelle somme de $f$ et $g$  la fonction not\'ee $f+g  :  U
\rightarrow {\R}$ d\'efinie pour tout $x = (x_1, \ldots ,x_n) \in
U$ par~:
$$
(f+g)(x_1, \ldots ,x_n) := (f(x_1, \ldots ,x_n) + g(x_1, \ldots
,x_n) \; .$$ On appelle produit de $f$ par $g$  la fonction
not\'ee $fg  :  U \rightarrow {\R}$ d\'efinie pour tout $x = (x_1,
\ldots ,x_n) \in U$ par~:

$$
(fg)(x_1, \ldots ,x_n) := f(x_1, \ldots ,x_n)   g(x_1, \ldots ,x_n) \; .$$
Les fonctions $f+g$ et $fg$ sont d\'efinies en tout point o\`u $f$ et  $g$ le sont.
Les domaines de d\'efinitions de $f+g$ et $fg$ sont  donc ${\cal D}_f \cap {\cal D}_g$
l'intersection du domaine de  d\'efinition  de $f$ et du domaine de  d\'efinition  de $g$.\\

On appelle quotient  de $f$ par $g$  la fonction not\'ee $
\displaystyle \frac{f}{g}   :  U \rightarrow {\R}$ d\'efinie pour
tout $x = (x_1, \ldots ,x_n) \in U$ par~:

$$
\frac{f}{g} (x_1, \ldots ,x_n) = \frac{f(x_1, \ldots ,x_n)  }{ g(x_1, \ldots ,x_n)}\; .$$
La fonction   $ \displaystyle
\frac{f}{g} $ est    d\'efinie  en tout point o\`u $f$ et  $g$   sont d\'efinies et o\`u $g$ ne s'annule
pas.
$$ {\cal D}_{f/g} =  \{ x \in {\cal D}_g \cap {\cal D}_f \quad ; \quad g(x) \neq 0 \} $$
 On appelle produit de $f$ par $\lambda \in {\R}$  la fonction not\'ee $\lambda f  :  U \rightarrow {\R}$ d\'efinie pour tout $x =
(x_1, \ldots ,x_n) \in U$ par~:
$$
( \lambda f )(x_1, \ldots ,x_n) =  \lambda f(x_1, \ldots ,x_n)  \; . $$
Le domaine de d\'efinition de $\lambda f  $ co\"{\i}ncide avec celui de $f$.\\

\noindent {\bf Exemple}
Soient $f$,$g$ les fonctions num\'eriques~:
$$f:  {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto x_1+x_2-x_1^2 \; , $$
$$g: {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto 2x_1^2+x_2^2 \; .$$
La fonction $\displaystyle \frac{f+g}{g}$ est la fonction~:
$${\R}^2 \rightarrow {\R} \quad :\quad (x_1,x_2) \mapsto \frac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{ 2x_1^2+x_2^2}\; .$$
Montrer que cette fonction est d\'efinie sur ${\R}^2$.

\newtheorem{defnu}[subsubsection]{D\'efinition (norme usuelle)}
\begin{defnu} Nous appelons norme usuelle de $ {\R}^n $ l'application de  ${\R}^n$
vers l'ensemble $ {\R}^+ $ des r\'eels positifs d\'efinie par~:
$$ {\R}^n  \rightarrow {\R}^+  \quad : \quad x= (x_1, \ldots ,x_n)  \mapsto
\mid \mid x \mid \mid = \sqrt{x_1^2 + \cdots +x_n^2}  \; .$$
\end{defnu}

Avec cette d\'efinition si
 $a=(a_1, \ldots ,a_n)  \in {\R}^n$  et  si est un $r$ r\'eel positif.

$$B(a,r)= \{ x=(x_1, \ldots ,x_n) \in {\R}^n \; ; \; \mid \mid x -a \mid \mid <r\} \; .$$
En effet, par d\'efinition de la soustraction dans ${\R}^n$~:
$$  \mid \mid x -a \mid \mid = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2} $$
qui n'est d'ailleurs rien d'autre que la distance de $x$ \`a $a$.\\

Pour tout $x$, $ y\in  {\R}^n$ et tout $\lambda \in {\R}$, on peut
montrer~:

$$\left\{  \begin{array}{l} \mid \mid x+y \mid \mid \leq  \mid \mid x \mid \mid +  \mid \mid y \mid \mid \,   , \\
\mid \mid \lambda x  \mid \mid  =  \mid \lambda \mid\,  \mid \mid x \mid \mid \, ,
\\ \mid\mid x \mid \mid = 0 \quad {\rm si \; et \; seulement \; si} \quad x =0  \; .
\end{array} \right. $$


Consid\'erons la fonction num\'erique d'une seule variable~:
$$ f : {\R} \rightarrow {\R}  \quad :\quad x \mapsto f(x) = \frac{1 }{2}x^{17}+5x-4$$
Cette fonction est d\'efinie sur  ${\R }$. C'est une fonction
polyn\^omiale d'une variable de degr\'e $17$.

\newtheorem{deffp1}[subsubsection]{D\'efinition (fonction polyn\^omiale d'une variable)}
\begin{deffp1} Soit $m+1$ r\'eels \\
$a_0, a_1, \ldots ,a_m$ tels que

$a_0 \neq 0$. On appelle
 fonction polyn\^omiale d'une variable de degr\'e $m$   la fonction~:
$$ f : {\R} \rightarrow {\R}  \quad :\quad x \mapsto f(x) =  a_0x^m + a_1x^{m-1} + \cdots +a_0 \; .$$
\end{deffp1}

Consid\'erons la fonction num\'erique de deux variables~:
$$ f : {\R}^2 \rightarrow {\R}  \quad :\quad x= (x_1,x_ 2) \mapsto f(x) =
 \frac{2 }{3}x_1^{12}x_2^5+5x_1^3x_2^{7}-4 \; .$$
Cette fonction est d\'efinie sur  ${\R }^2$. C'est une fonction
polyn\^omiale de deux variables.

 \newtheorem{deffpn}[subsubsection]{D\'efinition (fonction polyn\^omiale de $n$ variables)}
\begin{deffpn} Soit $I$ un sous-ensemble fini de n-uplets d'entiers naturels. Donnons nous
pour chaque \'el\'ement  $(k_1, \ldots, k_n)$ de $I$ un r\'eel not\'e $a_{k_1, \ldots, k_n}$.
La fonction~:
$$f : {\R}^n \rightarrow {\R}  \quad :\quad x =( x_1, \ldots , x_n)  \mapsto f(x) =
\sum_{k_1, \ldots, k_n \in I} a_{k_1, \ldots, k_n} x_1^{k_1} \ldots  x_n^{k_n} $$
 est appel\'ee  fonction polyn\^omiale de $n$ variables.
\end{deffpn}

On remarque que la somme et le produit de deux fonctions polyn\^omiales de $n$ variables
est une fonction polyn\^omiale de $n$ variables, de m\^eme que le produit d'une fonction
polyn\^omiale  de $n$ variables par un r\'eel.\\

 \newtheorem{deffr}[subsubsection]{D\'efinition (fonction rationelle de $n$ variables)}
\begin{deffr} On appelle fonction rationelle de $n$ variables le quotient de deux fonctions
polyn\^omiales de $n$ variables
\end{deffr}

\noindent {\bf Exemple} La fonction~:
$$ h : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad x= (x_1,x_2) \mapsto h(x_1,x_2) =
\frac{x_1^5 x_2 +x_1x_2^3}{x_1^3x_2^6 + x_1 +2 } $$
est une fonction rationelle de deux variables. Elle  est d\'efinie sur~:
$$   \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \quad ; \quad x_1^3 x_2^6 + x_1 +2   \neq 0 \}\; . $$
Cet ensemble n 'est pas du tout \'evident \`a repr\'esenter  g\'eom\'etriquent. \\

On remarque que la somme,   le produit et le quotient  de deux fonctions rationelles de $n$ variables
est une fonction rationelle de $n$ variables, de m\^eme que le produit d'une fonction
rationelle  de $n$ variables par un r\'eel.

\subsection{Fonctions num\'eriques : limite et continuit\'e}


\newtheorem{defpa}[subsubsection]{D\'efinition (point adh\'erent)}
\begin{defpa} Soit $A$ un sous-ensemble de ${\R}^n$. Un point   $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
est dit adh\'erent \`a $A$ si pour tout r\'eel strictement positif, $B(a,r)$ rencontre $A$.
\end{defpa}

 \noindent {\bf Exemple avec $n=1$ :} Le r\'eel $u$ est adh\'erent \`a $A= ]u,v[ \subset {\R}$.
En effet, pour tout r\'eel strictement positif $r$, $B(u,r)=]u-r,\, u+r[$  rencontre $]u,\, v[$.\\

 \noindent {\bf Exemple avec $n=2$ :} Le point $(2,0)$ est adh\'erent au sous-ensemble~:
$$ A = \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \quad ; \quad x_2 > 0\} \; .$$
En effet, il est clair que la boule $B((2,0),r)$ qui est le disque de centre $(2,0)$ et de rayon $r$
rencontre $A$ pour tout $r$ r\'eel strictement positif. Par contre le point $(2,-1)$ n'est pas adh\'erent
\`a $A$.\\

\begin{remar}Un point de $A$ est toujours adh\'erent \`a $A$.
\end{remar}

\newtheorem{defl}[subsubsection]{D\'efinition (limite)}
\begin{defl} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
 adh\'erent \`a $A$ et $l \in {\R}$. On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers
$a$, ou encore que $f$ a pour limite $l$  quand $x$ tend vers $a$
si '' f est proche de $l$ quand $x$ est proche de $a$'',
c'est-\`a-dire~: si pour tout r\'eel   $\epsilon > 0$, il existe
un r\'eel $\eta >0$ tel que
$$ x = (x_1, \ldots ,x_n) \in B(a,\eta) \quad {\rm et} \quad x \in A
\quad {\rm implique} \quad \mid f(x) - l \mid < \epsilon \; .$$
Si cette limite existe, elle est unique. Nous la notons~:
$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l \; .$$
\end{defl}

\noindent {\bf Exemple} $f : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad
(x_1,x_2) \mapsto x_1$. Le point $a=(17,2)$ est adh\'erent \`a
${\R}^2$, car c'est un point de ${\R}^2$. Nous avons~:
$$ \lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (17,2)} f(x_1,x_2) = f(17,2) =  17 \; .$$
En effet, soit $ \epsilon >0$.  Rappelons que~:
$$ B( (17,2), \eta ) = \{  (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; \sqrt{ (x_1 - 17)^2 + (x_2 -  2)^2 }< \eta  \}\; . $$
Nous devons montrer que~:
tout r\'eel   $\epsilon > 0$, il existe un r\'eel $\eta >0$ tel que
$$  \sqrt{ (x_1 - 17)^2 + (x_2 -  2)^2 }< \eta    \quad {\rm implique} \quad \mid x_1 -17 \mid < \epsilon \; .$$
Il suffit de prendre $ \eta = \epsilon $, puisque pour tout $(x_1,x_2)$~:
$$\mid x_1 - 17 \mid \leq \sqrt{(x_1- 17)^2 + (x_2 -  2)^2} \quad .$$

Plus g\'en\'eralement, on montre de m\^eme que pour tout
$a=(a_1,a_2) \in {\R}^2$, on a~:
$$ \lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (a_1,a_2) } f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2)= a_1 \quad .$$

\noindent{\bf Op\'erations sur les limites :} Soient $f, g  :A
\rightarrow {\R}$ deux fonctions d\'efinies sur un ensemble $A$ de
${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
 adh\'erent \`a $A$. On suppose que $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) = l'$, $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = l''$.
Nous avons~:
 \begin{itemize}
 \item[i)]  $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} (f+g)(x) $  existe et vaut $l'+l''$,
 \item[ii)]  $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} (\lambda f)(x) $  existe et vaut $\lambda l'$,
\item[iii)]  $\displaystyle   \lim_{x \rightarrow a} (\lambda
f)(x) $  existe et vaut $\lambda l'$ o\`u $\lambda \in {\R}$.
 \end{itemize}
Si de plus, $g$ est non nulle sur $A$ et   $l'' \neq 0$, alors $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} (f/g)(x) $  existe et vaut $l'/l''$.\\

Donnons une propri\'et\'e utile pour calculer des limites.

\begin{proposition} Soient $f,g,h :A \rightarrow {\R}$ trois fonctions d\'efinies sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
adh\'erent \`a $A$. Supposons qu'il existe un r\'eel $r>0$ tel que
si $x$ appartient \`a $B(a,r)$, on ait~:
$$ f(x) \geq g(x) \geq h(x) \; .$$
Supposons alors que $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =\lim_{x \rightarrow a} h(x)  = l$, alors
 $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} g(x)$ existe et vaut $l$.

\end{proposition}




\begin{remar} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Si $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$ et
$\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$, alors $l=f(a)$.
\end{remar}

\newtheorem{defc}[subsubsection]{D\'efinition (continuit\'e)}
\begin{defc} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in A$
  On dit que $f$ est continue en $a$ si $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x)$ existe.
Comme $a \in A$, on a alors~:   $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) $.
On dit que $f$ est continue si $f$ est continue en tout point de $A$.
\end{defc}

\noindent{ \bf Op\'erations sur les fonctions continues :} Soient
$f, g  :A \rightarrow {\R}$ deux fonctions d\'efinies sur un
ensemble $A$ de ${\R}^n$.   Supposons que $f$ et $g$ sont
continues en un point $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in A$. Alors les
fonctions $f+g$, $fg$ et $\lambda f$ (o\`u $\lambda \in {\R}$)
sont continues en $a$. Si de plus $g$ est non nul sur $A$, la
fonction $f/g$ est continue en $a$. Il en est de m\^eme si on
remplace continue en $a$ par continue.

\begin{proposition} \label{pcfpfr} Une fonction polynomiale de ${\R}^n$ vers ${\R}$ est continue. Une fonction
rationelle est continue sur son domaine de d\'efinition.
\end{proposition}

 \noindent Id\'ee de la preuve : On montre comme dans l'exemple pr\'ec\'edent
que les fonctions coordonn\'ees ${\R}^n \rightarrow {\R} \; : \;
(x_1 , \ldots ,x_n) \mapsto x_j$ sont continues. On en d\'eduit
que les fonctions polynomiales sont continues, car elles
s'obtiennent comme
produit et sommes finies de fonctions coordonn\'ees. \\

 \noindent {\bf Exemple :} La fonction~:
 $$ \displaystyle f : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) = x_1^2 + x_1x_2 + \frac{1}{2}x_2^2$$
 est continue car polynomiale. En particulier,
$$\lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (3,2)} f(x_1,x_2) = f(3,2) =  17 \; .$$
Consid\'erons la fonction rationelle~:
$$ g : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto g(x_1,x_2) =  \frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \; .$$
Son domaine de d\'efinition est~:
$$D= \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 ; x_1\geq 0\quad {\rm  et} \quad  x_2 > 0 \} \; .$$
 Consid\'erons
la fonction
$$h :  D \rightarrow {\R} \; : \; (x_1,x_2) \mapsto h(x_1,x_2) =  \frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \; .$$
La propostion \ref{pcfpfr} signifie que $h$ est continue.  En particulier,
$$\lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (3,2)} h(x_1,x_2) =  \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \; .$$

\begin{proposition} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $B \subset A$, on appelle restriction de $f$
\`a $B$ l'application not\'ee $f_{\mid B}$~:
$$f_{\mid B} :  B \rightarrow {\R} \quad : \quad x \mapsto f(x) \; .$$
Alors si $f$ est continue, la restriction de  $f$ \`a $B$ est continue.
\end{proposition}

 \noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction $f$~:
 $$f   : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) = x_2 \; .$$
 Cette fonction  est continue car polynomiale.
La restriction de cette fonction \`a $ {\cal C} = \{(x_1,x_2)  \in
{\R}^2 \; ; \; x_1 ^2 + x_2^2 = 1 \}$~:
 $$ {\cal C}  \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f_{\mid {\cal C} }(x_1,x_2) = x_2$$
est donc continue.\\



\noindent{\bf Composition de limites et de fonctions continues~:} \\
Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un
ensemble $A$ de ${\R}^n$. Soit $g : B \rightarrow {\R}$ une
fonction d\'efinie sur un ensemble $B$ de ${\R}$. Pour composer
$g$ par $f$,  il faut et il suffit   que pour $x \in A$, $f(x) \in
B$. On peut alors d\'efinir~:
$$g \circ f :  A  \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto g(f(x)) \; .$$
\begin{itemize}
\item[i)] Supposons que $a \in {\R}^n$ est adh\'erent \`a $A$ et
que $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =b  $. Alors, $b$
est adh\'erent \`a $B$. Supposons aussi que  $\displaystyle
\lim_{y \rightarrow b} g(y) = l$. Alors~:
 $$\displaystyle   \lim_{x \rightarrow a} (g \circ f )(x) \quad {\rm  existe \;  et \; vaut}\quad  l \; . $$
\item[ii)] Si $f$ est continue en $a \in A$ et si $g$ est continue en $f(a)$, alors $g\circ f$
est continue en $a$.
\item[iii)] Si $f$ et $g$ sont continues, $g \circ f$ est continue.
\end{itemize}


 \noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction $f$~:
 $$f   : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) =  \sqrt{2x_1^2+3x_2^2} \; .$$
Cette fonction s'obtient par compos\'ee de la fonction polynomiale~:
$${\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto  ) = 2x_1^2+3x_2^2$$
et de la fonction racine~:
 $${\R}^+ \rightarrow {\R}
\quad : \quad x \mapsto    = \sqrt{x} \; .$$
 La premi\`ere fonction est continue car polynomiale. En revenant
 \`a la d\'efinition des limites, on peut montrer
que la fonction racine est continue (nous l'admettrons).


G\'en\'eralisons quelque peu ce principe de composition.
Consid\'erons  $p$ fonctions $f_1, \ldots ,f_p  : A \rightarrow
{\R}$  d\'efinies sur un ensemble $A$ de ${\R}^n$. Ces fonctions
permettent de d\'efinir une application~:
$$   f : A \rightarrow {\R}^p \; : \; x\mapsto (f_1(x), \ldots f_p(x)) \; .$$
Soit $g : B \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un
ensemble $B \subset {\R}^p$. Pour composer $g$ par $f$, il suffit
que   pour $x \in A$~: $f(x) \in B$. La fonction $g \circ f$ est
alors d\'efinie~:
$$g \circ f :  A  \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto g(f_1(x),\ldots ,f_p(x))\; .$$

\begin{itemize}
\item[i)] Supposons que $a \in {\R }^n$ est adh\'erent \`a $A$ et
que pour tout entier $1 \leq j \leq p$, on ait~:  $\displaystyle
\lim_{x \rightarrow a} f_j(x) =b_j $. Alors, $b= (b_1, \ldots
,b_p) $ est adh\'erent \`a $B$. Supposons aussi que  $\lim_{y
\rightarrow b} g(y) = l$. Alors, $ \displaystyle  \lim_{x
\rightarrow a} (g \circ f )(x) $ existe et vaut $l$. \item[i))] Si
$f$ est continue en $a \in A$ et si $g$ est continue en $f(a)$,
alors $g\circ f$ esr continue en $a$. \item[i)))] Si $f$ et $g$
sont continues, $g \circ f$ est continue.
\end{itemize}

\subsection{Trois r\'esultats sur les fonctions continues}


\begin{proposition}\label{piio}
Soit $f$ une fonction num\'erique d\'efinie et continue sur ${\R}^n$.
 \begin{enumerate}
\item Soit $U$  un ouvert de ${\R}$, alors $ \{ x \in {\R}^n \; ;\; f(x) \in U\} $
est un ouvert de ${\R}^n$.
\item Soit $F$  un ferm\'e de ${\R}$, alors $\{ x \in {\R}^n \; ;\; f(x) \in F\}$
est un ferm\'e de ${\R}^n$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

Signalons que ce r\'esultat est vrai sous la forme plus g\'en\'erale suivante
que nous ne devrions pas utiliser~:

 \begin{proposition}
Soit $f: A \rightarrow {\R} $ une fonction num\'erique d\'efinie sur un sous-ensemble
$A$ de ${\R}^n $ et continue.
\begin{enumerate}
\item Soit $U$ est   ouvert de ${\R}$, alors $\{ x \in A \; ;\; f(x) \in U\}$
est l'intersection de $A$ avec  un ouvert de ${\R}^n$.
\item Soit $F$   un ferm\'e de ${\R}$, alors $\{ x \in A \; ;\; f(x) \in F\}$
 est l'intersection de $A$ avec   un ferm\'e de ${\R}^n$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction polynomiale~:
$$ f : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto 2 x_1^2 + x_2^2 \; .$$
 L'ensemble $F = \{ 1 \} $ r\'eduit \`a un \'el\'ement   est un ferm\'e de ${\R}$, car son compl\'ementaire
${\R} -  \{ 1 \} = ] - \infty , 1 [ \cup   ] 1, \infty[ $ est un ouvert de ${\R}$.
D'une part, nous avons~:
$$ \begin{array}{ll}
\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; f( x_1,x_2 ) \in F \}&  = \quad
  \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; f( x_1,x_2 ) \in  \{ 1 \} \}\; ,  \\
&  = \quad
  \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 = 1   \}  \; . \end{array} $$
D'autre part,   $f$ est une fonction polynomiale, donc  d\'efinie
sur ${\R}^2 $ et continue. Il r\'esulte de la proposition
\ref{piio},  que l'ensemble~:
$$\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 = 1   \} $$
est un ferm\'e de  ${\R}^2$.\\

Consid\'erons la m\^eme fonction $f$ et le sous-ensemble $U= ]-\infty , 1[ $.
Nous avons~:
$$ \begin{array}{ll}
\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; f( x_1,x_2 ) \in U \}&  = \quad
 \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; f( x_1,x_2 ) \in  ]-\infty , 1[ \}  \; , \\
&  = \quad
  \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 < 1   \} \; . \end{array} $$
Comme $U$ est un sous-ensemble ouvert de $\R$, l'ensemble
$$\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 < 1   \} $$
 est, d'apr\`es la proposition \ref{piio}, un ouvert
de ${\R}^2$.

\begin{theoreme}\label{tmfcfb}
Soit $A$ un sous-ensemble ferm\'e et born\'e de ${\R}^n$ et
$f: A \rightarrow {\R}$ une fonction continue. Alors $f$ poss\`ede un maximum et un minimum
qui sont atteints~:
 \begin{enumerate}
\item[i)] il existe $M$ un r\'eel tel que pour tout $x$ dans $A$, nous ayons $f(x)\leq M$ et de plus,
il existe $n$-uplet $a$ dans $A$ tel que $f(a) = M$~;
\item[ii)]  il existe $m$ un r\'eel tel que pour tout $x$ dans $A$, nous ayons $m \leq f(x) $ et de plus,
il existe $n$-uplet $b$ dans $A$ tel que $f(b) = m$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}


\noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons l'ensemble~:
$$ A = \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 = 1   \} \; . $$
Nous avons montr\'e que c'est un ferm\'e de  ${\R}^2$.
Soit $ (x_1,x_2)\in A$.  Nous avons~:
$$ x_1^2 +   x_2^2     \leq     2 x_1^2 + x_2^2   = 1 \; .$$
Ainsi, $ x_1^2 +   x_2^2 \leq 1$ et  $(x_1,x_2) $ appartient \`a la boule de centre
l'origine et de rayon $1$. L'ensemble $A$,  contenu dans la boule de centre
l'origine et de rayon $1$, est donc born\'e. Consid\'erons alors l'application~:
$$h :  A \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2)  \rightarrow x_1$$
Cette application $h$ est continue, car c'est la restriction \`a $A$
d'une application   polynomiale et donc continue. Comme $A$ est un
sous-ensemble ferm\'e et born\'e de ${\R}^2$, le th\'eor\`eme  \ref{tmfcfb}
nous assure que $f$ poss\`ede un maximum et un minimum qui sont tous les deux  atteints. \\
Nous allons au moyen d'un calcul direct d\'eterminer ces
donn\'ees. Pour ce faire, commen\c cons par  remarquer que si $
(x_1,x_2)\in A$ , $ 2 x_1^2 + x_2^2 = 1$ et donc $ 2 x_1^2 \leq
1$. De la croissance de fonction $ x \mapsto x^2$ sur les r\'eels
positifs, il en r\'esulte que $ \displaystyle \mid x_1 \mid \leq
\frac{1}{\sqrt{2}}$.  Ainsi pour tout
 $ (x_1,x_2)\in A$, nous avons~:
$$ - \frac{1}{\sqrt{2}} \leq h( x_1,x_2 ) \leq  \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Mais nous avons~:
 $$   (- \frac{1}{\sqrt{2}},0 ) \in A \quad {\rm  et} \quad  h (- \frac{1}{\sqrt{2}},0 ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
  $$   ( \frac{1}{\sqrt{2}},0 ) \in A \quad {\rm  et} \quad  h ( \frac{1}{\sqrt{2}},0 ) =  \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Donc $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ est un maximum de $h$ atteint en
$ \displaystyle (  \frac{1}{\sqrt{2}},0 )$ et $ \displaystyle  -\frac{1}{\sqrt{2}}$ est un minimum de $h$ atteint en
$ \displaystyle (- \frac{1}{\sqrt{2}},0 )$.


\newtheorem{tvi}[subsubsection]{Th\'eor\`eme (des valeurs interm\'ediaires)}
\begin{tvi} \label{tvi} Soit $I \subset {\R} $ et $f : I \rightarrow {\R}$ continue. Soit $a<b$ deux r\'eels   avec
$[a,b] \in I$. Alors $f$ prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$~:
pour tout $\gamma$ entre $f(a)$ et $f(b)$
il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = \gamma$.
\end{tvi}


\noindent {\bf Exemple :}  Consid\'erons la fonction~:
$$ f \; : \; {\R} \rightarrow {\R} \quad  : \quad
x \mapsto \frac{2 - x^3}{x+ 1 } \; .$$ La fonction $f$ est une
fraction rationnelle. Elle est donc continue sur son domaine de
d\'efinition $  {\R} - \{ -1 \}$. L'intervalle $[0,1]$  est
contenu dans ${\R} - \{ -1 \}$. Comme $f(0) =  2$ et
$\displaystyle f(1)= \frac{1}{2}  $, il r\'esulte du th\'eor\`eme
\ref{tvi} que $f$ prend au moins toutes les valeurs comprises
entre
 $\displaystyle  \frac{1}{2}  $ et $2$.\\

Soit $J$ un intervalle de ${\R}$ et $g : J \rightarrow {\R}$ une fonction num\'erique
d'une variable. Rappelons que l'on dit que $g$ est strictement croissante sur $J$
si~:
$$ \forall x,   y \in J \quad , \quad x<y \Rightarrow f(x) < f(y) \; .$$
De m\^eme, $g$ est dite strictement d\'ecroissante si~:
 $$ \forall x,   y \in J \quad , \quad x < y \Rightarrow f(x)> f(y) \; .$$
La fonction $g$ est dite strictement monotone si elle est strictement croissante
ou strictement d\'ecroissante.

\begin{corollaire}
Soit $I \subset {\R} $ et $f : I \rightarrow {\R}$ continue. Soit $a<b$ deux r\'eels   avec
$[a,b] \in I$. Supposons de plus que $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$. Alors pour tout
r\'eel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique r\'eel $c$ dans l'intervalle
$[a,b]$ tel que $f(c)=k$.
\end{corollaire}

\section{D\'eriv\'ees partielles d'une fonction  num\'erique}

\subsection{Compl\'ements sur les limites}

\begin{definition} Soit $ B \subset A$ deux sous-ensembles de ${\R}^n$ et $f: A \rightarrow {\R}$
une fonction d\'efinie sur $A$. On appelle restriction de $f$ \`a $B$ et on note $ f_{\mid B} $
l'application~:
$$ f_{\mid B} :  B \rightarrow {\R} \quad ; \quad x \rightarrow f(x).$$
\end{definition}

Soit $b$   un point adh\'erent \`a $B$. Lorsqu'elle existe, on pourra noter
la limite de $ f_{\mid B} $  quand $x$ tend vers $b$~:
$$ \lim_{x \rightarrow b \atop x \in B }f(x).$$

\begin{proposition}\label{plr} Soit $B \subset A$ deux sous-ensembles de ${\R}^n$ et $f: A \rightarrow {\R}$
une fonction d\'efinie sur $A$. Soit $x_0$ un point adh\'erent \`a $B$ (donc \`a $A$).\\
 Si $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow  x_0} f(x) =l$, alors
 $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow b \atop x \in B }f(x) $ existe et
 $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow b \atop x \in B }f(x) = l$.
\end{proposition}

\noindent {\bf Illustration :} Soit $f : {\R} \rightarrow {\R} \quad ; \quad x \mapsto f(x)= x+1$. \\
Soit $B = {\R} -  \{ 2 \}$. Le r\'eel $2$ est bien adh\'erent \`a $B$. Comme $f$ est continue, car
polynomiale, on a
 $$  \lim_{x \rightarrow 2} f(x) = f(2) = 3,$$
 et ainsi
$$ \lim_{x \rightarrow 2 \atop x \neq 2 }f(x) = 3.$$

\begin{proposition}\label{plnl} Soit   $f: A \rightarrow {\R}$ et  $g: B \rightarrow {\R}$
deux fonctions d\'efinies sur des sous-ensembles $A$ et $B$ de ${\R}^n$.  On suppose que $f=g$ sur un ouvert
de ${\R}^n$ contenant un point $x_0$ (par exemple
la boule $B(x_0,\, r)$  pour  un r\'eel $r>0$).
  Alors, $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow  x_0} f(x)  $ existe si et seulement si
$\displaystyle  \lim_{x \rightarrow  x_0} g(x)  $ existe. Dans ce cas,  on a
$$\displaystyle  \lim_{x \rightarrow  x_0} f(x) =  \lim_{x \rightarrow  x_0} g(x).  $$
\end{proposition}

\subsection{D\'eriv\'ee d'une fonction  num\'erique d'une variable}

\begin{definition} Soit $I \subset {\R}$  et  $f:  I \rightarrow {\R}$
une fonction d\'efinie sur $I$. Soit   $x_0 \in I$. On dit que la fonction
$f$ est d\'erivable en $x_0$ si la fonction
$$ I - \{x_0\} \rightarrow {\R} \quad ; \quad x \mapsto \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} $$
admet une limite quand $x$ tend vers $x_0$. Dans ce cas, la limite est appel\'ee
 la d\'eriv\'ee de $f$ en $x_0$ et not\'ee :
$$ f'(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0)= \lim_{x\rightarrow x_0 \atop
x \neq x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}.$$
\end{definition}

Nous notons $f'$ la fonction qui associe \`a   un point $x$ o\`u $f$ est d\'erivable, le r\'eel
 $f'(x)$   d\'eriv\'ee de $f$ en $x$. Cette fonction est appel\'ee la d\'eriv\'ee de $f$.\\

\noindent {\bf Exemple :} Soit $f : {\R} \rightarrow {\R} \quad ; \quad x \mapsto f(x)= |x|$.\\
Pour $x>0$, $f(x)$ co\"{\i}ncide avec la fonction polynomiale $g$ d\'efinie par $g(x)= x$.\\
Soit $x_0 >0$, pour $x \neq x_0$ dans un petit intervalle ouvert contenant $x_0$,
nous avons $x>0$ et donc~:
$$ \delta(x) = \frac{|x|  -  |x_0| }{x-x_0}= \frac{x - x_0}{x-x_0} = 1.$$
On en d\'eduit que $f$ est d\'erivable en $x_0$ et   $f'(x_0)=1$. De m\^eme pour
$x_0< 0$,  on montre que $f$ est   d\'erivable en $x_0$ et  $f'(x_0)=-1$.\\
Il reste \`a regarder si $f$ est d\'erivable en $x_0=0$.    Pour $x \neq 0$, on a
$$ \frac{|x|  -  |x_0|}{x-x_0} = \frac{|x|}{x}.$$
Or pour $x>0$, $\displaystyle   \frac{|x|}{x}=1$ et pour $x<0$,
$\displaystyle   \frac{|x|}{x} = -1$, nous obtenons alors   en utilisant la proposition
\ref{plnl}~:
$$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0\atop x>0} \frac{|x|}{x} =1 \quad {\rm et} \quad
 \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 \atop x<0} \frac{|x|}{x } = -1.$$
Ainsi,
 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{|x|}{x} $ n'existe pas (car sinon
d'apr\`es la proposition \ref{plr} on aurait
 $1=-1$) et $f$ n'est donc pas d\'erivable en $0$.\\

Notons que plus g\'en\'eralement la notion de d\'eriv\'ee est locale. Si deux fonctions $f$ et $g$
co\"{\i}ncident sur un intervalle ouvert contenant $t$, alors $f$ d\'erivable en $t$ \'equivaut \`a $g$
d\'erivable en $t$. Dans ce cas, on a de plus $f'(t)=g'(t)$.\\

\noindent {\bf Compl\'ements~: d\'eriv\'ees \`a gauche et \`a droite}\\

Soit $f:I \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un sous-ensemble $I$ de
${\R}$ et $x_0 \in I$. On suppose qu'il existe $\eta$ tel que $]x_0 - \eta ,\,  x_0] \subset I$
(resp. $[x_0,\, x_0 + \eta[$). On dit que $f$ est d\'erivable \`a gauche (resp. \`a droite) en $x_0$
si le restriction de $f$ \`a $]x_0 - \eta ,\, x_0] $ (resp. $[x_0,\, x_0 + \eta[ $) est d\'erivable
en $x_0$. La d\'eriv\'ee de la restriction de $f$ \`a $]x_0 - \eta ,\, x_0]$ (resp. $[x_0,\, x_0 + \eta[ $)
s'appelle la d\'eriv\'ee \`a gauche
(resp. \`a droite) et not\'ee $f'_g(x_0)$ (resp. $ f'_d(x_0) $) :

$$ f'_g(x_0)= \lim_{x \rightarrow x_0 \atop x<x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}  \quad {\rm et} \quad f'_d(x_0) =
\lim_{x \rightarrow x_0 \atop x>x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} .$$
Si $f$ \`a une d\'eriv\'ee \`a gauche et \`a droite en $x_0$ et si   $f'_g(x_0) = f'_d(x_0) $,
la fonction $f$ est   d\'erivable en $x_0$ et $f'(x_0)=f'_g(x_0) = f'_d(x_0) $.\\

\noindent {\bf Op\'erations sur les fonctions d\'erivables :}\\

Soit $f: I \rightarrow {\R}$, $g: I \rightarrow {\R}$ deux fonctions d\'efinies
sur un sous-ensemble $I$ de ${\R}$. Soit $\lambda \in {\R}$ et $x_0 \in I$.
Si $f$ et $g$ sont d\'erivables en $x_0$, on a
$$\begin{array}{lll} f+g \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en}  \; x_0 & {\rm et} & (f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0),\\
\lambda f \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en} \; x_0 & {\rm et} &  (\lambda f)'(x_0) =\lambda  f'(x_0),\\
fg \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en} \; x_0 & {\rm et} & (fg)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) +  f(x_0) g'(x_0).
\end{array}$$
Si de plus, $f(x_0) \neq 0$, on a \\
$$\begin{array}{lll} \displaystyle \frac {1}{f} \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en} \; x_0 & {\rm et} & \displaystyle (\frac{1}{f})'(x_0) = - \frac{f'(x_0) }{f(x_0)^2},\\
&& \\
\displaystyle \frac {g}{f} \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en} \; x_0 & {\rm et} & \displaystyle (\frac{g}{f})'(x_0) =  \frac{f(x_0)g'(x_0)-g(x_0)f'(x_0) }{f(x_0)^2}.
\end{array}$$


\noindent {\bf Exemple~:} Soit $n$ un entier et $a_0, \ldots,\, a_n$ des r\'eels. La fonction polynomiale
$$f : {\R} \rightarrow {\R} \quad ; \quad x \mapsto a_0 x^n + a_1 x^{n-1}+ \cdots + a_n  $$
est d\'erivable pour tout $x$ r\'eel et $f'$ est la fonction polynomiale
$$f : {\R} \rightarrow {\R} \quad ; \quad x \mapsto n a_0 x^{n-1} + (n-1)a_1 x^{n-2}+ \cdots + 2a_2x + a_1.$$


Soit $f: I \rightarrow {\R}$ et  $g: J \rightarrow {\R}$ deux fonctions d\'efinies
sur des sous-ensembles $I$ et $J$  de ${\R}$. Soit $x \in I$ tel que $f(x) \in J$.
Si $f$ est d\'erivable en $x$ et $g$ est d\'erivable en $f(x)$, alors $g \circ f$
est d\'erivable en $x$ et
$$ (g\circ f)' (x ) = f'(x ) \, g'(f(x )).$$

\noindent {\bf Exemple~:} La fonction $h :{\R} \rightarrow {\R} \; ; \; x \mapsto {\rm ln}
(x^2 + x +1)$ est d\'efinie sur ${\R}$, car pour tout $x$ r\'eel $ x^2 + x +1 > 0 $.
Elle  est la compos\'ee $ g\circ f$ de la  fonction
$$ f:{\R} \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto x^2 + x +1$$
par la fonction
$$ g:{\R}^+ - \{ 0 \} \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto {\rm ln}
 x.$$
Ces deux fonctions \'etant d\'erivables, $h$ est d\'erivable pour tout r\'eel $x$ et
$$ h'(x)=  f'(x)\,  g'(f(x)) = \frac{2x+1}{x^2+x+1}.$$

\begin{proposition} Soit $f: I \rightarrow {\R}$ une
fonction  d\'efinie sur un sous-ensemble  $I$ de ${\R}$  et $x_0 \in I$. Alors,
 $f$ est d\'erivable en $x_0$  si et seulement s'il existe une fonction num\'erique
$\epsilon$ d'une variable avec $ \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \epsilon  (h) = 0$ telle que
 $$   {\rm pour} \;  h \in {\R} \; {\rm tel \; que } \; x_0 + h \in I \; : \;
f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0) h + \epsilon(h) \, h.$$
\end{proposition}

Ainsi, pour $h$ voisin de $0$, $f(x_0+h)$ est proche  de $f(x_0) + f'(x_0) h$.

\begin{proposition} Soit $f : I \rightarrow {\R}$ une
fonction  d\'efinie sur un sous-ensemble  $I$ de ${\R}$. Si $f$ est d\'erivable en
$x_0 \in I$ alors $f$ est continue en $x_0$.
\end{proposition}

\preuve Par d\'efinition de la d\'eriv\'ee, la fonction
$$\delta : I \rightarrow {\R} \quad ; \quad x \mapsto
\delta (x) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &\;
{\rm si} \; x \neq x_0, \\
f'(x_0) &\;  {\rm si} \; x = x_0,\end{array} \right.$$
est continue en $x_0$.  Or pour tout $x \in I$, $f(x)= f(x_0) + \delta(x) (x - x_0)$.
Ainsi, $f$ est continue en $x_0$ comme somme et produit de telles fonctions.\\

On appelle d\'eriv\'ee seconde d'une fonction num\'erique $f$ d'une seule variable
la d\'eriv\'ee de la fonction $f'$. On la note $f''$. Plus g\'en\'eralement, la d\'eriv\'ee
$p^{i\grave{e}me}$ de $f$, not\'ee $f^{(p)}$ est la d\'eriv\'ee de la fonction
$f^{(p-1)}$.


\subsection{D\'eriv\'ees  partielles}

\begin{definition} Soit
 $f : \Omega \rightarrow {\R} \; ; \;  (x_1, \ldots ,\, x_n) \rightarrow  f(x_1,\ldots ,\, x_n)$
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\R}^n$.\\
 Soit $a=(a_1, \ldots ,\, a_n) \in \Omega$.
On dit que $f$ admet une d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x_i$ en $a$ si la fonction~:
$$ {\R} \rightarrow {\R} \; ; \; x_i \mapsto f(a_1, \ldots ,\, a_{i-1}, \,x_i, \,a_{i+1}, \ldots, \,a_n)$$
est d\'erivable en $a_i$. Cette d\'eriv\'ee est appel\'ee la d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a
$x_i$ de $f$ en $a$ et not\'ee~:
$$ \frac{\partial f}{\partial x_i} (a).$$
\end{definition}
Autrement dit,  la d\'eriv\'ee partielle $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i} (a)$
est la limite
$$ \lim_{x \rightarrow a_i \atop x\neq a_i}
\frac{f(a_1, \ldots , \, a_{i-1}, \, x_i, \, a_{i+1}, \ldots,\, a_n) - f(a_1, \ldots ,\, a_{i-1},
\, a_i, \,a_{i+1}, \ldots,\, a_n)}{x- a_i}.$$
Nous notons $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i} $
 la fonction qui associe \`a   un point $x=(x_1, \ldots ,\,x_n) \in \Omega$ o\`u $f$ est d\'erivable par rapport \`a $x_i$, le r\'eel
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$   d\'eriv\'ee partielle
par rapport \`a $x_i$ de $f$ en $x$. Cette fonction est appel\'ee  la d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a
$x_i$ de $f$. \\

\noindent {\bf R\`egle :} Pour d\'eterminer $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,
\ldots ,\, x_n)$,
il suffit de d\'eriver  la fonction d'une variable obtenue \`a partir de $f$ en
fixant $x_1, \ldots,\, x_{i-1},\,x_{i+1},\ldots,\, x_n$.\\

Lorsque $n=1$, la d\'eriv\'ee partielle relativement \`a la seule variable $x$ n'est autre
que la d\'eriv\'ee usuelle.\\

La notion de d\'eriv\'ees partielles est une notion locale. Si deux fonctions num\'eriques $f$ et $g$
co\"{\i}ncident sur un ouvert de ${\R}^n$  contenant $x$, alors $f$ admet  un d\'eriv\'ee partielle par
rapport \`a la variable $x_i$ si et seulement si $g$ admet  un d\'eriv\'ee partielle par
rapport \`a la variable $x_i$. Dans ce cas, on a de plus

$$ \frac{\partial f}{\partial x_i} (x)= \frac{\partial g}{\partial x_i} (x).$$


\noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction polynomiale :
$$ {\R}^3 \rightarrow {\R} \; ; \; (x_1,x_2,x_3) \mapsto x_1^2 + x_2^2  + x_3^2  + x_1x_2+ x_1x_3+ x_2x_3.$$
Elle admet des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a chacune des trois variables en tous les points, car lorsque
l'on fixe deux variables, la fonction d'une variable obtenue est polynomiale. Nous obtenons
$$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3) = 2x_1 + x_3 + x_2,\\
\\
\displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2,x_3) = 2x_2  + x_1 + x_3, \\
\\
\displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_3}(x_1,x_2,x_3) = 2x_3  + x_1 + x_2.  \end{array} \right.$$
Plus g\'en\'eralement, les fonctions polynomiales admettent des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a toutes les
variables et ces d\'eriv\'ees partielles  sont encore des fonctions polynomiales.\\
 \\
\noindent {\bf Exemple d'une fonction non continue admettant des d\'eriv\'ees partielles~:} Consid\'erons la fonction~:
$$ {\R}^2 \rightarrow {\R} \; ; \; (x,\,y) \mapsto
\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle  \frac{xy}{x^2+y^2} & {\rm si} \quad (x,\,y)\neq (0,\,0),\\
0 & {\rm si} \quad  (x,\,y)= (0,\,0).\end{array} \right.  $$
Pour tout $x$ r\'eel, on a donc $f(x,\,0) = 0$.
La fonction d'une variable
$$ x \mapsto f(x,\,0) =0 $$
 est d\'erivable de d\'eriv\'ee la fonction nulle. Ainsi, pour tout $x\in {\R}$,
$f$ admet une d\'eriv\'ee partielle   par rapport \`a $x$ en $(x,\,0)$ et
$ \displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x}(x,\,0) =0$.
De m\^eme, pour tout $y\in {\R}$,
$f$ admet une d\'eriv\'ee partielle   par rapport \`a $y$ en $(0,\,y)$ et
$ \displaystyle   \frac{\partial f}{\partial y}(0,\,y) =0$.
Donc, $f$ admet des d\'eriv\'ees partielles en $(0,\,0)$ par rapport \`a $x$ et $y$.\\

Nous allons montrer   par contre  que $f$ n'est pas continue en $(0,0)$. Raisonons par l'absude.
Si $f$ \'etait continue en $(0,\, 0)$, il existerait un
r\'eel $l$ tel que $ \displaystyle \lim_{ (x,\,y)  \rightarrow (0,\,0) } f(x,\,y) = l.$
Consid\'erons alors la  fonction  continue :
 $$a : {\R} \rightarrow {\R} \; ; \; t \mapsto a(t) = t. $$
D'une part, $ \displaystyle  \lim_{t\rightarrow 0} a(t)= a(0) =0$. Par composition des limites, nous aurions alors
$$ \lim_{t\rightarrow 0} f(a(t),a(t))= l.$$
Comme pour $t\neq 0$,  $f(a(t),\,a(t))= f(t,\,t)= 1/2$,
nous obtiendrons $l =1/2$. D'autre part,  nous avons aussi
$ \displaystyle  \lim_{t\rightarrow 0} -a(t)= -a(0) =0$. Par composition des limites, nous aurions alors :
$$ \lim_{t\rightarrow 0} f(a(t),-a(t))= l.$$  Comme pour $t\neq 0$,  $f(a(t),-a(t))= f(t,-t)= -1/2$,
nous obtiendrons $l =-1/2$.\\
 Ainsi, $f$ n'est pas continue en $(0,\,0)$. (\emph{cf.} Exercice 8 de la feuille de TD 2).\\

\noindent {\bf Op\'erations sur les   d\'eriv\'ees partielles :}\\

Soit $f: \Omega \rightarrow {\R}$, $g: \Omega \rightarrow {\R}$ deux fonctions d\'efinies
sur un ouvert  $\Omega $ de ${\R}^n$. Soit $\lambda \in {\R}$ et $x_0 \in \Omega$.
Si $f$ et $g$ admettent des d\'eriv\'ees partielles en $x$ par rapport \`a la variable $x_i$,
il en est de m\^eme des fonctions $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ et on a :
$$ \begin{array}{l}
  \displaystyle \frac{\partial (f+g)}{\partial x_i}(x) =  \frac{\partial f }{\partial x_i}(x) +  \frac{\partial g}{\partial x_i}(x) , \\
   \\
 \displaystyle \frac{\partial \lambda f }{\partial x_i}(x) =   \lambda \frac{\partial f }{\partial x_i}(x), \\
 \\
\displaystyle \frac{\partial fg}{\partial x_i}(x) =  \frac{\partial f }{\partial x_i}(x) g(x) +  f(x) \frac{\partial g}{\partial x_i}(x).
  \end{array}$$
 Si de plus $f(x ) \neq 0$, les fonctions $1/f$ et $g/f$ admettent des d\'eriv\'ees partielles en $x$
 par rapport \`a la variable $x_i$ et on a :
$$ \begin{array}{l}
 \displaystyle  \frac{\partial ( \displaystyle \frac{1}{f})}{\partial x_i}(x) = -\frac{ \displaystyle
\frac{\partial f }{\partial x_i}(x)}{f(x)^2},\\
\\
\displaystyle  \frac{\partial ( \displaystyle \frac{g}{f})}{\partial x_i}(x) =  \frac{ \displaystyle
 \frac{\partial g }{\partial x_i}(x)f(x)  - g(x ) \frac{\partial f }{\partial x_i}(x)}{f(x)^2}.
\end{array}$$

\noindent {\bf Exemple de cons\'equences~:} Les fonctions rationnelles admettent des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a toutes les variables aux points o\`u elles sont d\'efinies. \\

Donnons quelques r\'esultats sur l'existence et le calcul des d\'eriv\'ees partielles
d'une fonction compos\'ee. \\

Consid\'erons tout d'abord   une fonction
  $g : {\R}  \rightarrow {\R}$ d'une variable    admettant une d\'eriv\'ee     sur ${\R}$. Soit
  $f : \Omega \rightarrow {\R} \; ; \; (x_1,\ldots ,\,x_n) \mapsto f(x_1,\ldots ,\,x_n) $ une
  fonction   d\'efinie  sur un ouvert
$\Omega$ de ${\R}^n$
admettant des d\'eriv\'ees partielles. Il r\'esulte des r\'esultats sur les d\'eriv\'ees
de fonction d'une variable que
  la fonction
$$ h : \Omega \rightarrow {\R} \; ; \; (x_1,\ldots ,\,x_n) \mapsto g( f(x_1,\ldots,\,x_n) )$$
admet des  d\'eriv\'ees partielles  et que pour tout $1\leq i \leq n$ on a
$$ \frac{\partial h }{\partial x_i}(x_1,\ldots ,\,x_n) =  \frac{\partial f }{\partial x_i}(x_1,\ldots ,\,x_n)   g'(f(x_1,\ldots ,\,x_n) ).$$

Le cas g\'en\'eral est plus compliqu\'e et demande des hypoth\`eses
plus fortes que les simples hypoth\`eses d'existence de certaines d\'eriv\'ees partielles.


\begin{proposition}
Soit $\Omega$ un ouvert de ${\R}^n$  et  $f$ la fonction de $ \Omega \rightarrow {\R}^p$ d\'efinie par
$ \displaystyle (x_1, \ldots ,\,x_n) \mapsto (y_1, \ldots ,\,y_p) =
(f_1 (x_1, \ldots ,\,x_n), \ldots ,f_p (x_1, \ldots ,\,x_n)).$\\
On suppose que les fonctions num\'eriques $f_j$, $1\leq j \leq n$, admettent des d\'eriv\'ees partielles continues
sur $\Omega$ par rapport \`a toutes les variables $x_1, \ldots ,\, x_n$.\\
Soit $U$ un ouvert de  ${\R}^p$ et $g : U \rightarrow {\R}$ d\'efinie par
$\displaystyle (y_1, \ldots ,\,y_p) \mapsto g (y_1, \ldots ,\,y_p).$\\
On suppose que $g$ admet  des d\'eriv\'ees partielles continues
sur $U$ par rapport \`a toutes les variables $y_1, \ldots ,\, y_p$.\\
On suppose enfin que pour tout $x \in \Omega $, $ f(x) \in U$. Alors, la fonction
$$g\circ f : \Omega \rightarrow {\R} \quad ; \quad g \circ f (x_1, \ldots ,\,x_n) =
g (f_1 (x_1, \ldots ,\,x_n), \ldots ,f_p (x_1, \ldots ,\,x_n))$$
est d\'efinie sur $\Omega$ et admet des d\'eriv\'ees partielles continues
en tout point de $\Omega$ par rapport \`a toutes les variables $x_1, \ldots ,\,x_n$.\\
De plus,  pour  tout $1\leq j \leq n$ et tout  $x= (x_1, \ldots,\, x_n) \in \Omega$, on a
$$  \frac{\partial ( g \circ f) }{\partial x_i}(x) =
\sum_{j=1}^p
\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x) \frac{ \partial g }{\partial y_j}(f_1 (x), \ldots ,\,f_p (x )).$$
\end{proposition}

Reformulons cette proposition dans un  cas particulier.\\

 Consid\'erons une fonction
  $g : {\R}^p \rightarrow {\R}$ d\'efinie sur ${\R}^p $ par
$$ (y_1, \ldots ,\,y_p) \mapsto g (y_1, \ldots ,\,y_p) $$
et admettant des d\'eriv\'ees partielles continues
sur ${\R}^p$.
Soit~
$$f_1, \ldots ,\, f_p : I \rightarrow {\R}$$
 des fonctions d'une variable
admettant des d\'eriv\'ees continues sur un intervalle ouvert $I$. Alors la fonction
$$ h : I \rightarrow {\R} \; ; \; t \mapsto g(f_1(t), \ldots ,\, f_p(t))$$
est d\'erivable sur $I$ et pour tout $t \in I$~:
$$ h'(t)= \sum_{j=1}^p f_j'(t) \frac{ \partial g }{\partial y_j}(f_1 (t), \ldots ,\, f_p (t )).$$

 %Consid\'erons une fonction
 % $g : {\R}^2 \rightarrow {\R}$ d\'efinie sur ${\R}^2 $ par~:
%$$ (y_1, y_2) \mapsto g (y_1,  y_2) $$
%et admettant des d\'eriv\'ees partielles continues
%sur ${\R}^2$.\\
%Soit $f_1,  f_2 : \Omega \rightarrow {\R}$ des fonctions  d\'efinies sur un ouvert
%$\Omega$ de ${\R}^3$ et
%admettant des d\'eriv\'ees partielles continues. Alors la fonction~:
%$$ h : \Omega \rightarrow {\R} \; : \; (x_1,x_2,x_3) \mapsto g(f_1(x_1,x_2,x_3)  ,f_2(x_1,x_2,x_3)$$
%admet des d\'eriv\'ees partielles relativement \`a $x_1,x_2,x_3$. On a par exemple,
%pour tout  $x=(x_1,x_2,x_3) \in \Omega$~:
 %$$ \frac{\partial h }{\partial x_3} (x_1,x_2,x_3) =
  %   \frac{\partial f_1}{\partial x_3}(x) \frac{ \partial g}{\partial y_1} (f_1 (x ), f_2 (x )) +  \frac{\partial f_2 %}{\partial x_3}(x)  \frac{ \partial g}{\partial y_2}
%( f_1 (x ), f_2 (x ) ) \; .$$

\begin{proposition} Soit
 $f : \Omega \rightarrow {\R} \; ; \;  (x_1, \ldots ,\, x_n) \mapsto  f(x_1,\ldots ,\, x_n)$
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\R}^n$. On suppose   que les
d\'eriv\'ees partielles de $f$ existent  sur $\Omega$  et sont continues au point
 $a =(a_1, \ldots ,\, a_n) \in \Omega$.
 \begin{itemize}
\item[1)]  Alors $f$ est continue en $a$.
 \item[2)] Il existe une fonction num\'erique de $n$ variables $\epsilon$  avec
$$\lim_{ (h_1, \ldots ,\,h_n) \rightarrow 0} \epsilon (h_1, \ldots ,h_n)  = 0 $$
telle que pour tout
 $(h_1, \ldots ,\,h_n)$ v\'erifiant $(x_1+h_1, \ldots ,\,x_n+h_n) \in  \Omega$, on ait
$$ f(a_1+h_1, \ldots ,\,a_n+h_n) = f(a ) + \sum_{i=1}^n  \frac{\partial f }{\partial x_i}(a )h_i
+ \epsilon (h_1, \ldots ,h_n) \sqrt{\sum_{i=1}^n h_i^2}.$$
\end{itemize}
\end{proposition}

Autement dit, pour  $(h_1, \ldots ,\,h_n)$ petit, $f(a_1+h_1, \ldots ,\,a_n+h_n)$ est proche de
$$ f(a ) + \sum_{i=1}^n  \frac{\partial f }{\partial x_i}(a )h_i.$$

\begin{definition}Soit
 $f : \Omega \rightarrow {\R} \; ; \;  (x_1, \ldots ,\,x_n) \mapsto  f(x_1,\ldots ,\,x_n)$
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\R}^n$. On suppose   que les
d\'eriv\'ees partielles de $f$ existent  sur $\Omega$  et sont continues au point $a =(a_1, \ldots ,\,a_n) \in \Omega$.
L'application
$$  {\R}^n \stackrel{Df(a)}{\longrightarrow }{\R} \quad ; \quad
(h_1, \ldots, \, h_n) \mapsto \sum_{i=1}^n  \frac{\partial f }{\partial x_i}(a )h_i $$
est appel\'ee la diff\'erentielle (totale) de $f$ en $a$.
\end{definition}

Soit
 $f : \Omega \rightarrow {\R} \; : \;  (x_1, \ldots ,\,x_n) \mapsto  f(x_1,\ldots ,\,x_n)$
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\R}^n$. Supposons que   la
d\'eriv\'ee  partielle  de $f$ existe par rapport \`a $x_i$ existe en tout point de $\Omega$.
Si elle existe, nous notons alors
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial x_j \partial x_i}(x)$$
  la d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x_j$
de la fonction $\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x_i}$ en $x$. La fonction
$\displaystyle  \frac{\partial ^2 f }{\partial x_j \partial x_i}$ est appel\'e d\'eriv\'ee partielle d'ordre deux.\\

Par it\'eration, on d\'efinit les d\'eriv\'ees partielles d'ordre $k \geq 3$ d'une fonction num\'erique de
plusieurs variables.

\subsection{Quelques r\'esultats}

\newtheorem{tts}[subsubsection]{Th\'eor\`eme de Schwarz}
\begin{tts}
Soit
 $f : \Omega \rightarrow {\R} \; ; \;  (x_1, \ldots ,\,x_n) \mapsto  f(x_1,\ldots ,\,x_n)$
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\R}^n$. Supposons que
les d\'eriv\'ees partielles $ \displaystyle \frac{\partial ^2 f }{\partial x_j \partial x_i} $ existent sur $\Omega$ pour $1\leq i,\,j \leq n$
et sont continues, alors pour $1\leq i,\,j \leq n$, on a
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial ^2 f }{\partial x_i \partial x_j}.$$
\end{tts}

\noindent {\bf Contre-exemple sans l'hypoth\`ese de continuit\'e:}   Consid\'erons la fonction :
$$ {\R}^2 \rightarrow {\R} \; : \; (x,\,y) \mapsto
\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle  \frac{xy (x^2 - y^2)}{x^2+y^2} & {\rm si} \quad (x,\,y)\neq (0,\,0),\\
0 & {\rm si} \quad  (x,\,y)= (0,\,0).\end{array} \right.  $$
En dehors de  $(0,\,0)$, $f$ co\"{\i}ncide avec la fraction rationelle
$ \displaystyle  \frac{xy (x^2 - y^2)}{x^2+y^2}$ d\'efinie sur l'ouvert  ${\R}^2 -(0,\,0)$.
Ainsi, $f$ admet en dehors de l'origine des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a $x$ et $y$.
On a
$$ \forall (x,\,y) \neq (0,\,0) \quad , \quad  \frac{\partial f }{\partial x }(x,\,y) =
\frac{(x^2+y^2)y(3x^2- y^2 )- 2x^2y(x^2- y^2)  }{(x^2+y^2)^2},$$
$$ \forall (x,\,y) \neq (0,\,0) \quad , \quad  \frac{\partial f }{\partial y }(x,\,y)=
\frac{(x^2+y^2)x( x^2- 3y^2 )- 2x y^2(x^2- y^2)  }{(x^2+y^2)^2}.$$
Comme pour tout $x$ r\'eel $f(x,\,0)=0$, par d\'efinition des d\'eriv\'ees  partielles nous obtenons
$$ \frac{\partial f }{\partial x }(0,\,0) = 0.$$
De m\^eme, pour tout $y$ r\'eel $f(0,\,y)=0$ et   $ \displaystyle \frac{\partial f }{\partial y}(0,\,0) =0$.\\
Nous avons alors par d\'efinition :
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial y \partial x }(0,\,0)
= \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ \frac{\partial f }{\partial x }(0,\,y) - \frac{\partial f }{\partial x }(0,\,0) }{y}
= \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ -y^5 }{y^5} = -1,$$
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial x \partial y }(0,\,0)
= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{\partial f }{\partial y }(x,\,0) - \frac{\partial f }{\partial y }(0,\,0) }{y}
= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ x^5 }{x^5} =  1.$$
 Ainsi, on a
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial y \partial x }(0,0) \neq  \frac{\partial ^2 f }{\partial x \partial y }(0,0).$$
On peut noter que sur l'ouvert ${\R}^2 -\{(0,0)\}$ les d\'eriv\'ees
partielles d'ordre $2$ de $f$ existent et sont continues (car sur l'ouvert  $ {\R}^2 -\{(0,0)\}$
$f$ co\"{\i}ncide avec une fraction rationnelle d\'efinie). Le th\'eor\`eme de Schwarz donne
tout de m\^eme
$$ \forall (x,y) \in {\R}^2 -\{(0,0)\} \; , \;
\frac{\partial ^2 f }{\partial y \partial x }(x,y) =  \frac{\partial ^2 f }{\partial x \partial y }(x,y).$$

\noindent {\bf Extrema locaux d'une fonction num\'erique :}\\

Soit $A$ un sous-ensemble de ${\R}^n$ et $f:A \rightarrow {\R}$. On dit que $f$
admet un maximum absolu (ou global) au point $a$ si pour tout $x\in A$~: $f(x) \leq f(a)$. \\
On dit que $f$ admet un maximum relatif (ou local) au point $a$ s'il existe un ouvert $V$
de ${\R}^n$ contenant $a$ tel que pour tout $x\in  A \cap V$~: $f(x) \leq f(a)$. \\

On d\'efinit de m\^eme en rempla\c{c}ant $\leq$ par $\geq$ les notions de minimum absolu
et relatif. Par extremum, on entend minimum ou maximum.

\begin{proposition}
\label{pcnel}
 Soit $A \subset {\R}^n$, $a \in A$ et
$$f : A \rightarrow {\R} \quad ; \quad x= (x_1, \ldots ,\,x_n) \mapsto f(x_1, \ldots ,\,x_n).$$
On suppose qu'il existe un ouvert $U$ de ${\R}^n$ contenant $a$ et contenu dans $A$
(par exemple une boule ouverte $B(a,\,r)$ de centre $a$ de rayon $r>0$ petit) et on suppose que $f$ admet
des d\'eriv\'ees  partielles sur $U$. Alors si $f$ poss\`ede un extremum local en $a$, nous avons
$$ \forall i \in \{1, \ldots ,n\} \quad , \quad \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)= 0.$$
\end{proposition}

\noindent {\bf D\'emonstration :} Supposons, par exemple, que $a$ soit un maximum local.  Pour $h$ r\'eel petit non nul
 le taux d'accroissement
$$ \frac{f(a_1, \ldots ,\,a_{i-1},\,a_i+h,\,a_{i+1},\ldots ,\,a_n) - f(a_1, \ldots ,\,a_n)}{h}$$
est du signe de $-h$. Sa limite quand $h$ tend vers z\'ero est
$\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)$. D'apr\'es la proposition \ref{plr}, on en d\'eduit
$$ \lim_{h\rightarrow 0 \atop h>0} \frac{f(a_1, \ldots ,\,a_{i-1},\,a_i+h,\, a_{i+1},\ldots ,\,a_n) -
f(a_1, \ldots ,\,a_n)}{h}
=
\frac{\partial f }{\partial x_i}(a).$$
Il en r\'esulte que $\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)$ est n\'egatif ou nul.
De m\^eme, en  consid\'erant $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 \atop h>0}$, on obtient
 que $\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)$ est positif ou nul. D'o\`u
$$\frac{\partial f }{\partial x_i}(a)= 0.$$

\begin{definition}
 $f : \Omega \rightarrow {\R} \; ; \;  (x_1, \ldots ,\,x_n) \rightarrow  f(x_1,\ldots ,\,x_n)$
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\R}^n$.
On appelle point critique de $f$ un point $x=  (x_1, \ldots ,\,x_n) $ de $\Omega$  tel que
$$\frac{\partial f }{\partial x_1}(x) = \cdots =\frac{\partial f }{\partial x_n}(x) = 0.$$
\end{definition}

\noindent {\bf Exemple :} Soit $A = \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; x_1^2+x_2^2\leq 2 \}$ et
$f : A \rightarrow {\R}$, la fonction d\'efinie par
$$ (x_1,x_2) \mapsto x_1^2 + 2 x_2^2 + x_1x_ 2 - 5 x_1 - 6x_ 2.$$
Cette fonction $f$ est la restriction \`a $A$ d'une fonction polynomiale. Elle est donc continue.
L'ensemble $A$ est born\'ee par d\'efinition.  Consid\`erons l'application polynomiale
(donc continue)
$$g :{\R} \rightarrow {\R} \; ; \;
  (x_1,x_2) \mapsto x_1^2 +   x_2^2.$$
Nous remarquons que $A = \{ (x_1,\, x_2) \in {\R}^2 \; ; \; g (x_1,\, x_2)  \in [0,\,2] \}$. Comme
$[0,\,2]$ est un ensemble ferm\'e dans ${\R}$, il r\'esulte de la proposition \ref{piio}
que $A$ est un ferm\'e de ${\R}^2$. Ainsi, $A$ est ferm\'e et born\'e, il r\'esulte
du th\'eor\`eme \ref{tmfcfb} que $f$ admet un maximum et un minimum.
Si un extremum est atteint en un point $a= (a_1,\,a_2 )$
de la boule ouverte
  $$B(0,\,\sqrt{2})=
\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; x_1^2+x_2^2 < 2 \},$$
comme $f$ admet des d\'eriv\'ees partielles sur $B(0,\sqrt{2})$
le point $a$  serait un point critique de $f$. Donc le point $a=(a_1,a_2) $ v\'erifieraient
$$\left\{\begin{array}{l}
 2x_1+x_2+5=0 \\x_1+4x_2-6=0.
\end{array} \right.$$
Or ce syst\`eme lin\'eaire a une unique solution $(2,\, 1)$ qui n'est pas dans $B(0,\,\sqrt{2})$.
On peut ainsi conclure que $f$ a bien un maximum et minimum et que ces valeurs sont atteintes sur
le bord de $A$
$$ \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; x_1^2+x_2^2 = 2 \}.$$

\noindent{Retour aux fonctions num\'eriques d'une seule
variable~:}

\begin{theoreme} Soit $I$ un intervalle de $\R$ d'extr\'emit\'es $a<b$ ($a$ peut
\^etre $- \infty$ et $b$ peut \^etre $+ \infty$). Soit $f: I
\rightarrow {\R}$ continue sur $I$ et d\'erivable sur $]a,\, b[$.
\begin{itemize}
\item[1)]  $f$ est constante si et seulement si pour tout $t \in
]a,\,b[$, $f'(t)=0$. \item[2)]  $f$ est croissante si et seulement
si pour tout $t \in ]a,\,b[$, $f'(t)\geq 0$. \item[3)]  $f$ est
d\'ecroissante si et seulement si pour tout $t \in ]a,\,b[$,
$f'(t)\leq 0$.
\end{itemize}
\end{theoreme}

 \begin{corollaire}Soit $I$ un intervalle de $\R$ d'extr\'emit\'es $a<b$ ($a$ peut
\^etre $- \infty$ et $b$ peut \^etre $+ \infty$). Soit $f: I
\rightarrow {\R}$ continue sur $I$ et d\'erivable sur $]a,\,b[$.
Si exept\'e pour un nombre fini de valeurs $t$ de $]a,\,b[$,
$f'(t)>0$ (resp. $f'(t)<0$), alors $f$ est strictement croissante
(resp. strictement d\'ecroissante).
\end{corollaire}

Pour $n \geq 2$, il n'y a pas d'ordre naturel sur ${\R}^n$. Ainsi,
on ne peut pas parler de fonctions num\'eriques croissantes de
plusieurs variables. Par contre, notons la
remarque importante suivante~:\\

\begin{remarque} Soit $\Omega $ un ouvert de ${\R}^n$ et
$$f : \Omega \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1, \ldots ,\,x_n) \mapsto {\R}$$
une fonction de plusieurs variables. Supposons que $\displaystyle
\frac{\partial f}{\partial x_i} $ existe sur $\Omega$ et soit
strictement positive sur ${\Omega}$. Alors, il r\'esulte de la
d\'efinition des d\'eriv\'ees partielles que, \`a $x_1, \ldots ,
\,x_{i-1},\, x_{i+1}, \ldots ,\, x_n$ fix\'ees, la fonction~:
$$ x_i \mapsto f(x_1, \ldots,\, x_{i-1},\,x_i,\, x_{i+1}, \ldots ,\, x_n) $$
est croissante sur tout intervalle  o\`u elle est d\'efinie.
\end{remarque}

\noindent{\bf Exemple~:} Consid\'erons la fonction~:
$$ ( {\R}^+ - \{ 0 \})^3 \rightarrow {\R} \quad , \quad (p_1,\,p_2,\,r) \mapsto
\frac{p_2r}{p_1(p_1+p_2)}\quad .$$ La fonction $f$ est une
fonction rationnelle
 d\'efinie sur l'ouvert $( {\R}^+ - \{ 0 \})^3 $  de ${\R}^3$. Nous avons pour
($p_1,\, p_2,\, r)$ dans cet ouvert~:
$$ \frac{\partial f}{\partial p_1} (p_1,p_2,r) =   - \frac{p_2 r (2p_1 + p_2)}{p_1^2
(p_1+p_2)^2} < 0.$$ Donc quand $p_2$ et $r$ sont fix\'ees, la
fonction $f$ est une fonction d\'ecroissante en $p_1$. Imaginez
que $p_1$ soit le prix d'un produit $1$, $p_2$ soit le prix d'un
produit $2$, $r$ le revenu d'un consommateur
 et  $f$ la demande du produit $1$. Pour ce mod\`ele,  la conclusion est que quand
le prix du produit $1$ augmente et que le prix du produit $2$ et
du revenu sont fixes, la demande du produit $1$ diminue.

\begin{proposition}
 Soit $a<b$ deux r\'eels et $f:  ]a,\,b[ \rightarrow {\R}$ une fonction d\'erivable.
On suppose qu'il existe un r\'eel  $t_0 \in ]a,\,b[$ tel que
$f'(t_0)=0$.
 \begin{itemize}
\item[1)]  Si $f$ admet une d\'eriv\'ee seconde   sur $]a,\,b[$ et
que pour tout $t \in ]a,\,b[$, $f''(t) \geq 0$ (resp. $\leq$),
alors $f(t_0)$ est le minimum (resp. maximum) de la fonction $f$.
\item[2)]  Si $f$ admet une d\'eriv\'ee seconde en $t_0$ et que
  $f''(t_0) > 0$ (resp. $<$), alors $f(t_0)$ est un minimum (resp. maximum) local de
$f$.
\end{itemize}
\end{proposition}

\preuve Le point 1) se montre \`a l'aide du tableau de variation
de $f$. Le point 2 sera vu au semestre suivant.

\subsection{Fonctions homog\`enes~:}

\noindent{\bf Exemple~:} Consid\'erons la fonction~:
$$ h : ( {\R}^+ - \{ 0 \})^2  \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1,\,x_2) \mapsto
h(x_1,\,x_2)= (x_1^2+x_ 2^2)^{1/3} .$$ Sur l'ouvert $( {\R}^+ - \{
0 \})^2 $ de ${\R}^2$, la fonction $h$ est tout d'abord continue.
C'est en effet la compos\'ee de  l'application continue~:
$$ f : ( {\R}^+ - \{ 0 \})^2   \rightarrow
{\R} \quad , \quad (x_1,\,x_2) \mapsto f(x_1,\,x_2)= x_1^2+x_2^2
$$ par l'application continue~:
$$ g :  {\R}^+ - \{ 0 \} \rightarrow
{\R} \quad , \quad x \mapsto g(x)=x^{1/3}.$$

D'autre part la fonction $h$ admet des d\'eriv\'ees partielles et
nous avons pour tout $ (x_1,\,x_2) \in ( {\R}^+ - \{ 0 \})^2 $~:
$$
\frac{ \partial h }{\partial x_1}(x_1,\,x_2)  = \frac{2}{3}x_1
(x_1^2+x_2^2)^{-2/3} \quad {\rm et} \quad \frac{ \partial h
}{\partial x_2}(x_1,\,x_2)  = \frac{2}{3} x_2 (x_1^2+x_
2^2)^{-2/3} . $$ Ces d\'eriv\'ees partielles sont continues sur $(
{\R}^+ - \{ 0 \})^2$
 comme produit de fonctions continues.\\

Observons que si $ (x_1,\,x_2) \in ( {\R}^+ - \{ 0 \})^2   $,
c'est-\`a-dire que si $(x_1,\,x_2) $ est un couple  de r\'eels
strictement positifs et si $ \lambda $ est un r\'eel strictement
positif, nous avons toujours $ \lambda (x_1,\,x_2) \in ( {\R}^+ -
\{ 0 \})^2   $. On dira que
$( {\R}^+ - \{ 0 \})^2   $ est un c\^one strictement positif.\\

Nous avons alors pour tout $ (x_1,\,x_2) \in ( {\R}^+ - \{ 0 \})^2
$  et $\lambda > 0$~: \begin{eqnarray*}
 h (
\lambda x_1 ,\, \lambda x_2 ) & = & ( ( \lambda x_1)^2+
(\lambda x_2)^2)^{1/3}  ,\\
& = &   (\lambda ^2 (x_1^2+x_2^2))^{1/3}  , \\
& = & {\lambda }^{2/3} h(x_1,x_2)  .
\end{eqnarray*}

Nous dirons (voir la d\'efinition \ref{dfh}) que $h$ est
homog\`ene de degr\'e $2/3$. Enfin, nous pouvons remarquer que
pour tout $ (x_1,x_2) \in ( {\R}^+ - \{ 0 \})^2   $~:
$$
\begin{array}{lll} \displaystyle x_1 \frac{ \partial h }{\partial x_1}(x_1,x_2)  +
x_2 \frac{ \partial h }{\partial x_2}(x_1,x_2)   &= &
\frac{2}{3} x_1^2 (x_1^2+x_
2^2)^{-2/3}  +   \frac{2}{3} x_2^2 (x_1^2+x_ 2^2)^{-2/3} \\
\\
  &= &  \frac{2}{3 }(x_1^2+x_ 2^2) (x_1^2+x_ 2^2)^{-2/3} \\
\\
&=& \frac{2}{3 } f(x_1,x_2)
 \end{array}$$

\begin{definition} Un sous-ensemble $C$ de ${\R}^n$ est un c\^one positif si pour tout
$(x_1, \ldots ,\, x_n)\in C$ et  $\lambda \in {\R}^+ - \{ 0 \}$~:
$ ( \lambda x_1, \ldots ,\, \lambda x_n) \in C $.
\end{definition}

G\'eom\'etriquement, un c\^one positif  est exactement un
sous-ensemble stable par homoth\'etie de centre l'origine de
${\R}^n$  et de rapport positif.

\begin{definition}\label{dfh} Soit $C$ c\^one positif de ${\R}^n$ et $k$ un r\'eel.
Soit~:
$$ f: C \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1, \ldots ,\,x_n) \mapsto f(x_1, \ldots
,\, x_n).$$ La fonction $f$ est dite $k$-homog\`ene ou homog\`ene
de degr\'e $k$ si pour tout $ (x_1, \ldots ,\,x_n) \in C$ et
$\lambda \in {\R}^+ - \{ 0 \}$~:
$$ f( \lambda x_1, \ldots ,\, \lambda x_n) = \lambda ^k f(x_1, \ldots ,\,x_n). $$
\end{definition}

\newtheorem{pie}[subsubsection]{Proposition (identit\'e d'Euler)}
\begin{pie} Soit $C$ un  c\^one positif de ${\R}^n$  que nous supposons ouvert.
Soit~:
$$ f: C \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1, \ldots ,\,x_n) \rightarrow f(x_1, \ldots
,\,x_n) \; .$$ admettant des d\'eriv\'ees partielles continues.
Alors $f$ est $k$-homog\`ene si et seulement si pour tout $
x=(x_1, \ldots ,\,x_n) \in C$~:
$$ k f(x) = x_1  \frac{ \partial f }{\partial x_1}(x)  + \cdots +
 x_n  \frac{ \partial f }{\partial x_n}(x)  $$
\end{pie}

\preuve Supposons $f$ homog\`ene de degr\'e $k$. Pour $(x_1,
\ldots ,\,x_n) \in C$ et $\lambda >0$, nous avons donc~:
$$ f( \lambda x_1, \ldots ,\, \lambda x_n) = \lambda ^k f(x_1, \ldots ,\,x_n).$$
D\'erivons par rapport \`a $\lambda$ cette fonction des $n+1$
variables $\lambda , x_1, \ldots ,\,x_n$ . Nous obtenons~:
$$  x_1  \frac{ \partial f }{\partial x_1}( \lambda x_1 , \ldots , \, \lambda x_n )  +
\cdots +
 x_n  \frac{ \partial f }{\partial x_n}(\lambda x_1 , \ldots , \, \lambda x_n)   =
k \lambda ^{k-1} f(x_1, \ldots ,\,x_n).$$ Il reste \`a prendre
$\lambda = 1$. Inversement, si
 pour tout
$ x= ( x_1, \ldots ,\, x_n) \in C$~:
$$ k f(x) = x_1  \frac{ \partial f }{\partial x_1}(x)  + \cdots +
 x_n  \frac{ \partial f }{\partial x_n}(x)  .$$
Fixons $( x_1, \ldots ,\,x_n) \in C$ et consid\'erons la
fonction~:
$$ g : {\R}^+ - \{ 0 \} \rightarrow {\R} \quad , \quad
\lambda  \mapsto g (\lambda) = f( \lambda x_1, \ldots ,\, \lambda
x_n) . $$ On v\'erifie que $g$ est d\'erivable  et que pour tout
$\lambda \in {\R}^+ - \{ 0 \} $~:
$$ g'( \lambda  ) = k \lambda g( \lambda ) .$$
Nous en d\'eduisons qu'il existe une constante $c$ telle que
 $$ \forall
 \lambda \in {\R}^+ - \{ 0 \}  \quad : \quad
  \frac{g(\lambda )  }{\lambda ^k } = c  .$$
En effet la         d\'eriv\'ee de la fonction $\displaystyle
\frac{g(\lambda ) }{\lambda ^k }$ est nulle sur $ {\R}^+ - \{ 0 \}
$. En prenant $\lambda = 1$, nous obtenons $c = f( x_1, \ldots
,\,x_n) $. Nous avons ainsi montr\'e que pour tout $ x= ( x_1,
\ldots ,\,x_n) \in C$~:
$$ f( \lambda x_1, \ldots , \,\lambda x_n) = \lambda ^k f(x_1, \ldots ,\,x_n).$$

\begin{remarque} Sous les hypoth\`eses de la proposition, on peut montrer que
les d\'eriv\'ees partielles de $f$ sont homog\`enes de degr\'e
$k-1$.
\end{remarque}

\noindent{\bf Exemple~:} Consid\'erons la fonction~:
$$ f :   {\R}^2  \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1,\,x_2) \mapsto
f(x_1,\,x_2)=  \frac{x_1^2 + 17 x_1x_2 + x_2^2}{ (x_1+x_2)^2}.$$
Le fonction $f$ est une fraction rationnelle d\'efinie sur~:
$$ \Omega = \{ (x_1,\,x_2) \in {\R}^2 \quad ; \quad x_1 + x_ 2 \neq 0\}.$$
L'ensemble $A$ est un ouvert de ${\R}^2 $ car ${\R} -  \{ 0 \}$
est un ouvert de $\R$ et que la fonction polynomiale $x_1+x_2$ est
continue (voir proposition \ref{piio} du chapitre II) . On
v\'erifie facilement que c'est un c\^one positif. Pour tout
$(x_1,\,x_2) \in A$ et $\lambda >0$, nous avons~:
$$ f( \lambda x_1,\,  \lambda  x_2)=
\frac{ \lambda ^2 x_1^2 + \lambda ^2 x_1x_2 +  \lambda ^2 x_2^2
}{( \lambda   x_1 + \lambda   x_2 )^2  } = f (x_1,\,x_2). $$
Ainsi, la restriction de $f$ \`a $A$ est homog\`ene de degr\'e
$0$. Comme $f$ est une fraction rationnelle, elle admet des
d\'eriv\'ees partielles continues
 aux points o\`u elle est d\'efinie. Nous avons donc pour tout
$(x_1,\,x_2) \in A$  (l'identit\'e d'Euler)~:
$$ x_1  \frac{ \partial f }{\partial x_1} (x_1,x_2)   +
 x_2  \frac{ \partial f }{\partial x_2}  (x_1,x_2)    = 0.$$


\section{Fonctions usuelles}

\subsection{Fonctions   exponentielle et logarithme}


\newtheorem{pefe}[subsubsection]{Proposition (existence de la fonction exponentielle)}
\begin{pefe} Il existe une unique fonction d\'erivable $f : {\R} \rightarrow {\R}$
telle que~:
$$ \forall x \in {\R} \quad , \quad f'(x ) =f(x)   \quad {\rm et} \quad f(0) = 1 \; .$$
Cette fonction est appel\'ee fonction exponentielle  et not\'ee~:
$$ {\rm exp} :  {\R} \rightarrow {\R} \quad  : \quad
x \mapsto {\rm exp} (x) = e^x \; .$$
\end{pefe}

Une propri\'et\'e essentielle de la fonction exponentielle est~:
 $$ \forall x,y \in {\R} \quad , \quad e^{x+y} = e^x e^y  \; .$$

Il en r\'esulte que la fonction exponentielle est \`a valeurs strictement
positives et est strictement croissante~:
$$  \forall x,y \in {\R}  \quad , \quad x < y \quad \Rightarrow \quad 0 < e^x < e^y \; .$$
La fonction exponentielle d\'erivable sur ${\R}$ est donc continue
sur ${\R}$. On peut alors montrer que l'application~:
$${\R} \rightarrow {\R}^{+} - \{ 0 \}  \quad  : \quad
x \mapsto    e^x  $$
 est bijective. C'est \`a dire que pour tout r\'eel $y>0$, il  existe un
unique r\'eel $x$ tel que $e^x = y$.\\

Le r\'eel $e^1$, valeur  de la fonction exponentielle en $1$, est  not\'e $e$.
Ce n'est pas un nombre rationnel.
Le d\'ebut de son d\'eveloppement d\'ecimal est  de 2,71828182846.... .\\

\newtheorem{pefln}[subsubsection]{Proposition (existence de la fonction logarithme)}
\begin{pefln} Il existe une unique fonction d\'erivable $f : {\R}^{+} - \{ 0 \} \rightarrow {\R}$
telle que~:
$$ \forall x \in {\R}^{+} - \{ 0 \} \quad , \quad f'(x ) = \frac{1}{x}   \quad {\rm et} \quad f(1) = 0 \; .$$
Cette fonction est appel\'ee fonction logarithme  n\'eperien ou  logarithme  et not\'ee~:
$$ \ln:  {\R}^{+} - \{ 0 \} \rightarrow {\R} \quad  : \quad
x \mapsto   \ln x \; .$$
\end{pefln}

Une propri\'et\'e essentielle de la fonction logarithme est~:
 $$ \forall x,y \in {\R}^{+} - \{ 0 \} \quad , \quad \ln( xy )  = \ln x + \ln y  \; .$$

La fonction logarithme
est  strictement croissante~:
$$  \forall x,y \in {\R}^{+} - \{ 0 \} \quad x < y \quad \Rightarrow \quad  \ln x < \ln y
\; .$$

La fonction logarithme d\'erivable sur $ {\R}^{+} - \{ 0 \} $ est
donc continue.
 On peut alors montrer  que l'application~:
$${\R}^{+} - \{ 0 \}  \rightarrow {\R}   \quad  : \quad
x \mapsto \ln x   $$
 est bijective. C'est \`a dire que pour tout r\'eel $y$, il  existe un
unique r\'eel $x>0$ tel que $\ln x = y$.\\

Les fonctions logarithme  et exponentielle  sont li\'ees.  En effet, les deux  applications bijectives~:
$${\R} \rightarrow {\R}^{+} - \{ 0 \}  \quad  : \quad
x \mapsto    e^x  $$
et
$${\R}^{+} - \{ 0 \}  \rightarrow {\R}   \quad  : \quad
x \mapsto \ln x   $$

sont  inverses l'une de l'autre. C'est-\`a-dire~:
$$ \forall x \in {\R} \quad : \quad \ln (e^x) = x \quad {\rm et} \quad
 \forall x \in {\R}^{+} - \{ 0 \} \quad : \quad e^{\ln x}   = x \; .$$

Pour tout r\'eel $a$, \`a l'aide de la fonction logarithme, nous pouvons d\'efinir   la fonction puissance $a$.


\newtheorem{dfp}[subsubsection]{D\'efinition (fonction puissance)}
\begin{dfp} Soit $a$ un nombre r\'eel. Nous appelons fonction puissance
$a$ la fonction~:
$$   {\R}^{+} - \{ 0 \} \rightarrow {\R} \quad  : \quad
x \mapsto   x^a := e^{a \ln x} \; .$$
\end{dfp}

Si $a$ rationnel, cette fonction $x \mapsto x^a$ g\'en\'eralise bien la fonction puissance usuelle.
Par exemple pour tout $x>0$, $  x.x = x^{2} =  e^{  2 \ln x}  $
et    $\sqrt {x}$ l'unique r\'eel positif dont le carr\'e est $x$
est bien \'egal \`a $\displaystyle x^{1/2}=  e^{  \frac{1}{2} \ln x}$.\\

La fonction puissance
$a$~:
$$   {\R}^{+} - \{ 0 \} \rightarrow {\R} \quad  : \quad
x \mapsto   x^a   \; .$$ est d\'erivable sur ${\R}^{+} - \{ 0 \} $
comme compos\'ee d'applications d\'erivables. Nous obtenons que sa
d\'eriv\'ee est la fonction~:
 $$   {\R}^{+} - \{ 0 \} \rightarrow {\R} \quad  : \quad
x \mapsto     a x^{a-1}  \; .$$
On pourra \'ecrire~: $(x^a)' = a x^{a-1}  $.\\

Pour tout $a$ r\'eel, nous avons~:
  $$ \forall x,y \in   {\R}^{+} - \{ 0 \}  \quad , \quad  (xy)^a = x^ay^a  \; .$$
La fonction puissance $a$ est \`a valeurs strictement positives et est strictement croissante.
L'application~:
$$   {\R}^{+} - \{ 0 \} \rightarrow {\R}^{+} - \{ 0 \} \quad  : \quad
x \mapsto   x^a   \; .$$
est bijective. Son inverse est l'application~:
$$   {\R}^{+} - \{ 0 \} \rightarrow {\R}^{+} - \{ 0 \} \quad  : \quad
x \mapsto   x^{\frac{1}{a}}   \; .$$

Signalons  enfin que pour tout $a$, $b$ r\'eels nous avons ~:
$$ \forall x \in   {\R}^{+} - \{ 0 \}  \quad , \quad (x^a)^b = x^{ab} \quad {\rm et}
\quad x^a \; x^b = x^{a+b}$$
En particulier~:
$$ \forall x \in   {\R}^{+} - \{ 0 \} \quad , \quad x^{-a} = \frac{1}{x^a}$$

\subsection{Fonctions trigonom\'etriques}

Consid\'erons dans ${\R}^2$ le cercle $S$ de centre $0$ et de
rayon $1$~:
$$ S = \{(x_1,x_2) \in {\R}^2 \quad ; \quad x_1^2 + x_2^2 = 1 \} \; .$$
La longueur de $S$ est le nombre $2 \pi $. Le nombre $\pi$ n'est
pas rationnel. Le d\'ebut de son d\'evelopement d\'ecimal est
$3,1415926535 ...$ (``que j'aime \`a faire conna\^{\i}tre un
nombre utile aux sages ...'')
\\

Soit $x \geq 0$ un r\'eel. Parcourons la distance $x$ sur le cercle $S$ \`a partir du point
$A= (1,0)$ dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. On arrive \`a un point $M(x) \in S$.
Soit $x \leq 0$ un r\'eel. Parcourons la distance $x$ sur le cercle $S$ \`a partir du point
$A= (1,0)$ dans le sens   des aiguilles d'une montre. Pour tout $x$ r\'eel, nous venons de d\'efinir
un point $M(x)$ dont nous notons $M(x) = (\cos x , \sin x ) $ les coordonn\'ees.
Nous appelons cosinus la fonction~:
$$ {\R} \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto \cos x $$
et sinus la fonction~:
$$  {\R} \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto \sin x $$
Pour tout $x$ r\'eel, nous avons par d\'efinition~: $(\cos x , \sin x ) \in S$ et donc~:
$$ (\cos x )^2 + (\sin x)^2 = 1 \quad , \quad -1 \leq  \cos x \leq 1 \quad , \quad -1 \leq  \sin x \leq 1 \; .$$
 \begin{proposition} Les fonctions cosinus et sinus sont continues, d\'erivables.
La d\'eriv\'ee de la fonction cosinus est la fonction $- \sin$ et celle
de la fonction sinus est la fonction $\cos$.
\end{proposition}

Nous avons pour tout r\'eel $x$ et pour tout entier $k$~:
$$ \begin{array}{ll} \cos ( x + 2k \pi ) = \cos x \quad ,& \quad \sin ( x + 2k \pi ) = \sin x \\
 \cos ( x +    \pi ) =  - \cos x \quad ,& \quad
\sin ( x +   \pi ) =  - \sin x \\
\displaystyle \cos ( \frac{\pi}{2} - x   ) =  \sin  x \quad ,& \quad
\displaystyle \sin ( \frac{\pi}{2}- x   ) =  \cos  x \\
\displaystyle \cos (   x + \frac{\pi}{2}  ) = - \sin  x \quad ,&
\quad \displaystyle \sin ( x+ \frac{\pi}{2}  ) = \cos  x
\end{array}$$

Indiquons quelques valeurs particuli\`eres.
$$ \begin{array}{ll}  \cos 0 = 1 \quad , & \sin 0 = 0 \\
\displaystyle \cos \frac{\pi}{2} = 0 \quad , & \displaystyle \sin \frac{\pi}{2} = 1 \\
\displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad , &\displaystyle  \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \\
\displaystyle \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad , &\displaystyle  \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \quad ,
&\displaystyle  \sin \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}$$

\section{Graphes et lignes de niveaux}

\subsection{Etudes de sous-ensembles de ${\R}^2$}

Sur un plan euclidien, nous choisissons  un rep\`ere orthonorm\'e
qui l'identifie \`a ${\R}^2$. Si $M=(a_1,\, a_2)$ et $N= (b_1,\,
b_2)$ sont deux points du plan, rappelons que la distance de $M$
\`a $N$ est~:
$$ d(M,\,N)= \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}.$$

\noindent {\bf 1) Droite du plan :}\\

 Soit $D$ une droite du plan. Nous savons qu'il existe trois r\'eels
$(a,\,b,\,c)$ avec $(a,\,b)\neq (0,0)$ tels que $D$ soit
l'ensemble des points $M$ de coordonn\'ees $(x_1,\,x_2)$ tels
que~:
$$ ax_1 + bx_ 2 = c.$$
Nous dirons que $ ax_1 + bx_ 2 = c$ est une \'equation de $D$.\\

Une droite peut avoir plusieurs \'equations . Par exemple, la
droite d'\'equation $x_1 - x_2 = 2$
est aussi la droite d'\'equation $2x_1 - 2x_2 = 4$.\\

\noindent  {\bf Repr\'esentation graphique de la droite $D$
d'\'equation $ax_1 + bx_
2 = c$~:}\\

\noindent \underline{Cas  $b=0$~:} La droite $D$ a pour \'equation
$ \displaystyle x_1 =  \frac{c}{a} $.
Elle est parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees (droite verticale).\\

\noindent \underline{Cas  $a=0$~:} La droite $D$ a pour \'equation
$ \displaystyle x_2 =  \frac{c}{b} $.
Elle est parall\`ele \`a l'axe des abscisses (droite horizontale).\\

\noindent \underline{Cas  $a\neq 0$, $b \neq 0$, $c =0$~:} La
droite $D$ a pour \'equation $ax_1 + bx_ 2  = 0  $. Elle  passe
par l'origine $(0, \,0)$ et par le point $ C =(-b,\,a)$. La droite
$D$ est donc la droite $(OC)$.\\

\noindent \underline{Cas  $a\neq 0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$~:} La
droite $D$ passe par les points  $ A = \displaystyle  (\frac{c}{a}
,\,0)$ et le point $\displaystyle B = (0,\,\frac{c}{b} )$ qui sont
distincts.  La droite $D$ est donc la droite $(AB)$.\\

Qand $c$ varie les droites d'\'equations $ax_1 + bx_ 2  = c$
forment une famille de droites
parall\`eles.\\

\begin{proposition} Les droites d'\'equation $ax_1 + bx_ 2  = c$  et
$a'x_1 + b'x_ 2  = c'$ sont parall\`eles si et seulement si $ab' -
ba' = 0$.
\end{proposition}

\noindent {\bf Exercice :}  Trouver $m$ pour que la droite $D(m)$
d'\'equation $2x_1+mx_2 =7$
soit parall\`ele \`a la droite d'\'equation $x_1+2x_2=4$. R\'eponse~: $m=4$.\\

\noindent  {\bf Exemple de variations des coefficients~:}\\

Supposons que $a$, $b$ et $c$ soient trois r\'eels strictement
positifs. Fixons $b$ et $c$ et consid\'erons la droite $D(a)$
d'\'equation $ax_1 + bx_ 2  = c$. Pour $0<a'<a<a''$ la situation
des droites $D(a')$,
$D(a)$ et $D(a'')$ est donn\'ee par le dessin ci-dessous~:\\

{\bf Dessin}\\


\noindent {\bf Equation r\'eduite d'une droite~:}\\

 Pour $b \neq 0$, la droite d'\'equation
$ax_1 + bx_ 2  = c$  a aussi pour \'equation~:
$$ x_ 2 = - \frac{a}{b} x_1 +  \frac{c}{b}. $$
Cette  \'equation est appel\'ee \'equation r\'eduite de $D$.
Le r\'eel $ \displaystyle  - \frac{a}{b} $ est aussi appel\'e la pente de $D$.\\

\noindent {\bf Demi plan d\'elimit\'e par une droite~:} \\

Soit $D$ la droite d'\'equation $ x_1 - 2 x_2 = 2$.
Repr\'esenter~:
  $$A = \{(x_1,\,x_2) \in {\R }^2 \; ; \; x_1 -  2 x_2 > 2\}.$$
Les conditions suivantes sont \'equivalentes~:
$$\begin{array}{l} x_1 -  2 x_2 > 2 ,
\\     2 x_2 > 2 - x_1, \\
\displaystyle  x_2 < - 1 + \frac{1}{2} x_1.
\end{array}$$
L'ensemble $A$ est l'ensemble hachur\'e dans le dessin ci-dessous~:\\

{\bf dessin :}\\


L'ensemble $A$ est appel\'e demi-plan d\'elimit\'e par $D$.\\

\noindent {\bf 2) Segment du plan~:}\\

Soit $A=(a_1,\,a_2)$, $B=(b_1,\,b_2)$ deux points du plan. Le
segment $AB$ est l'ensemble des points $M$ de coordonn\'ees
$(x_1,\,x_2)$ tels qu'il existe $\lambda \in [0,1]$ v\'erifiant~:
$$\begin{array}{l}x_1 = \lambda a_1 + (1 - \lambda ) b_1, \\
x_2 =  \lambda a_2 + (1 - \lambda ) b_2.
\end{array}$$
Ainsi, les coordonn\'ees de $M$ sont une moyenne pond\'er\'ee des
coordonn\'ees de $A$ et $B$.

\begin{definition} (ensemble convexe dans ${\R}^n$) Un sous-ensemble $X$
de ${\R}^n$ est dit convexe si d\`es que deux points $A= (a_1,
\ldots ,\,a_n)$ et $B = (b_1, \ldots ,\,b_n)$ sont dans $X$, alors
pour tout $\lambda \in [0,1]$~:
$$ ( \lambda a_ 1 + (1 - \lambda) b_1  \ldots ,\, \lambda a_n+ (1 - \lambda) b_n)  \in
X.$$
\end{definition}

Autrement dit un sous-ensemble de ${\R}^2$ (resp. ${\R}^n$) est
convexe si d\`es qu'il contient deux points, il contient le
segment
d'extr\'emit\'es ces deux points.\\

\noindent {\bf Exemple~:} Un demi-plan de ${\R}^2$  est convexe.\\

\noindent {\bf 2) Cercle~:}\\

Soit $R>0$ un r\'eel et $\Omega = (\omega _1,\, \omega _2)$ un
point de ${\R}^2$. Le cercle $C$ de centre $\Omega$ et de rayon
$R$ est l'ensemble des points $M=(x_1,\,x_2)$ du plan
v\'erifiant~:
$$ d ( M ,\, \Omega ) = R$$
ou~:
$$ \sqrt{ (x_1 - \omega _1)^2 + (x_2 - \omega _2)^2 } = R, $$
 ou encore~:
$$(x_1 - \omega _1)^2 + (x_2 - \omega _2)^2   = R^2.$$

\noindent { \bf Exercice~:}
 Montrer que l'ensemble $E$ des points $M=(x_1,\,x_2)$ de ${\R}^2$ v\'erifiant
l'\'equation~: $ 2x_1^2 + 2 x_2^2 - 2x_2 + x_1 = 3 $
est un cercle dont on pr\'ecisera le centre et le rayon.\\

\noindent { \bf Solution~:} Les \'equations suivantes sont
\'equivalentes~:
\begin{eqnarray*}
&&  2x_1^2 + 2 x_2^2 - 2x_2 + x_1 = 3 , \\
&& \displaystyle x_1^2 +  x_2^2  + \frac{1}{2} x_1  - x_2  =   \frac{3}{2} , \\
&& \displaystyle (x_1 + \frac{1}{4})^2 + (x_2 -  \frac{1}{2})^2 -
\frac{1}{16} -
\frac{1}{4} =  \frac{3}{2} ,  \\
&& \displaystyle (x_1 + \frac{1}{4})^2 + (x_2 -  \frac{1}{2})^2 =
\frac{29}{16}.
\end{eqnarray*}
 L'ensemble $E$ est donc le cercle de centre
$\displaystyle
 -\frac{1}{4} ,\  \frac{1}{2}  $ et de rayon $\displaystyle   \frac{\sqrt{29}}{4} $.\\

 Montrer que l'ensemble $E'$ des points $M=(x_1,\,x_2)$ de ${\R}^2$ v\'erifiant
l'\'equation~:
$$ 2x_1^2 + 2 x_2^2 - 2x_2 + x_1 < 3 $$
est le disque (sans son bord) de centre $ \displaystyle  (
-\frac{1}{4} ,\, \frac{1}{2})  $ et de rayon $ \displaystyle
\frac{\sqrt{29}}{4} $.\\


Les \'equations suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{eqnarray*}
&& 2x_1^2 + 2 x_2^2 - 2x_2 + x_1 < 3,  \\
&& \displaystyle x_1^2 +  x_2^2  + \frac{1}{2} x_1  - x_2  <   \frac{3}{2}, \\
&& \displaystyle (x_1 + \frac{1}{4})^2 + (x_2 -  \frac{1}{2})^2 -
\frac{1}{16} -
\frac{1}{4} <  \frac{3}{2},  \\
&& \displaystyle (x_1 + \frac{1}{4})^2 + (x_2 -  \frac{1}{2})^2 <
\frac{29}{16}. \end{eqnarray*}
 Donc $E'$ est l'ensemble des points situ\'es
\`a une distance strictement inf\'erieure \`a
 $ \displaystyle \frac{\sqrt{29}}{4} $ du point $ \displaystyle  ( -\frac{1}{4}
 ,\,
\frac{1}{2})  $.
On peut montrer que cet ensemble est un ouvert, born\'e et convexe de ${\R}^2$.\\

\noindent { \bf Ellipse~:}\\

Soit $0<c<a$ deux r\'eels strictement positifs. Notons $F=(c,\,0)$
et $F'=(-c,\,0)$. Nous appelons ellipse de foyer $F$ et $F'$
l'ensemble des points $M$ du plan tels que~:
$$ d(M,F) + d(M,F')= 2a.$$
On peut v\'erifier que cet ensemble ${\cal E}$ est l'ensemble des
points $M$ dont les coordonn\'ees $ (x_1,\,x_2) $ v\'erifient
l'\'equation~:
$$ \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2} = 1 \quad {\rm o\grave{u}} \quad  b^2 = a^2
- c^2.$$

 \noindent {\bf Exercice~:} Montrer que l'ellipse $ {\cal E} $ est un ensemble
ferm\'e born\'e de ${\R}^2$.\\

 \noindent {\bf Solution~:} Consid\'erons l'application polynomiale, donc continue~:
$$ {\R}^2 \stackrel{f}{\rightarrow} {\R} \quad , \quad (x_1,\,x_2)
\mapsto \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}.$$ Par
d\'efinition~:
$$ \begin{array}{lll} {\cal E} &  = &   \{ (x_1,x_2)  \in {\R }^2 \quad ; \quad
f(x_1,x_2)  = 1  \}  ,
\\ & = &  \{ (x_1,x_2)  \in {\R }^2 \quad ; \quad f(x_1,x_2)  \in \{ 1 \} \}.
\end{array} $$
Comme l'ensemble  $ \{ 1 \} $ est ferm\'e dans ${\R}$ et que $f$
est continue, il r\'esulte de
la proposition 5.1 du chapitre II que $ {\cal E} $ est un ensemble ferm\'e de ${\R}^2$.\\

Si $(x_1,\, x_2)  \in {\cal E} $, nous avons~:
$$ \frac{x_1^2}{a^2} \leq \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}  \leq 1 \quad {\rm
et \ donc\ } x_1^2 \leq a^2. $$ De m\^eme, $x_2^2 \leq b^2$.
Ainsi, $\sqrt{ x_1^2 + x_2^2} \leq a^2 + b^2 $. L'ellipse ${\cal
E}$ est donc contenue dans le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon
$\sqrt{a^2 + b^2}$. Elle est donc born\'ee.\\

Pour dessiner l'ellipse ${\cal E}$, on peut fixer une corde de
longueur $2a$ aux foyers $F$ et $F'$ et se deplacer la corde
tendue autour de $F$ et $F'$. Plus alg\'ebriquement, on peut
remarquer que l'intersection de ${\cal E}$ avec le demi-plan $x_2
\geq 0$ est donn\'ee par l'\'equation~:
$$ x_2 = b \sqrt{ 1 - \frac{x_1^2}{a^2}} \quad {\rm et} \quad -a \leq x_1 \leq a
.$$ La repr\'esentation  de l'intersection de ${\cal E}$ avec le
demi-plan $x_2 \geq 0$ s'obtient donc en \'etudiant la fonction~:
$$ [-a,a] \stackrel{f}{\rightarrow} {\R} \quad , \quad
x_1 \mapsto x_2 = f(x_1)=  b \sqrt{ 1 - \frac{x_1^2}{a^2} }.$$ La
fonction $f$ est d\'erivable sur $]-a,a[$ et pour tout $x_1 \in
]-a,a[$~:
$$ f'(x_1) = \frac{b}{a^2} \frac{x_1}{1 - \frac{x_1^2}{a^2}  }.$$
Le tableau de variation de $f$ est~:\\

{\bf tableau}\\

D'o\`u la repr\'esentation de l'intersection de ${\cal E}$ avec le
demi-plan $x_2
\geq 0$~:\\

{\bf dessin}\\


Pour obtenir la repr\'esentation graphique de ${\cal E}$, il reste
\`a remarquer que ${\cal E}$ est invariant sous l'action  de la
sym\'etrie orthogonal d'axe celui des abscisses ; c'est-\`a-dire~:
$$ (x_1,x_2)  \in {\cal E}    \Leftrightarrow  (x_1,- x_2)  \in {\cal E}.$$

\noindent {\bf Remarque :} On pourra montrer que l'int\'erieur de
l'ellipse caract\'eris\'ee  par l'in\'equation:
$$ d(M,F) + d(M,F') <  2a \quad  {\rm ou} \quad \frac{x_1^2}{a^2} +
\frac{x_2^2}{b^2}   \leq 1$$
est une ensemble convexe de ${\R}^2$.\\

\noindent { \bf Hyperbole~:}\\

Soit $0<a<c$ deux r\'eels strictement positifs. Notons $F=(c,\,0)$
et $F'=(-c,\,0)$. Nous appelons hyperbole de foyer $F$ et $F'$
l'ensemble des points $M$ du plan tels que~:
$$ \mid d(M,F) - d(M,F') \mid = 2a .$$
On peut v\'erifier que cet ensemble ${\cal H}$ est l'ensemble des
points $M$ dont les coordonn\'ees $ (x_1,\,x_2) $ v\'erifient
l'\'equation~:
$$ \frac{x_1^2}{a^2} - \frac{x_2^2}{b^2} = 1 \quad {\rm o\grave{u}} \quad  b^2 = c^2
- a^2 .$$ Ainsi, l'intersection de ${\cal H}$
 avec le demi-plan $x_1\geq 0$ est l'ensemble des points $M = (x_1,\,x_2)$ v\'erifiant
l'\'equation~:
$$ x_1 =  a \sqrt{  \frac{x_2^2}{b^2}  + 1     }$$
et cette intersection s'obtient dons par l'\'etude de la
fonction~:
$$  {\R}  \stackrel{g}{\rightarrow} {\R} \quad , \quad
x_1 \mapsto x_1 = g(x_2)=  b \sqrt{ \frac{x_2^2}{b^2} + 1 }.$$ La
fonction $g$ est d\'erivable sur $  {\R}   $ et pour tout $x_2$
r\'eel~:
$$ g'(x_2) = \frac{a}{b^2} \frac{x_2}{\sqrt{ \frac{x_2^2}{b^2} + 1 }  }.$$
Le tableau de variation de $g$ est~:\\

{\bf dessin :}\\

De plus, $ \displaystyle \lim_{x_2 \rightarrow + \infty }
\frac{g(x_2)}{x_2} = \frac{a}{b}$, $ \displaystyle \lim_{x_2
\rightarrow - \infty } \frac{g(x_2)}{x_2} = -\frac{a}{b}$, $
\displaystyle \lim_{x_2 \rightarrow + \infty }  g(x_2) -
\frac{a}{b} x_2 = 0$ et $ \displaystyle \lim_{x_2 \rightarrow -
\infty }  g(x_2) +   \frac{a}{b} x_ 2 = 0$. Donc, la courbe
repr\'esentative de $g$ a en $ + \infty$ (resp. $- \infty$) la
droite d'\'equation $ \displaystyle x_1 - \frac{a}{b} x_2 = 0$
(resp.  $ \displaystyle  x_1 + \frac{a}{b} x_2 = 0$)
comme asymptote. On obtient la repr\'esentation  de ${\cal H}$~:\\

{\bf dessin :}\\


\noindent { \bf Parabole~:}\\
Consid\'erons dans le plan la droite $D$ d'\'equation $x_1=p$ o\`u
$p>0$ est un r\'eel.  L'ensemble ${\cal P}$  des points $M
=(x_1,\,x_2)$ tels que la distance de $M$ \`a la droite soit
\'egale \`a la distance de $M$ \`a l'origine est appel\'e une
parabole. Traduisons que  $M =(x_1,x_2)$  appartient \`a ${\cal
P}$~:
$$ \begin{array}{l} (x_1 - p)^2 = x_1^2 + x_2^2 ,\\
-2x_1p + p^2 = x_2^2 , \\
x_1 = - \displaystyle \frac{1}{2p} x_2^2 + \frac{p}{2}   .
\end{array}$$
Ainsi, une parabole est l'ensemble des points v\'erifiant~:
$$ -2x_1p + p^2 = x_2^2.$$
La parabole ${\cal P}$  est donc la courbe repr\'esentative de la
fonction~:
$$ h : {\R} \rightarrow {\R} \quad , \quad x_2 \mapsto h(x_2) = - \frac{1}{2p}
x_2^2 + \frac{p}{2}.$$ La fonction $h$ est d\'erivable. Pour tout
$x_2$ r\'eel~:
$$ h'(x_2) = - \frac{x_2}{2p}.$$
La fonction $h$ est paire et ${\cal P}$ admet donc l'axe des $x_1$
comme axe de sym\'etrie. Le tableau de variation de $h$ est donc~:
Enfin, $\lim_{x_2 \rightarrow + \infty} \frac{h(x_2)}{x_2}
=\infty$. Nous en d\'eduisons l'allure
de la courbe repr\'esentative de ${\cal P}$.\\

{\bf dessin :}\\

\noindent { \bf Coniques ~:} \\

Consid\'erons des r\'eels $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ tels que
$a,\, b,\, c$ ne soient pas simultan\'ement nuls. Alors, on peut
montrer que l'ensemble des points $(x_1,\, x_2)$ v\'erifiant
l'\'equation~:
$$ ax_1^2 + b x_1x_2 + c x_2^2 + dx_1 + ex_2  + f = 0$$
est soit vide, soit un cercle, soit une ellipse, soit une
hyperbole ou la r\'eunion de deux droites. Ces ensembles sont
appel\'es les \emph{coniques} du plan.

\subsection{Graphe d'une fonction num\'erique d'une variable}

Soit $I$ un intervalle de ${\R}$ d'extr\'emit\'es $c<d$ ($c$ ou
$d$ pouvant \^etre respectivement $+\infty$ o\`u $-\infty$).

\begin{definition} Soit une fonction $f : I \rightarrow {\R} \; , \; x_1 \mapsto
x_2 = f(x_1)$. Le sous-ensemble de ${\R}^2$~:
$$ G_f = \{ (x_1,\,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; x_1 \in I \quad {\rm et} \quad x_2 =
f(x_1) \}$$ est appel\'e le graphe de $f$.
\end{definition}

\noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction~:
 $$f : {\R}^+ \rightarrow {\R} \quad , \quad
x_1 \mapsto \displaystyle x_2 = \frac{1}{x_ 1}.$$ La
fonction $f$ est d\'ecroissante. Nous avons~:
 $$ \lim_{ x_1 \rightarrow 0^+ } f(x_1) = \lim_{x_1 \rightarrow 0^-} f(x_1)  = 0.$$
Nous obtenons l'allure de $G_f$~:\\

{\bf dessin :}

L'\'etude d'une fonction $f$ et notamment de son  tableau de
variation permet de donner l'allure
de $G_f$ et de le repr\'esenter graphiquement.\\

Inversement, si $G$ est le graphe d'une fonction $f : I
\rightarrow {\R} \; , \; x_1 \mapsto x_2 = f(x_1)$, la donn\'ee de
$G$ permet de retrouver $f$. D'une part, $I$ est la projection de
$G$ sur l'axe des  abscisses parall\'element \`a l'axe des ordonn\'ees.
D'autre part, soit $x_1 \in I$, nous avons $(x_1,\,f(x_1))\in G$ et
si $(x_1,\,x_2) \in G$, alors $x_2 = f(x_1)$. Autrement \'ecrit, si
$x_1 \in I$, $G$ contient un seul point d'abscisse
$x_1$. L'ordonnn\'ee de ce point est $f(x_1)$. \\

Les donn\'ees de $f$ et de son graphe \'etant \'equivalente, nous
disons aussi que le graphe de $f$ est la courbe
rep\'esentative de $f$.\\


\noindent {\bf Exemple :}  Le cercle $C$ de centre $(0,\,0)$ et de
rayon $1$ n'est pas la courbe repr\'esentative d'une fonction $f :
I \rightarrow {\R} \; , \; x_1 \mapsto x_2 = f(x_1)$. En effet il
y a sur $C$ des points distincts ayant m\^eme abscisse. Par contre
les points de $C$ d'ordonn\'ee positive sont le graphe de la
fonction~:
$$ [-1,\,1] \rightarrow {\R} \quad , \quad x_ 1 \mapsto \sqrt{1 - x_1^2}.$$

Au graphe $G_f$ d'une fonction $f$, nous pouvons associer
naturellement quatre sous-ensembles de ${\R}^2$~:
$$ \begin{array}{l}
A =\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; x_1 \in I \quad {\rm et} \quad
x_2 > f(x_1) \}
 , \\
B =\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; x_1 \in I \quad {\rm et} \quad
x_2 < f(x_1) \}
,  \\
C =\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; x_1 \in I \quad {\rm et} \quad
x_2 \geq f(x_1)
\} ,  \\
D =\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; x_1 \in I \quad {\rm et} \quad
x_2 \leq f(x_1) \} .
\end{array}$$
L'ensemble $A$ est l'ensemble des   points situ\'es strictement
au-dessus du graphe de $f$, $B$ celui des points strictement
en-dessous, $C$ celui des points  au-dessus et $D$
celui des points  au-dessous.

 L'ensemble $C$ est appel\'e l'\emph{\'epigraphe} de la 
fonction $f$ et l'ensemble $D$ est appel\'e l'\emph{hypographe}.\\

\noindent{\bf Exercice :} On pourra montrer que si $I$ est ferm\'e
(par exemple $I={\R}$ ou $I = [c,\,d]$) et que $f$ est continue,
alors le graphe de $f$ et les ensembles $C$ et $D$ sont des
ferm\'es
de ${\R}^2$. \\

\noindent{\bf Tangente aux points d'un graphe :}\\

Soit $f : I \rightarrow {\R} \; , \; x_1 \mapsto x_2 = f(x_1)$.
une fonction  et $A= (a,\,f(a)) \in G_f$. Consid\'erons alors $B
=(b,\,f(b)) \in G_f$ un point diff\'erent de $A$. La droite $(AB)$
est appel\'e une s\'ecante au graphe en $A$. Son \'equation est~:
$$ x_2 = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} (x_1 - a ) + f(a) . $$
Sa pente est $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a} $. Si $f$ est
d\'erivable en $a$, $f$ est alors continue en $A$ et on peut
montrer que~:
$$ \lim_{B \rightarrow A, B \in G_f, B \neq A } \; {\rm pente\; de} \; AB =
\lim_{x_1 \rightarrow a} \frac{f(b) - f(a)}{b-a}  = f'(a) .
$$ Ainsi, lorsque $B$ tend vers $A$ la s\'ecante $(AB)$ tend vers
la droite d\'equation~:
$$ x_2 = f'(a) (x_1 - a ) + f(a)  $$
appel\'ee tangente en $(a,\,f(a))$ \`a $G_f$.

\begin{definition} Si $f$ est d\'erivable en $a$, la droite d'\'equation~:
$$ x_2 - f(a) = f'(a) ( x_1 - a)$$
est appel\'e la tangente en $(a,\,f(a))$ \`a $G_f$.
\end{definition}

La tangente en  $(a,\,f(a))$ \`a $G_f$ est encore la droite de pente
$f'(a)$ passant
par le point $(a,\,f(a))$.\\


\noindent{\bf Position du graphe  d'une fonction et d'une droite s\'ecante :}\\

Nous souhaitons pr\'eciser la position d'une droite $D$ s\'ecante
au graphe $G_f$ d'une fonction $f$. Si la droite $D$ est  contenue
dans l'ensemble des points situ\'es au-dessus de $G_f$ nous disons
qu'elle est au-dessus du graphe de $f$, si elle  est dans
l'ensemble des points situ\'es en-dessous de $G_f$, nous disons
qu'elle est en-dessous du graphe de $f$, si elle n'est contenue
dans aucun de ces sous-ensembles nous disons qu'elle traverse le
graphe de $f$.

\begin{proposition} Soit $I$ un intervalle de ${\R}$ d'extr\'emit\'es $c<d$.\\
Soit $f:I \rightarrow {\R}$ une fonction d\'erivable en un point
$a \in ]c,\,d[$. Alors, si une droite $D$ passant par $(a,\,f(a))$ est
du m\^eme c\^ot\'e du graphe de $f$, c'est que $D$ est la tangente
au graphe de $f$ en $(a,\,f(a))$.
\end{proposition}

\noindent {\bf D\'emonstration :} Si la droite $D$ est verticale, il est
clair qu'elle traverse le graphe de $f$. Consid\'erons alors une
droite $D$ passant par $(a,\,f(a))$ et non verticale. Soit $p$ sa
pente, l'\'equation de $D$ est alors~:
$$ x_2 = p (x_1 - a) + f(a).$$
Supposons par exemple que $D$ soit au-dessus du graphe de $f$.
Pour tout $x_1 \in I$, nous avons donc~:
$$ p (x_1 - a) + f(a) \geq f(x_1) $$
Consid\'erons la fonction $g :  I \rightarrow {\R} \; , \; x_1
\mapsto p (x_1 - a) + f(a) - f(x_1)$. Cette fonction est donc
\`a valeurs positives. Elle s'annule en $a$ car la droite $D$
passe par le point $(a,\,f(a))$. Ainsi, $g$ admet un minimum en $a$.
Comme $g$ est d\'erivable en $a$,  il r\'esulte de la proposition
\ref{pcnel} du chapitre III que $g'(a)= 0$. Nous en d\'eduisons $p=f'(a)$. Cela
montre que $D$ est la tangente au graphe de $f$ en $(a,f(a))$.

\begin{proposition}
Soit $I$ un intervalle de ${\R}$ d'extr\'emit\'es $c<d$.\\
Soit $f:I \rightarrow {\R}$ admettant une d\'eriv\'ee seconde
positive (resp. n\'egative)
 une fonction   sur $]c,\,d[$. Alors, les tangentes au graphe de $f$ sont en-dessous
(resp. au-dessus) du graphe de $f$.
\end{proposition}

\noindent {\bf D\'emonstration :}  La tangente   au graphe de $f$ en
$(a,\,f(a))$ est en-dessous (resp. au-dessus) du graphe de $f$  si
et seulement si pour tout $x_1 \in I$~:
$$ g(x_1)= f'(a) (x_1 - a) + f(a) - f(x_1)  \geq 0 \quad ({\rm resp.}  \; \leq 0).$$
La proposition r\'esulte alors de l'\'etude du tableau de
variation de la fonction
$g$.\\


\noindent{\bf Position relative des   graphes  de deux fonctions~:}\\

Soit $f : I \rightarrow {\R}$ et $g : I \rightarrow {\R}$ deux
fonctions. Nous disons plus g\'en\'eralement que le graphe de $g$
est au-dessus de celui de $f$ (resp. en-dessous) si  le graphe de
$g$ est  contenu  dans l'ensemble des points situ\'es au-dessus du
graphe de $f$ (resp. en-dessous).  Le graphe de $f$ est alors
en-dessous de celui de $g$ (resp. au-dessus). Les propositions
pr\'ecedentes se g\'en\'eralisent.

\begin{proposition} Soit $I$ un intervalle de ${\R}$ d'extr\'emit\'es $c<d$.\\
Soit $f:I \rightarrow {\R}$  et $g : I \rightarrow {\R}$ 
deux fonctions d\'erivables en un point $a \in ]c,\,d[$
tels que $f(a) =g(a)$. Alors, si le graphe de $g$  est au-dessus ou en-dessous de 
 celui de   $f$, c'est que les graphes de $f$ et $g$ ont
la m\^eme tangente en $(a,\,f(a))$.
\end{proposition}

\begin{proposition}
Soit $I$ un intervalle de ${\R}$ d'extr\'emit\'es $c<d$.\\
Soit $f : I \rightarrow {\R}$ et $g : I \rightarrow {\R}$ deux
fonctions admettant des d\'eriv\'ees secondes telles que $f'' -
g''$ soit  positive (resp. n\'egative)
   sur $]c,d[$. Soit $a\in ]c,d[$ tel que $f'(a)=g'(a)$ et $f(a) =g(a)$ (autrement
dit le graphe de $f$ et de $g$ s'intersectent en $(a,\,f(a))$ et ont
m\^eme tangente en ce point. Alors le graphe de $f$ est au-dessus
de celui de $g$ (resp. en-dessous).
\end{proposition}

\noindent {\bf Fonction convexe d'une variable~:}

\begin{definition} Une fonction $f : I \rightarrow {\R}$ d\'efinie sur un
intervalle $I$ de ${\R}$ est dite convexe si l'une des
propri\'et\'es \'equivalentes suivantes est v\'erifi\'ee~:
\begin{itemize}
\item[1)] l'\'epigraphe (la partie situ\'ee au-dessus du graphe) de $f$ est
convexe, \item[2)] pour tout $x,\,y \in I$ et $\lambda \in [0,\,1]$~:
$$ f( \lambda x + (1 - \lambda )y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda  ) f(y) . $$
\end{itemize}
Si l'hypographe (la partie situ\'ee en-dessous du graphe) de $f$ est convexe, on
dit alors que $f$ est concave. Cela \'equivaut \`a demander que
pour tout $x,\,y \in I$ et $\lambda \in [0,\,1]$~:
$$  f( \lambda x + (1 - \lambda )y) \geq \lambda f(x) + (1 - \lambda  ) f(y).$$

\end{definition}

\begin{proposition} Si $f$ est convexe et d\'erivable en un point $a$, alors la
tangente en $(a,\,f(a))$ au graphe de $f$ est en-dessous du graphe
de $f$.
\end{proposition}

\begin{proposition} Soit une fonction $f  : I \rightarrow {\R}$ d\'efinie sur un
intervalle ouvert $I$ et deux fois d\'erivables sur $I$. Alors,
$f$ est convexe si et seulement si $f''$ est positive sur $I$.
\end{proposition}

 \noindent { \bf Exemple~:} La fonction ${\R} \rightarrow {\R} \; , \;
x\mapsto 2x^2 - x + 1 $
est convexe. \\

 \noindent {  \bf Lignes de niveau  d'une fonction num\'erique de deux variables~:}\\

 Soit $U$ un sous-ensemble de ${\R}^2$ et $f : U \rightarrow {\R}$. Nous
appelons ligne de niveau de $f$ tout sous-ensemble de $U$
d\'efinie par l'\'equation $f(x_1,x_2)=k$
o\`u $k$ est un r\'eel fix\'e.\\

 \noindent {\bf Exemple~:}  Soit $f
:  {\R}^2 \rightarrow {\R} \; , \; (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) =
 x_1^2 + 2 x_2^2 $. \\
 Les lignes de niveaux de $f$ sont les ensembles d'\'equation~:
$$ x_1^2 + 2 x_2^2  = k.$$
Ils correspondent \`a :
$$ \left\{ \begin{array}{ll}   \emptyset & \quad {\rm pour} \quad k < 0  ,\\
    \{ (0,0) \} & \quad {\rm pour} \quad k = 0, \\
 {\rm une \; ellipse}  &   \quad {\rm pour} \quad k > 0.
  \end{array} \right.
$$

 \noindent {\bf Exemple~:}
 Soit $f
:  {\R}^2 \rightarrow {\R} \; , \; (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) =
 x_1 + 2 x_2 $. Les lignes de niveaux de $f$ sont les droites parall\`eles de pente
$ \displaystyle
- \frac{1}{2}$.\\

\subsection{Th\'eor\`eme des fonctions implicites et extremum avec contrainte (deux
variables)}

Un probl\`eme qui se pose lorsque l'on dispose d'une fonction $f$
est de repr\'esenter ses lignes de niveaux. Une m\'ethode est de
r\'eussir \`a exprimer les solutions de l'\'equation~:
$$ f(x_1,x_2) = k$$
comme les \'el\'ements du graphe d'une fonction de $x_2$ ou de
$x_1$. Le th\'eor\`eme suivant
 nous donne une condition pour que cela soit localement possible.

\newtheorem{tfidv}[subsubsection]{Th\'eor\`eme des fonctions implicites}
\begin{tfidv}   Soit $f : U \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un
ouvert $U$ de ${\R}^2$ admettant des d\'eriv\'ees partielles
continues sur $U$, $k$ un r\'eel et $a=  (a_1,\,a_2) \in U $ tel que
$f(a_1,\,a_2)=k$.
\begin{itemize}
\item[a)] Si $\displaystyle  \frac{\partial f}{\partial
x_2}(a_1,a_2)  \neq 0$, il existe $I$ intervalle ouvert de ${\R}$
contenant $a_1$, un intervalle ouvert $J$ de ${\R}$
contenant $a_2$ et $g : I \rightarrow {\R}$ admettant une
d\'eriv\'ee continue sur $I$ tels que~:
$$ \left\{\begin{array}{l} (x_1,x_2) \in I \times J \\ f(x_1,x_2) = k \end{array} \right.
\Longleftrightarrow 
\left\{ \begin{array}{l} x_1 \in I \\ x_2 = g(x_1)  \end{array} \right. .$$
\item[b)]
 Si $\displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,\,a_2)  \neq 0$, il existe $I$
intervalle ouvert de ${\R}$ contenant $a_1$, 
un intervalle ouvert $J$ de ${\R}$ contenant $a_2$ et $h : J \rightarrow
{\R}$ admettant une d\'eriv\'ee continue sur $J$ tels que~:
$$ \left\{ \begin{array}{l} (x_1,\,x_2) \in I \times J \\ f(x_1,\,x_2) = k \end{array} \right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l} x_2 \in J \\ x_1 = h(x_2)  \end{array} \right. .$$
\end{itemize}
\end{tfidv}

Sous les hypoth\`eses pr\'ec\'edentes, la limite des s\'ecantes
$(ba)$, o\`u $b=(b_1,\,b_2)$ v\'erifiant $ f(b_1,\,b_2) = k$, lorsque $b$ tend
vers $a$ co\"{\i}ncide avec la droite d'\'equation~:
$$ (x_1 - a_1)  \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)  + (x_2 - a_2)
\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2) = 0 \quad .$$ Cette
droite est appel\'ee la tangente en $A $ \`a l'ensemble
d'\'equation~:
 $$f(x_1,x_2) = k. $$

Ce  th\'eor\`eme permet de donner une condition n\'ecessaire \`a
l'existence d'un extremum d'une fonction  num\'erique $f$ de deux
variables sous la contrainte que les valeurs de $f$ v\'erifient
une \'equation $g(x_1,\,x_2) =0$.

\begin{proposition}\label{pcnpcdv}
Soit $f : U \rightarrow {\R} $, $g : U \rightarrow {\R}$ deux
fonctions d\'efinies sur un ouvert $U$ de ${\R}^2$  et admettant
des d\'eriv\'ees partielles continues. Soit $k$ un r\'eel,
d\'esignons par $H$ le sous-ensemble de ${\R}^2$~:
$$  H = \{  (x_1,\,x_2) \; ; \; x_1,\,x_2 \in U \quad {\rm et}  \quad g(x_1,\,x_2)= k \}.$$ 
Soit $A= (a_1,\,a_2) $  un point de $H$ ( $g(a_1,\,a_2)
=k)$) et supposons que la restriction de $f$ \`a $H$ admette un
extremum local en $a$.
 Alors les conditions \'equivalentes suivantes sont v\'erifi\'ees~:
\begin{itemize}
\item[1)] $\displaystyle
 \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,\,a_2)  \frac{\partial g}{\partial x_2}(a_1,\,a_2) -
 \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,\,a_2)  \frac{\partial g}{\partial x_1}(a_1,\,a_2) = 0
\quad .$ \item[2)] $A=(a_1,\,a_2)$ est un point critique de $g$ ou
il existe $\lambda  \in {\R}$ tel que $(a_1,\,a_2,\,\lambda )$ soit un
point critique de la fonction~:
$$ h : U \times {\R} \rightarrow  {\R} \quad , \quad
(x_1,\,x_2,\,\lambda) \mapsto f(x_1,\,x_2) + \lambda ( g(x_1,\,x_2) - k) .$$
\end{itemize}
\end{proposition}

 Dans  la pratique, ces conditions sont tr\`es utiles pour d\'eterminer les extrema
locaux de fonctions
de deux variables sous une contrainte. \\

Compte-tenu de la d\'efinition de point critique, $a$ est un point
critique de $g$ se traduit par
$$\frac{\partial g}{\partial x_1}(a_1,\,a_2) = \frac{\partial g}{\partial
x_2}(a_1,\,a_2) = 0$$ et   l'existence de $\lambda  \in {\R}$ tel
que  $(a_1,\,a_2,\,\lambda )$ soit un point critique de $h$ se traduit
par~:
$$ 0 = g(a_1,\,a_2) - k =  \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,\,a_2) - \lambda
\frac{\partial g}{\partial x_1}(a_1,\,a_2) =  \frac{\partial
f}{\partial x_2}(a_1,\,a_2)  - \lambda  \frac{\partial g}{\partial
x_2}(a_1,\,a_2) . $$

\begin{remarque}
Ces conditions n'expriment rien d'autre que si elles existent, les
tangentes en $(a_1,a_2)$
 aux sous-ensembles $H$ et \`a  la ligne de niveau de $f$: $f(x_1,x_2)=f(a_1,a_2)$
sont identiques.
\end{remarque}


\subsection{G\'en\'eralisation \`a plus de deux variables}

Nous allons donner quelques g\'en\'eralisations pour un nombre
quelconque de variables des concepts et r\'esultats pr\'ec\'edents
concernant les graphes de fonctions d'une variable ou les lignes
de niveaux de fonctions de deux variables.

\newtheorem{dg}[subsubsection]{D\'efinition du graphe d'une fonction}
\begin{dg}
Soit~:
$$ f : U \rightarrow {\R} \;, \; (x_1, \ldots ,\, x_n) \mapsto
x_{n+1} = f (x_1, \ldots , \,x_n)  $$ une fonction d\'efinie sur un
sous-ensemble $U$ de ${\R}^n$. Le sous-ensemble de ${\R}^{n+1}$~:
$$ G_f = \{ (x_1, \ldots ,\, x_n,\,x_{n+1}) \in {\R}^{n+1} \; ; \;
(x_1, \ldots ,\, x_n)  \in U \; {\rm et} \; x_{n+1} = f (x_1, \ldots
, \,x_n)\} $$ est appel\'e le graphe de $f$.
\end{dg}

Comme pour les fonctions d'une seule variable, la donn\'ee d'une
fonction  $f$ et de
son graphe sont \'equivalentes. \\

L'ensemble $A$  des points situ\'es par exemple strictement
au-dessus du graphe de $f : U \rightarrow {\R}$ se d\'efinit comme
\`a une variable~:
$$A = \{ (x_1, \ldots ,\, x_n,\,x_{n+1}) \in {\R}^{n+1} \; ; \;
(x_1, \ldots , \,x_n)  \in U \; {\rm et} \; x_{n+1} > f (x_1, \ldots
, \,x_n)\}. $$

\newtheorem{detg}[subsubsection]{D\'efinition de l'espace tangent en un point d'un
graphe}
\begin{detg}
 Soit $ f : U \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un
  ouvert de ${\R}^n$ et   admettant des d\'eriv\'ees partielles continues sur $U$.
 Soit $a=(a_1,\ldots,\,a_n) \in U$, le sous-ensemble de ${\R}^{n+1}$ d\'efinie par
l'\'equation polynomiale de degr\'e un~:
$$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) (x_1 -a_1)+ \cdots +
\frac{\partial f}{\partial x_n}(a) (x_n -a_n) + x_{n+1} - f(a)=
0$$ est appel\'e espace tangent en $a$ au graphe de $f$.
\end{detg}

D\'efinissons maintenant une fonction convexe dont la source est
un ensemble convexe
de ${\R}^n$.\\

\begin{definition} Une fonction $f  :U \rightarrow {\R}$ d\'efinie sur un
sous-ensemble $U$ convexe de ${\R}^n$ est dite convexe si l'une
des propri\'et\'es \'equivalentes suivantes est v\'erifi\'ee~:
\begin{itemize}
\item[1)] l'\'epigraphe (la partie situ\'ee au-dessus du graphe) de $f$ est
convexe, \item[2)] pour tout $x,\,y \in U $ et $\lambda \in [0,\,1]$~:
$$ f( \lambda x + (1 - \lambda )y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda  ) f(y) . $$
\end{itemize}
\end{definition}

 \noindent {  \bf Ligne de niveaux d'une fonction num\'erique de plusieurs
variables~:}\\

 Soit $U$ un sous-ensemble de ${\R}^n$ et $f : U \rightarrow {\R}$. Nous
appelons ligne de niveau de $f$ tout sous-ensemble de $U$
d\'efini par l'\'equation $f(x_1, \ldots ,\,x_n)=k$
o\`u $k$ est un r\'eel fix\'e.\\

Le probl\`eme de la repr\'esentation des lignes de niveaux d'une
fonction d\'ependant d'un nombre fini de param\`etres tient \`a l'impossibilit\'e
de donner des repr\'esentations g\'eom\'etriques dans des espaces
de grande dimension. Savoir qu'une ligne de niveaux est
localement le graphe d'une fonction est tr\`es utile. Cela permet
param\'etrer la ligne de niveaux.

\newtheorem{tfipv}[subsubsection]{Th\'eor\`eme des fonctions implicites}
\begin{tfipv}   Soit $f : U \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un
ouvert $U$ de ${\R}^n$ admettant des d\'eriv\'ees partielles
continues sur $U$, $k$ un r\'eel
  et $a =(a_1, \ldots ,\,a_n) \in U $ tel que $f(a)=k$.
 Si pour un indice $1 \leq i \leq n$, nous avons
$\displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)  \neq 0$, alors
''$f=k$ est localement le graphe d'une fonction de $x_1, \ldots,\,
x_{i-1},\,x_{i+1},\ldots ,\,x_n$''~:\\
Il existe $V$ intervalle ouvert de ${\R}^{n-1}$ contenant $(a_1,
\ldots,\, a_{i-1},\,a_{i+1},\ldots ,\,a_n)$, un intervalle
ouvert $J$ de ${\R}$ contenant $a_i$ et $g : V \rightarrow {\R}$
admettant des d\'eriv\'ees partielles continues sur $V$ telles que~:
$$  \left\{ \begin{array}{l} x \in U \times J \\ f(x ) = k  \end{array} \right.
\Longleftrightarrow
 \left\{ \begin{array}{l}  (x_1, \ldots, \,x_{i-1},\,x_{i+1},\ldots ,\,x_n) \in V \\ x_i =
g(x_1, \ldots, \,x_{i-1},\,x_{i+1},\ldots ,\,x_n)  \end{array} \right..$$
 \end{tfipv}

Sous les hypoth\`eses pr\'ec\'edentes, les limites des s\'ecantes
$(ba)$, o\`u $b \in U$ v\'erifiant $ f(b) = k$ , lorsque $b$ tend vers $a$
d\'ecrivent l'ensemble d'\'equation~:
$$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) (x_1 -a_1)+ \cdots +
\frac{\partial f}{\partial x_n}(a) (x_n -a_n) = 0$$
appel\'e espace tangent \`a $f=k$ en $a$.\\


Ce  th\'eor\`eme permet de donner une condition n\'ecessaire \`a
l'existence d'un extremum d'une fonction  num\'erique $f$ de
plusieurs variables sous la contrainte que les valeurs de $f$
v\'erifient une \'equation
$g(x_1, \ldots ,\,x_n) =k$.\\

\begin{proposition}\label{pcnpcdv}
Soit $f : U \rightarrow {\R} $, $g : U \rightarrow {\R}$ deux
fonctions d\'efinies sur un ouvert $U$ de ${\R}^n$  et admettant
des d\'eriv\'ees partielles continues. Soit $k$ un r\'eel,
d\'esignons par $H$ le sous-ensemble de ${\R}^n$~:
$$  H = \{  x \in U \quad {\rm tel \; que  }  \quad g(x_1, \ldots ,\,x_n )= k \} 
.$$ Soit $a= (a_1,\ldots,\, a_n ) $  un point de $H$ ( $g(a) =k)$) et
supposons que $a $ soit extremum local  de la restriction de $f$
\`a $H$. Alors,
\begin{itemize}
\item[$\bullet$ soit]
 $a $ est un point critique de $g$,
\item[$\bullet$ soit] il existe
 $\lambda  \in {\R}$ tel que $(a_1,\ldots , \,a_n ,\,\lambda )$ soit un point
critique de la fonction~:
$$ f : U \times {\R} \rightarrow  {\R} \quad , \quad
(x_1 , \ldots ,\,x_n ,\,\lambda) \mapsto f(x_1 , \ldots ,\,x_n  ) +
\lambda ( g(x_1 , \ldots ,\,x_n ) - k) .$$
 \end{itemize}
\end{proposition}

\subsection{Compl\'ements sur les extrema locaux d'une fonction num\'erique}

Consid\'erons $f : U \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur
un ouvert $U$ de ${\R}^2$. Nous avons vu que si $f$ admet des
d\'eriv\'ees partielles continues et que si en $(a_1,\,a_2) \in U $,
$f$ admet   un extremum local (sans contrainte), alors $(a_1,\,a_2)$
est un point critique de $f$~:
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,\,a_2) = \frac{\partial f}{\partial
x_2}(a_1,\,a_2) = 0.$$ Cette condition est une condition
n\'ecessaire, elle n'est pas suffisante.  Par contre, la
proposition suivante donne une condition suffisante non
n\'ecessaire.

\begin{proposition} Soit
$f : U \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ouvert $U$
de ${\R}^2$ admettant des d\'eriv\'ees partielles d'ordre $2$
continues  sur $U$. Soit $(a_1,\,a_2) \in U$ un point critique de
$f$ tel que~:
$$  d=\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a_1,\,a_2)\frac{\partial^2 f}{\partial
x_2^2}(a_1,\,a_2) - (\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial
x_2}(a_1,\,a_2))^2 > 0 ,$$ alors $f$
admet un extremum local en $(a_1,\,a_2)$.

Si de plus
$$t= \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a_1,\,a_2) + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a_1,\,a_2) 
>0,$$ cet extremum est un minimum local et si $t<0$, alors on a un maximum local. 
\end{proposition}

 \noindent {\bf Exemple~:}  Soit la fonction~:
$$f
:  {\R}^2 \rightarrow {\R} \; , \; (x_1,\,x_2) \mapsto f(x_1,\,x_2) =
 x_1^2 + x_1x_2 +  x_2^2 +2x_1 +x_2 +3 .$$
La fonction $f$ est polynomiale. Elle admet donc des d\'eriv\'ees
partielles de tout ordre continues. Les points critiques de $f$
sont les solutions $(x_1,\,x_2)$ du syst\`eme d'\'equation~:
 $$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_1}
(x_1,\,x_2) = 2x_1+ x_2 +2 = 0,\\
\displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_2} (x_1,\,x_2) =  x_1+
2x_2 + 1 = 0  .
  \end{array} \right.
$$
La seule solution de ce syst\`eme est $(-1,\,0)$. Ainsi, $f$ admet
$(-1,\,0)$ comme unique point critique.
 D'autre part, nous avons~:
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(-1,\,0 )= 2 \quad , \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(-1,\,0 )= 2 \quad , \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(-1,\,0 )= 1 .$$
Comme
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(-1,\,0)\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(-1,\,0)
- \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(-1,\,0)^2= 3 >0$$ 
et comme 
$$ t=\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(-1,\,0)+\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(-1,\,0)>0 ,$$
il r\'esulte donc de la  proposition que $f(-1,0 )= 2$ est un
minimum local de la
fonction $f$.\\


Pour une fonction num\'erique de $n$ variables,
nous avons~:\\

\begin{proposition} Soit
$f : U \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ouvert $U$
de ${\R}^n$ admettant des d\'eriv\'ees partielles d'ordre $2$
continues  sur $U$. Soit $a \in U$
  un point critique de $f$
tel que pour tout $ h=(h_1, \ldots ,\, h_n) \in {\R}^n $ non nul~:
$$ \sum_{1 \leq i \leq n , 1 \leq j \leq n}
 \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (a) h_i h_j > 0  \quad ({\rm resp}.
<0 )\quad .$$ alors $f$ poss\`ede un minimum local (resp. maximum
local) en $a$.
\end{proposition}



\section{Exercices de synth\`ese}

 \noindent {\bf Exercice 1~:}\\

Nous consid\'erons la fonction $f : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1,\,x_2) \mapsto \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}.$\\

\noindent 1) {\bf Quel est le domaine de d\'efinition ${\cal D}_f$ de la fonction $f$~? Montrer que $f$
est continue sur son domaine de d\'efinition. Puis montrer que sur l'ouvert $U$ de ${\R}^2$ o\`u 
$$U = \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \quad {\rm tel \; que} \quad x_1>0 \quad {\rm et} \quad x_2>0 \},$$
la fonction $f$ admet des d\'eriv\'ees partielles continues que l'on \\
d\'eterminera.} \\

Pour que $f$ soit d\'efinie en $(x_1,\, x_2)$, il faut et il suffit que $\sqrt{x_1}$
et $\sqrt{x_2}$ aient un sens. Donc, il faut et il suffit que $x_1$
et $x_2$ soient des r\'eels positifs. Le domaine de d\'efinition de $f$ est
donc~:
$${\cal D}_f =  {\R}^+ \times {\R}^+ = \{ (x_1,\,x_2) \in {\R}^2 \quad {\rm tel \; que} \quad x_1\geq 0 \quad 
{\rm et} \quad x_2 \geq 0 \}.$$


La fonction de ${\R}^+ \times {\R}^+$ vers ${\R}^{+} $ qui \`a $(x_1,\,x_2)$ associe $x_1$ est continue comme
la restriction d'une application polynomiale. La fonction d'une seule variable de 
$ {\R}^{+}  $  qui \`a $x$ associe $\sqrt{x}$ est continue.
La fonction compos\'ee de 
${\R}^+ \times {\R}^+$ vers $\R^{+}  $ qui \`a $(x_1,\,x_2)$ associe $\sqrt{x_1}$ est alors continue. 
La fonction
$f$ est donc continue sur son domaine de d\'efinition comme somme d'applications continues.\\


Consid\'erons $(x_1,\,x_2) \in U$, en particulier $x_1 >0$. Fixons $x_2$ et consid\'erons  la fonction~:
$$  {\R}^{+} - \{0\} \rightarrow  {\R} \; , \; x_1 \mapsto \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}.$$
Cette fonction d'une variable est d\'erivable et admet pour d\'eriv\'ee en $x_1$~:
$$ \frac{1}{2 \sqrt{x_1} }.$$
 Ainsi, $f$ admet une d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x_1$
sur $U$ et~:
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2) = \frac{1}{2 \sqrt{x_1}}.$$
Cette d\'eriv\'ee partielle est continue sur $U$. En effet,   la fonction de $U$ vers ${\R}$
qui \`a  $(x_1,\,x_2)$ associe $2 \sqrt{x_1}$ est continue sur $U$ et ne s'annule pas.\\
De m\^eme, $f$ admet une d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x_2$
sur $U$ qui vaut
$$ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2) = \frac{1}{2 \sqrt{x_2}}.$$

2) {\bf D\'eterminer les extrema locaux de $f$ atteint en un point de $U$. La fonction $f$ est-elle major\'ee
 ou minor\'ee sur $U$~?} \\

D'apr\`es la proposition III.\ref{pcnel},   si $f$ admet un extremum local en un point $(x_1,\,x_2)$ de $U$, le point 
$(x_1,\,x_2)$ est un point critique de $U$. C'est-\`a-dire~:
$$ \frac{1}{2 \sqrt{x_1}} = \frac{1}{2 \sqrt{x_2}} = 0.$$
Ce syst\`eme n'ayant pas de solution,  la fonction $f$ n'a donc
pas d'extremum local atteint en un point de $U$. \\

La fonction $f$ n'est pas major\'ee sur $U$. En effet,
pour tout r\'eel $A$, il existe un entier $n$ tel que 
$f(0,\,n^2)=n > A$.   Par contre, $f$ est minor\'ee par $0$ sur $U$ car $f$ est clairement \`a valeurs positives.\\

3) {\bf On consid\'ere sur $U$ la fonction $g: U \rightarrow {\R} \; , \;
(x_1,x_2) \mapsto x_1+2x_2 $. Soit $k$ un r\'eel strictement positif. 
Posons $H$ l'ensemble d\'efini par 
$$H=  \{ (x_1,x_2) \in U \; ; \; x_1+2x_2 =k \},$$
qui est l'intersection de la droite $D$ d'\'equation  $ x_1+2x_2 =k $ avec $U$.

Donner une condition n\'ecessaire pour que $ (a_1,\,a_2) \in H$ soit un
  extremum local de la restriction de $f$ \`a l'ensemble $H$.}\\

La fonction $g$ est polynomiale et admet donc  des d\'eriv\'ees partielles continues sur $U$.
Nous avons pour tout $(x_1,\,x_2) \in U$~:
$$ \frac{\partial g}{\partial x_1}(x_1,\,x_2) = 1 \quad {\rm et} \quad
\frac{\partial g}{\partial x_2}(x_1,\,x_2) =2.$$
D'apr\'es la proposition \ref{sgln}.\ref{pcnpcdv} la condition cherch\'ee est~:
$$ \left\{ \begin{array}{l}     \quad a_1 > 0  \quad , \quad a_2 >0 \quad , \quad
  a_1+2a_2 =k  \quad ( {\rm traduisant} \; (a_1,\,a_2) \in H),  \\ et \quad \displaystyle
 \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,\,a_2)  \frac{\partial g}{\partial x_2}(a_1,\,a_2) -
 \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,\,a_2)  \frac{\partial g}{\partial x_1}(a_1,\,a_2) = 0.
\end{array} \right.$$

 Ces \'equations se traduisent par~:
 $$ \quad a_1 > 0  \quad , \quad a_2 >0 \quad , \quad
  a_1+2a_2 =k \quad  {\rm et}  \quad    2 \, \times \, \frac{1}{2 \sqrt{a_1}} -   \frac{1}{2 \sqrt{a_2}} = 0.$$ 
Soit~: 
 $$ \quad a_1 > 0  \quad , \quad a_2 >0 \quad , \quad
  a_1+2a_2 =k \quad  {\rm et}  \quad  a_1=4a_2.$$
Il vient~:
$$ (a_1,\,a_2) = (  \frac{2k}{3} , \, \frac{k}{6}  ) .$$

4) {\bf  Soit $k$ un r\'eel strictement positif.
On consid\`ere l'ensemble ferm\'e et born\'e de $ {\R}^2 $~:
$$ K = \{ (x_1,\,x_2) \in  {\R}^+ \times {\R}^+  \; ; \;   x_1+2x_2 =k \}.$$
Remarquons que $K=H\cup \left\{ \left( 0,\, \frac{k}{2} \right) ;\, \left( k,\, 0 \right)
 \right\}$.
 
Pourquoi    $f_{\mid K} $ 	la restriction  de $f$ \`a $K$ admet-elle un maximum et
un minimum atteints sur $K$~? }\\

Comme $f$ est continue sur ${\R}^+ \times {\R}^+$, la restriction de $f$ \`a $K$ est
donc continue. L'ensemble $K$ \'etant ferm\'e born\'e, il r\'esulte du th\'eor\`eme II.\ref{tmfcfb}
que 	la restriction $f_{\mid K} $ de $f$ \`a $K$ admet un maximum et
un minimum atteints sur $K$.\\

5)  {\bf D\'eterminer le maximum et le minimum de $f_{\mid K} $. En quels points ces valeurs sont-elles atteintes~? 
Que dire du maximum et du minimum de $f$ sur $H$~?}\\

Soit $(a_1,\,a_2)$ un point o\`u $f_{\mid K} $ atteint un extremum. Deux cas sont possibles. \\


\begin{itemize}
\item[i)] Si ce point est dans $U$, 
  la restriction de $f$ \`a $H$ admet en ce point
un extremum.
Il r\'esulte
de la question $3$ que 
$$ (a_1,\,a_2) = (  \frac{2k}{3} ,\,  \frac{k}{6}  ).$$
On a alors~:
$$f(a_1,\,a_2) =  \sqrt{\frac{3}{2} }\sqrt{k}.$$
\item[ii)] Si le point $(a_1,\,a_2)$ n'est pas dans $U$. C'est qu'il se situe sur les bords 
de $H$. On a soit $a_1 = 0 $ et donc 
$a_2 = \displaystyle \frac{k}{2}$,
soit $a_2 = 0$ et $a_1=k$. 
\end{itemize}
Or nous savons que
$$ f(0,\, \frac{k}{2}) = \sqrt{ \frac{k}{2}} < f(k,\,0) = \sqrt{k} <
f(\frac{2k}{3} ,\,  \frac{k}{6}   )= 
  \sqrt{\frac{3}{2} } \sqrt{k}.$$
Il en r\'esulte que le minimum de $f_{\mid K} $ est $ \displaystyle \sqrt{ \frac{k}{2}}$
atteint en $ \displaystyle (0,\, \frac{k}{2})$ et le maximum de $f_{\mid K} $ est $ \displaystyle
 \sqrt{\frac{3}{2} }\sqrt{k}$ atteint au point $\displaystyle
(  \frac{2k}{3} ,  \frac{k}{6}  )$ de $U$. \\

Comme $H \subset K$ et $  \displaystyle (  \frac{2k}{3} ,\,  \frac{k}{6}  )  \in H$,
la fonction $f$ sur $H$ admet pour maximum 
  $ \displaystyle \sqrt{\frac{3}{2} }\sqrt{k}$  atteint en 
$\displaystyle (  \frac{2k}{3} ,  \frac{k}{6}  )$. Nous avons vu que 
la fonction $f$ sur $H$  admet un seul extremum local qui est un maximum.
Cette fonction $f$ n'admet donc  pas de minimum local.\\

\noindent{\sc  Autre solution~:} Remarquons que
$$K = \{ (k- 2x_2,\, x_2)  \in   {\R}^2 \quad ; \quad x_2 \in [0, \,\frac{k}{2} ] \}.$$
Ainsi les extrema de $f$ sur $K$ correspondent aux extrema de la fonction \` a une seule variable 
$g(x_2) = \sqrt{k -2x_2} + \sqrt{x_2}$ sur l'intervalle $ \displaystyle [0, \,\frac{k}{2} ]$.
De  m\^eme, les extrema de $f$ sur $H$ correspondent aux extrema de $g$ sur l'intervalle
ouvert $ \displaystyle ]0,\, \frac{k}{2} [$. \\
La fonction $g$ est continue sur $[0 , \displaystyle \frac{k}{2} ]$ et d\'erivable sur
$]0 , \,\displaystyle \frac{k}{2} [$. Pour tout $0<x_2 <  \displaystyle \frac{k}{2} $~:
$$ g'(x_2) =    \frac{ -2}{ 2 \sqrt{k -2x_2}} + \frac{ 1}{ 2 \sqrt{ x_2}} =
 \frac{ \sqrt{k -2x_2} -  2 \sqrt{ x_2} }{ 2\sqrt{k -2x_2}\sqrt{ x_2} }.$$
En multipliant le num\'erateur et le d\'enominateur par $\sqrt{k-2x_2}-2\sqrt{x_2}$, on obtient
$$  g'(x_2)  =
 \frac{k - 6x_2}{2\sqrt{k -2x_2}\sqrt{ x_2} (  \sqrt{k -2x_2} +  2 \sqrt{ x_2}    )},$$
qui est su signe de $k-6x_2$. 
Nous en d\'eduisons le tableau de variation de $g$ sur $[0, \displaystyle \frac{k}{2} ]$~:\\

\noindent {\rm Tableau de variation de $g$~:}\\

$$\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline 
x_2 & 0 & &\displaystyle  \frac{k}{6} & & \frac{k}{2} \\
\hline g'(x_2) &  & + & 0 & - &   \\
\hline g(x_2) & \sqrt{k} & \nearrow & \displaystyle \sqrt{\frac{3k}{2}}  & \searrow & \displaystyle \sqrt{\frac{k}{2}} \\
\hline 
\end{array} $$
\smallskip 

 Ce tableau redonne bien les m\^emes r\'esultats demand\'es.\\

6) {\bf Tracer les lignes de niveaux de la fonction $f$.} \\


Soit $l$ un r\'eel. Ces lignes de niveaux sont les courbes $E_l$ d'\'equation~:
$$ x_1 \geq 0 \quad ,  \quad x_2 \geq 0 \quad {\rm et}  \quad
 \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = l.$$
\noindent Pour $l<0$, l'ensemble $E_l$ est vide et pour $l=0$, $E_l$ est r\'eduit au singleton 
 $\{(0,\,0)\}$.\\

\noindent Pour $l>0$,  $(x_1,\,x_2) \in E_l$ \'equivaut \`a
$$  x_1 \geq 0 \quad ,  \quad x_2 \geq 0 \quad {\rm et}  \quad
 \sqrt{x_2} = l-  \sqrt{x_1}   $$
ou encore  \`a
$$ x_2 =  (l-  \sqrt{x_1} )^2 \quad {\rm et} \quad 0 \leq x_1 \leq l^2.$$
Ainsi, $E_l$ est le graphe de la fonction $h_l$~:
$$ h_l : [0,\,l^2] \rightarrow {\R} \quad , \quad x_1 \mapsto x_2 = (l-  \sqrt{x_1} )^2.$$
Pour $x_1 > 0$, la fonction $h_l$ est d\'erivable en $x_1$ et~:
$$ h'(x_1) = 2 (l-  \sqrt{x_1} ) \frac{-1}{2 \sqrt{x_1}} = \frac{ \sqrt{x_1} - l} {\sqrt{x_1}}$$
qui est n\'egative pour $ x_1 \in ]0,\,l^2[$. Nous en d\'eduisons que 
$h$ est d\'ecroissante de $h(0)=l^2$ \`a $h(l^2)=0$.\\

D'o\`u la courbe repr\'esentative de $E_l$ pour $l>0$~: \texttt{\`a venir ...}\\

On remarquera que si $(x_1,\,x_2) \in E_{l'}$ avec $l'\geq l$ et $x_1 \in ]0,\, l^2[$, alors 
on a $x_2 = (l' -   \sqrt{x_1})^2  \geq (l-  \sqrt{x_1})^2$.
Ainsi les lignes de niveau
$E_{l'}$ avec $l'\geq l$ sont au-dessus du graphe de $h_l$. Il en r\'esulte que  si 
en $(a_1,\,a_2) \in U$, la restriction de $f$ \`a $H$ admet un extremum, la droite 
$x_1 + 2x_2 = a_1 +2a_2$ ne traverse pas le graphe de $h_l$ pour 
$l = f(a_1,\,a_2)$. On retrouve que la droite  $x_1 + 2x_2 = a_1 +2a_2$
est alors une tangente au graphe de $h_l$ en  $(a_1,\,a_2)$.\\

\smallskip


\noindent {\bf Exercice 2~:}(version maximum li\'e) \\ 

Consid\'erons l'ouvert $U$ de $ {\R}^3 $~:
$$ U = \{ (x_1,\, x_2,\,t) \in {\R}^3, \quad x_1 > 0, \; x_2 > 0 \quad {\rm et} \quad  t < 1  \}. 
$$ Notons $f$ et $g$ les applications
$$\begin{array}{ll}
f : U \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1,\,x_2,\,t) \mapsto f(x_1,\,x_2,\,t) =
\ln x_1 + \ln x_2 + \ln (1-t), \\
g : U \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1,\,x_2,\,t) \mapsto g(x_1,\,x_2,\,t) =
  x_1 + x_2 - 2t.
\end{array}$$

\noindent {\bf  1) Justifier que la fonction $g$ est d\'efinie sur  $U$ et admet des d\'eriv\'ees
partielles continues sur $U$ que l'on d\'eterminera.}\\

L'application $g$ est la restriction \`a un ouvert d'une application polyn\^omiale. Elle
est donc continue et admet des d\'eriv\'ees partielles continues sur $U$. Nous obtenons pour tout 
$ (x_1,\,x_2,\,t) \in U$~:
$$ \frac{\partial g}{\partial x_1}(x_1,\,x_2,\,t)    = 1, \quad 
\frac{\partial g}{\partial x_2}(x_1,\,x_2,\,t)    = 1 \quad {\rm et} \quad
\frac{\partial g}{\partial t}(x_1,\,x_2,\,t)    = -2.$$

\noindent {\bf  2) Montrer que la fonction $f$ est d\'efinie sur  $U$ et  est continue sur $U$.}\\

Pour tout $ (x_1,\,x_2,\,t) \in U$, nous avons $x_1 > 0$, donc  $\ln x_1$ est d\'efini, 
nous avons $x_2 > 0$, donc  $ \ln x_2 $ est d\'efini et $1-t> 0$,   donc   $ \ln (1-t)$
est d\'efini. Ainsi, $f(x_1,\,x_2,\,t)$ est d\'efini.\\

La fonction de $ U $ vers ${\R}^{+} - \{ 0 \} $ qui \`a $(x_1,\,x_2,\,t)$ associe $x_1$ est continue comme
la restriction d'une application polyn\^omiale. La fonction d'une seule variable de 
$ {\R}^{+} - \{ 0 \} $  qui \`a $x$ associe $\ln x $ est continue.
La fonction compos\'ee de 
$U$ vers ${\R} $ qui \`a $(x_1,\,x_2,\,t) $ associe $ \ln x_1  $ est alors continue. 
On montre de m\^eme que les fonctions de $U$ vers ${\R} $ qui \`a 
 $(x_1,\,x_2,\,t) $  associe $\ln x_2 $  et $  \ln( 1 -t)  $   sont continues.
La fonction
$f$ est donc continue sur son domaine de d\'efinition comme somme d'applications continues.\\

\noindent {\bf   3) Montrer que la fonction $f$ admet sur $U$ des d\'eriv\'ees partielles continues
que l'on d\'eterminera.}\\


Soit  $(x_1,\,x_2,\,t) \in U $, fixons $x_2 > 0 $ et $t<1$ et consid\'erons la fonction~:
$$ {\R}^{+} - \{ 0 \}  \rightarrow {\R} \; , \;  x_1 \mapsto  \ln x_1 + \ln x_2 + 
\ln( 1 -t).$$

Cette fonction est d\'erivable, sa d\'eriv\'ee en $x_1$ est~:
$$ \frac{1}{x_1}.$$
Ainsi, $f$ admet une d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x_1$ sur $U$~:
$$   \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\,x_2,\,t) = \frac{1}{x_1}.$$
De m\^eme, $f$ admet une d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x_2$ sur $U$~:
$$   \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\,x_2,\,t) = \frac{1}{x_2}$$
et $f$ admet une d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $t$ sur $U$~:
$$   \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\,x_2,\,t) =  - \frac{1}{1-t} .$$
Ces d\'eriv\'ees partielles sont continues sur $U$, car de  la forme $1/l$
o\`u $l$ est une fonction continue sur $U$ qui ne s'annule pas.\\

\noindent {\bf   4)
On consid\`ere la fonction $h$ d\'efinie sur   $ U \times {\R} $~:
$$  h : U \times {\R} \rightarrow {\R} \; , \;
(x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda ) \mapsto h(x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda ) = f(x_1,\,x_2,\,t) + 
\lambda ( g(x_1,\,x_2,\,t)- 1  ) \; .$$
  Montrer que la fonction $h$ admet sur $U$ des d\'eriv\'ees partielles continues
que l'on d\'eterminera.}\\

Tout d'abord $h$ admet bien des d\'eriv\'ees partielles continues comme somme et produit de
telles fonctions. Nous obtenons pour tout $(x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda ) \in  U \times {\R} $~:

\begin{eqnarray*} \displaystyle 
&& \frac{\partial h}{\partial x_1}(x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,\,x_2,\,t) 
+ \lambda \frac{\partial g}{\partial x_1}(x_1,\,x_2,\,t) = \frac{1}{x_1} + \lambda, \\ \displaystyle
&&\frac{\partial h}{\partial x_2}(x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda) = \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,\,x_2,\,t) 
+ \lambda \frac{\partial g}{\partial x_2}(x_1,\,x_2,\,t) = \frac{1}{x_2} + \lambda, \\ \displaystyle
&& \frac{\partial h}{\partial t}(x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda) = \frac{\partial f}{\partial t}(x_1,\,x_2,\,t) 
+ \lambda \frac{\partial g}{\partial t}(x_1,\,x_2,\,t) = -\frac{1}{1-t} -2 \lambda, \\ \displaystyle
&& \frac{\partial h}{\partial \lambda}(x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda) = g(x_1,\,x_2,\,t)- 1 =   x_1 + x_2 - 2t -1.
\end{eqnarray*}

 \noindent { \bf   5) D\'eterminer les points $(x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda ) \in U \times {\R}$
 critiques de $h$ (c'est-\`a-dire
les points o\`u les quatre d\'eriv\'ees partielles de $h$ s'annulent). 
\noindent
\underline{Indication} : on exprimera
$x_1,\,x_2,\,t$ en fonction de $ \lambda $ et   on utilisera la relation 
 $\displaystyle  \frac{\partial h}{\partial \lambda }( x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda ) = 0 $
 pour trouver  $ \lambda $.}\\

Les \'equations sont~:
$$ 0 = \frac{1}{x_1} + \lambda = \frac{1}{x_2} + \lambda = -\frac{1}{1-t} -2 \lambda  = x_1 + x_2 - 2t -1.$$

Comme $x_1>0$, le r\'eel $\lambda$ ne peut \^etre nul. Il vient~:
\begin{eqnarray*}
&& \displaystyle x_1 = - \frac{1}{\lambda},\\
&&\displaystyle x_2 = - \frac{1}{\lambda},\\ 
&&  \displaystyle t = 1 +   \frac{1}{2 \lambda}.
\end{eqnarray*}

Rempla\c{c}ons ces valeurs dans l'expression $x_1 + x_2 - 2t -1 = 0$, il vient :

\begin{eqnarray*}  
&&\displaystyle - \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda} 
- 2 ( 1 +   \frac{1}{2 \lambda} ) - 1  = 0, \\  \displaystyle
&&- \frac{3}{\lambda} -3 =0, \\  \displaystyle 
&&\lambda = 1.
 \end{eqnarray*}
Ainsi, $h$ a un unique point critique~:
$$   ( x_1,\, x_2,\,t,\, \lambda ) = (1,\,1,\, \frac{1}{2},\,-1).$$

 \noindent { \bf   6) On suppose savoir que la restriction de la fonction $f$ 
 \` a  l'ensemble $G$ d'\'equation
$$ G = \{ (x_1,x_2,t) \in U \quad {\rm tel \; que} \quad g (x_1,x_2,t) =1 \}$$ 
admet un maximum. Trouver ce maximum. En quel point de $U$  est-il atteint~?}\\

D'apr\'es la proposition V.\ref{pcnpcdv}, comme $f$ et $g$ admettent des d\'eriv\'ees
partielles continues sur $U$, si en $ (x_1,\,x_2,\,t) \in U $, la restriction de $f$
\`a $G$ poss\`ede un maximum, c'est qu'il existe $\lambda$ tel que
$(x_1,\,x_2,\,t,\,\lambda )$ soit un point critique de $h$. Il vient donc~:
$$   ( x_1,\,x_2,\,t  )  = (1,\,1,\, \frac{1}{2}).$$ 
Le maximum est donc $\displaystyle  f(1,\, 1,\, \frac{1}{2}) = - \ln 2$. Il est atteint en 
$ \displaystyle (1,\,1,\,\frac{1}{2})$.\\

 \noindent { \bf   7)  Soit $D$ l'ouvert de ${\R}^2$~:
$$ D  = \{ (x_1,\,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; 
x_1 > 0 \; , \; x_2 > 0 \;, \; x_1 + x_2 <3 \}. $$
Dessiner $D$.  Montrer  l'\'egalit\'e~:
$$ G = \{ (x_1,\,x_2,\,t) \in {\R}^3 \;{\rm tel \; que} \; 
(x_1,\,x_2) \in D \; {\rm et} \; 
  t = \frac{x_1+x_2-1}{2}  \}.$$
En d\'eduire~:
  $$\displaystyle \sup_{(x_1,\,x_2,\,t)  \in G}\;  f(x_1,\,x_2,\,t) =  \sup_{(x_1,\,x_2 )  \in D} \;  
 \ln( x_1   x_2   (  3 - x_1- x_2 )) - \ln2 = - \ln2. $$}

Par d\'efinition si $(x_1,\,x_2,\,t) \in G$, nous avons $x_1 > 0 \; , \; x_2 > 0 \; , \; t<1$
et $x_1 + x_2 - 2t -1 = 0$. Il s'en suit
$ \displaystyle t =  \frac{x_1+x_2-1}{2} < 1$, d'o\`u $x_1 + x_2 = 2t+1 <3 $.  Ainsi~:
 $$(x_1,\,x_2,\,t) \in \{ (x_1,\,x_2,\,t) \in {\R}^3 \;{\rm tel \; que} \; 
(x_1,\,x_2) \in D \; {\rm et} \; 
  t = \frac{x_1+x_2-1}{2}  \}.$$ 
R\'eciproquement si $(x_1,\,x_2,\,t)$ appartient \`a cet ensemble~:
$$ t = \frac{x_1+x_2-1}{2} <  \frac{3-1}{2} =1 .$$ 
Il en r\'esulte $(x_1,\,x_2,\,t) \in  G$. Ainsi, on a bien~:
$$ G = \{ (x_1,\,x_2,\,t) \in {\R}^3 \;{\rm tel \; que} \; 
(x_1,\,x_2) \in D \; {\rm et} \; 
  t = \frac{x_1+x_2-1}{2}  \}.$$
Nous avons alors~:
\begin{eqnarray*} \displaystyle
\sup_{(x_1,\,x_2,\,t)  \in G}\;  f(x_1,\,x_2,\,t) &=& \sup_{  (x_1,\,x_2) \in D \; {\rm et} \; 
  t = \frac{x_1+x_2-1}{2}} \;  f(x_1,\,x_2,\,t) \\
& = &\displaystyle \sup_{  (x_1,\,x_2) \in D   } \;   f\left(x_1,\,x_2, \frac{x_1+x_2-1}{2}   \right)
 \\ & =& \displaystyle  \sup_{  (x_1,\,x_2) \in D   } \; 
  \left( \ln x_1 + \ln x_2 + \ln \left( \frac{3 - x_1- x_2}{2}\right) \right) \\
& =& \displaystyle  \sup_{  (x_1,\,x_2) \in D   } \;  \ln\left( x_1   x_2   
\left( \frac{3 - x_1- x_2}{2}
\right)\right)\\
& = &\displaystyle  \sup_{  (x_1,\,x_2) \in D   }  \; \ln( x_1   x_2   \left(  3 - x_1- x_2 \right) )  - 
\ln2.
\end{eqnarray*}

L'exercice suivant nous permettra de donner une autre d\'emonstration de la question $5$ sans avoir \`a
admettre l'existence d'un maximum.\\

\noindent {\bf Exercice 3~:}(version maximum libre) \\ 

\noindent{ \bf 1) Soit $h$ l'application polyn\^omiale~:
$$ h : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1,\,x_2) \mapsto x_1 x_2 ( 3 -x_1 - x_2).$$
Calculer les d\'eriv\'ees partielles $ \displaystyle \frac{\partial h}{ \partial x_1} $, 
$ \displaystyle \frac{\partial h}{ \partial x_2}$ .

\noindent
(On constatera que $x_2$
est en facteur dans $ \displaystyle \frac{\partial h}{ \partial x_1} $ et 
$x_1$ dans $ \displaystyle \frac{\partial h}{ \partial x_2}$).}\\

L'application $h$ \'etant polyn\^omiale, elle a des d\'eriv\'ees partielles de tout ordre.
Soit $ (x_1,\,x_2) \in {\R}^2 $~:
$$ \frac{\partial h}{ \partial x_1}(x_1,\,x_2) = x_2 ( 3 -x_1 - x_2) - x_1 x_2 = x_2 ( 3 -2 x_1 - x_2),$$
$$ \frac{\partial h}{ \partial x_2}(x_1,\,x_2) = x_1 ( 3 -x_1 - x_2) - x_1 x_2 = x_1 ( 3 -  x_1 - 2 x_2).$$ 
 

\noindent{\bf 2) Calculer ensuite les d\'eriv\'ees partielles d'ordre $2$ de $h$.}\\

Soit $ (x_1,\,x_2) \in {\R}^2 $~:
\begin{eqnarray*}
\displaystyle \frac{\partial ^2 h}{ \partial x_1^2}(x_1,x_2) &= &  - 2 x_2,  \\
\displaystyle \frac{\partial ^2 h}{ \partial x_2^2}(x_1,x_2) &= & -2 x_1, \\
\displaystyle \frac{\partial ^2 h}{ \partial x_1x_2}(x_1,x_2) &= &  3 -2 x_1 - x_2 - x_2 = 3 -2 x_1 - 2 x_2.
\end{eqnarray*}

\noindent{ \bf 3) Montrer que $(1,\,1)$ est un point critique de $h$, c'est-\`a-dire que 
$ \displaystyle \frac{\partial h}{ \partial x_1} $ et 
$ \displaystyle \frac{\partial h}{ \partial x_2}$ s'annulent en $(1,\,1)$. Puis, montrer que 
$(1,\,1)$ est un extremum local. Est-ce un maximum ou un minimum local, quelle est sa valeur~? }\\

Nous avons~:
$$ \frac{\partial h}{ \partial x_1}( 1,\,1) = 1 ( 3 -2   - 1) = 0,$$
$$ \frac{\partial h}{ \partial x_2}( 1,\,1) = 1 ( 3 -1   - 2) = 0.$$
Comme $h$ admet des d\'eriv\'ees partielles, d'apr\`es la proposition V.5.1.
une condidition suffisante pour que $(1,\,1)$ soit un extremum local est alors que le nombre
$$ \frac{\partial ^2 h}{ \partial x_1^2}(1,\,1)  \frac{\partial ^2 h}{ \partial x_2^2}(1,\,1)
- \displaystyle \left(\frac{\partial ^2 h}{ \partial x_1x_2}(1,\,1)\right)^2 $$
soit  strictement positif. Nous avons~:
$$  \frac{\partial ^2 h}{ \partial x_1^2}(1,\,1) =  \frac{\partial ^2 h}{ \partial x_2^2}(1,\,1) = -2 
\quad , \quad
\frac{\partial ^2 h}{ \partial x_1x_2}(1,\,1) = -1.$$
Comme $(-2)(-2) - (-1)^2=3 > 0$, $h$ admet donc un extremum local en $(1,\,1)$.
Toujours d'apr\`es la m\^eme proposition V.5.1., comme 
$$  \frac{\partial ^2 h}{ \partial x_1^2}(1,\,1) +  \frac{\partial ^2 h}{ \partial x_2^2}(1,\,1) = - 4,$$
  la fonction $h$ admet alors un maximum local en $(1,\,1)$. La valeur de
ce maximum local est $h(1,\,1) = 1$.\\

\noindent{   \bf 4)  La valeur $1$ est-elle un maximum de $h$ sur ${\R}^2$, la fonction $h$
est-elle major\'ee sur ${\R}^2$~? }\\

 Nous avons $h(5,\,-1)= -5 ( 3 -5 + 1) = 5 > h(1,\,1)= 1$, donc $1$ n'est pas le maxiumum de 
 $h$ sur ${\R}^2$.
Plus g\'en\'eralement pour tout entier $A$ positif, il existe un entier $n$ tel que
$$h(n +5 ,\,-n - 1 )    = -(n+5)(n+1) ( 3 - n -5 +n +1) = (n+5)(n+1) \geq n^2 \geq A.$$
Ainsi, $h$ n'est pas major\'ee sur ${\R}^2$.\\

\noindent{   \bf 5)  D\'eterminer   les points critiques de $h$ situ\'es dans l'ouvert $D$
de ${\R}^2$~:}
$$ D  = \{ (x_1,\,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; 
x_1 > 0 \; , \; x_2 > 0 \;, \; x_1 + x_2 < 3 \}.$$
Ce sont les solutions du syst\`eme~:
$$\left\{ \begin{array}{l} x_1 > 0 \; , \; x_2 > 0 \;, \; x_1 + x_2 < 3, \\
 x_2 ( 3 -2 x_1 - x_2 ) = 0, \\
 x_1 ( 3 -  x_1 - 2 x_2) = 0. 
\end{array}\right.$$
Comme sur $D$, $x_2$ et $x_1$ sont non nuls, il vient
$$ \left\{\begin{array}{l}  \\
  3 -2 x_1 - x_2 = 0 \\
  3 -  x_1 - 2 x_2 = 0 
\end{array}\right.$$
R\'esolvons ce syst\`eme. Nous obtenons $x_2= 3 - 2x_1$. Substituons dans l'\'equation
$ 3 -  x_1 - 2 x_2= 0$, il vient $ 3 - x_1 - 2 (  3 - 2x_1) = 0$. Soit,
$ -3  + 3x_1 =0$. Soit  $x_1=1$. En reportant dans l'\'equation $x_2= 3 - 2x_1$, nous
obtenons $x_2 = 1$.
Le point $(x_1,\,x_2) = (1,\,1)$ est dans $D$. C'est donc l'unique
point critique de $h$ sur $D$.\\

\noindent{   \bf 6) On consid\`ere $K$ le sous-ensemble de ${\R}^2$ d\'efini par~:
$$ K = \{ (x_1,\,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; 
x_1 \geq 0 \; , \; x_2 \geq  0 \; {\rm et} \;  \; x_1 + x_2 \leq 3 \} \; .\} $$
Repr\'esenter $K$ et montrer que $K$ est un ensemble ferm\'e et born\'e de ${\R}^2$.}\\

 L'ensemble $K$ est ferm\'e comme intersection de trois demi-plans ferm\'es de ${\R}^2$
(voir remarque II.2.4.). \\

{\bf dessin :} {\tt \`a suivre}\\


Soit $(x_1,\,x_2) \in K$, nous avons~:
$$ 0 \leq x_1 \leq x_1 + x_2 \leq 3$$ 
car $x_1 $ et $x_2$  sont positifs et     $x_1 + x_2 \leq 3$. Ainsi, $x_1 \leq 3$.
De m\^eme, nous obtenons $ 0 \leq x_2 \leq 3$.
Il en r\'esulte que si $(x_1,x_2) \in K$, nous avons~:
$$ 0 \leq x_1^2 + x_2^2 \leq 9 + 9 = 18 \quad {\rm donc }\quad  \sqrt{ x_1^2 + x_2^2}\leq
\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$
Ainsi, $K$ est contenu dans la boule ferm\'ee de centre $(0,\,0)$ et de rayon $3\sqrt{2}$. Il est donc born\'e.\\

\noindent{   \bf 7) On consid\`ere la restriction de la fonction $h$ \`a $K$. Pourquoi cette restriction admet-elle
un maximum et un minimum~?  D\'eterminer le maximum et le minimum de cette restriction.
D\'eterminer en  quels points ces extrema sont atteints.}\\


La fonction $h$ \'etant polynomiale, sa restriction \`a $K$ est continue. Comme $K$ est ferm\'e et born\'e
il r\'esulte du th\'eor\`eme II.\ref{tmfcfb} que cette  restriction admet un maximum et un minimum.\\

Si un  extremum est atteint sur le bord de $K$, on a $x_1=0$, $x_2=0$ ou bien $3- x_1-x_2$ sont nuls. Comme
$h(x_1,\,x_2) =  x_1 x_2( 3- x_1-x_2)$, cela implique que la fonction $h$ est nulle sur le bord de 
$K$. Donc, dans ce cas, cet extremum a pour valeur z\'ero.\\

Si $(a_1,\,a_2)$ est un extremum de la restriction de $h$ \`a $K$
atteint en un point de $K$ non situ\'e sur le bord de
$K$, ce point est sur l'ouvert $  D$.  Ainsi $(a_1,\,a_2)$ serait un point  o\`u \`a fortiori la restriction de $h$ \`a $D$ aurait un extremum.
L'ensemble $D$ \'etant ouvert, ce serait un point critique de $h$. D'apr\`es la question 5,
on aurait donc  $(a_1,\,a_2) = (1,\,1)$ qui est bien dans $D$. La valeur de l'extremum est 
 $h(1,\,1)= 1$.\\

On d\'eduit que
$0$ est le minimum de $f$ atteint sur tout le bord de $K$ et que $1$ est le maximum de $h$ atteint en  $(1,\,1) \in D$.
Il en r\'esulte~:
$$ 1 = h(1,\,1)=  \sup_{(x_1,\,x_2)\in K} h(x_1,\,x_2) =  \sup_{(x_1,\,x_2)\in D} h(x_1,\,x_2).$$
Le lien avec l'exercice pr\'ec\'edent est que nous en d\'eduisons 
$$ 0  = \sup_{(x_1,\,x_2)\in D}\ln  h(x_1,\,x_2)$$
et donc
$$ -  \ln2  = \displaystyle  \sup_{  (x_1,\,x_2) \in D   }  \; \ln( x_1   x_2   (  3 - x_1- x_2 ) )  - 
\ln2 .$$

\medskip

\noindent {\bf Exercice 4~:}  \\ 

{\bf On consid\`ere l'application $f$~:
$$ {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad , \quad (x_1,\,x_2) \mapsto f(x_1,\,x_2) = \frac{2x_1+x_2}{x_1+2x_2}.$$}

\noindent{   \bf 1) Quel est le domaine de d\'efinition de $f$~? Nous le noterons ${\cal D}_f$. 
Dessiner la droite $D$ d'\'equation $x_1+2x_2=0$.}

Le r\'eel $f(x_1,\,x_2)$ est d\'efini si et seulement si $x_1+2x_2\neq 0$.
Ainsi, ${\cal D}_f$ est le compl\'ementaire de la droite d'\'equation $x_1+2x_2=0$
$$ {\cal D}_f = \{ (x_1,\,x_2) \in {\R}^2  \quad {\rm tel \; que} \quad
x_1+2x_2 \neq 0 \}=\R^2\backslash D.$$

{\bf dessin :} {\tt to be continued ...}\\

\noindent{   \bf 2) Montrer que ${\R} - \{ 0 \}$ est un ouvert de ${\R}$.}\\

On sait que ${\R} - \{ 0 \}$  est ouvert car r\'eunion des intervalles
ouverts $]-\infty,0[$  et $]0,\infty[$ (voir remarque II.1.3.). On peut aussi
le montrer en revenant \`a la d\'efintion II.1.1. En effet, soit $x_0 \in  {\R} - \{ 0 \}$; 
il est  clair que pour $\epsilon = \displaystyle \frac{\mid x_0 \mid}{2}$, l'intervalle $]-\epsilon +
x_0,\, x_0+ \epsilon[$
est contenu dans ${\R} - \{ 0 \}$ (faire un dessin et envisager le cas $x_0>0$ et $x_0<0$).\\

\noindent{   \bf 3) Montrer que ${\cal D}_f$ est un ouvert de ${\R}^2$.}\\

On sait que $\mathcal{D}_f$ est le compl\'ementaire d'une droite est ouverte dans le plan. 
C'est donc la r\'eunion de demi-plans ouverts. On peut aussi le montrer en utilisant la question pr\'ec\'edente.
En effet comme la fonction $g$ d\'efinie par
$(x_1,\,x_2) \mapsto x_1+2x_2$ est polyn\^omiale. Elle est donc continue.
 Puisque $ {\R} - \{ 0 \} $ est un ouvert,
il r\'esulte de la proposition II.5.1. que 
$$ \{  (x_1,\,x_2) \in {\R}^2 \;  ; \; g(x_1,\,x_2) \in {\R} - \{ 0 \} \}$$
est un ouvert de $ {\R}^2$. d'o\`u le r\'esultat car cet ensemble est exactement ${\cal D}_f$.\\

\noindent{   \bf 3) Montrer que $f$ admet des d\'eriv\'ees partielles continues sur ${\cal D}_f$.
D\'eterminer ces d\'eriv\'ees partielles.}\\

 Comme toute fonction rationnelle $f$ admet des d\'eriv\'ees partielles continues sur son domaine
de d\'efinition. Nous obtenons en fixant $x_2$ et en d\'erivant par rapport \`a $x_1$~:
$$\displaystyle \frac{\partial f}{ \partial x_1}(x_1,\,x_2) =  
\frac{( x_1+2x_2) 2 - (2x_1+ x_2) (1)}{( x_1+2x_2)^2 } = \frac{3x_2}{( x_1+2x_2)^2 } $$
et en fixant $x_1$, puis d\'erivant par rapport  \`a $x_2$ :
$$   \displaystyle \frac{\partial f}{ \partial x_2}(x_1,\,x_2) =  
\frac{( x_1+2x_2) 1 - (2x_1+ x_2) (2)}{( x_1+2x_2)^2 } = \frac{-3x_1}{( x_1+2x_2)^2 }.$$

\noindent{   \bf 4) D\'eterminer les points critiques de $f$ sur
  sur ${\cal D}_f$.}\\

Ce sont les points solutions du syst\`eme~:
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1+2x_2\neq 0 \\
\displaystyle \frac{3x_2}{( x_1+2x_2)^2 } = \frac{-3x_1}{( x_1+2x_2)^2 } = 0.
\end{array}\right.$$ 
Les deux derni\`eres  \'equations donnent $x_1=x_2=0$. Comme le point $(0,\,0)$
n'est pas dans ${\cal D}_f$, la fonction $f$ n'admet donc pas de points critiques sur
${\cal D}_f$. En particulier, $f$, n'aura pas d'extrema locaux sur
${\cal D}_f$.\\

\noindent{   \bf 5) D\'eterminer la ligne de niveau (voir d\'efinition section V) de la fonction $f$ d\'efinie par~:
$$E_1=  \{  (x_1,\,x_2) \in {\cal D}_f \; ; \; \frac{2x_1+x_2}{x_1+2x_2} = 1 \}$$}\\

L'ensemble $E_1$ est d\'efini par les conditions
$$ x_1+2x_2 \neq 0 \quad {\rm et} \quad 2x_1+x_2 = x_1+2x_2,$$
ou encore
$$ x_1+2x_2 \neq 0 \quad {\rm et} \quad x_1- x_2= 0. $$
Il s'agit donc des points de la droite $D_1$ d'\'equation $x_1- x_2= 0$ qui ne sont pas sur la droite
$D$.  L'intersection des  droites $ D_1 $ et $D$ est r\'eduit \`a l'origine de
${\R}^2$. En effet si  $x_1- x_2= 0$ et $x_1+2x_2=0$, on obtient $x_1=x_2$ et $3x_2=0$. d'o\`u
$x_2=0$, puis $x_1=0$. Ainsi, nous obtenons~:
$$ E_1 = D_1 - \{ (0,0) \}. $$

{\bf dessin } {\tt [...]}\\

Plus g\'en\'eralement, on trouve que $E_{1/2}$, d\'efini par
$$E_{1/2}=  \{  (x_1,x_2) \in {\cal D}_f \; ; \; \frac{2x_1+x_2}{x_1+2x_2} = \frac{1}{2} \},$$
est l'axe des abscisses  priv\'e de l'origine de ${\R}^2$. Et que pour $k \neq (1/2)$, la
ligne de niveau $E_k$ d\'efinie par
$$ E_k  = \{  (x_1,\,x_2) \in {\cal D}_f \; ; \; \frac{2x_1+x_2}{x_1+2x_2} = k \}$$
est la droite passant par l'origine de pente $ \displaystyle \frac{2-k}{2k-1} $ 
priv\'ee de l'origine de ${\R}^2$.\\


\noindent{   \bf 6) Donner une approximation pour $h$ et $l$ deux r\'eels petits de 
$f(1+h,\,1+l)$.} \\

Puisque $f$ admet des d\'eriv\'ees partielles continues sur l'ouvert $ {\cal D}_f $
et que $(1,\,1) \in  {\cal D}_f $, nous avons affirm\'e \`a la proposition III.3.3.
qu'il existe une fonction de deux variables tendant vers z\'ero lorsque $(h_1,\,h_2)$
tendent vers z\'ero telle que
$$ f(1+h_1,\,1+h_2) = f(1,\,1) + \frac{\partial f}{ \partial x_1}(1,\,1)h_1 +
 \frac{\partial f}{ \partial x_2}(1,\,1) h_2 + \epsilon (h_1,\,h_2) \sqrt{h_1^2 + h_2^2}.$$
 Nous avons
$$ f(1,\,1) = 1 \quad , \quad \frac{\partial f}{ \partial x_1}(1,\,1) = \frac{1}{3} 
\quad , \quad  \frac{\partial f}{ \partial x_2}(1,\,1) = -\frac{1}{3}.$$
Il en r\'esulte qu'une approximation de $f(1+h,\,1+l)$ pour $h,\,l$ petits est~:
$$ 1 + \frac{h}{3} - \frac{l}{3}.$$

\noindent{   \bf 7)  Montrer que sur ${\cal D}_f $ la fonction $f$ est homog\'ene de degr\'e $0$.
Retrouver l'identit\'e d'Euler}\\

Tout d'abord $ {\cal D}_f $ est bien un c\^one positif (voir d\'efinition III.\ref{dfh} En effet si 
$ (x_1,\, x_2) \in {\cal D}_f$ et si $\lambda > 0$. Nous avons $ x_1 + 2 x_2 \neq 0$, donc en multipliant
par $\lambda$ qui est non nul, on obtient 
$$ \lambda x_1 + 2 \lambda x_2 \neq 0 $$
ainsi $ ( \lambda x_1,  \lambda x_2) \in {\cal D}_f$.
Pour montrer que $f$ est homog\`ene de degr\'e $0$, il suffit de montrer que
si $(x_1, \,x_2) \in {\cal D}_f$ et si $\lambda > 0$, nous avons~:
$$ f ( \lambda x_1, \, \lambda x_2)  = \lambda ^0 f  (x_1,\, x_2) = f (x_1, \,x_2).$$
Cela est vrai puisque
$$  f ( \lambda x_1, \, \lambda x_2) = \frac{2\lambda x_1+ \lambda x_2}{\lambda x_1+2\lambda x_2} =
\frac{\lambda ( 2x_1+x_2) }{\lambda ( x_1+2x_2) } = f (x_1,\, x_2).$$
De plus, nous avons bien pour tout $(x_1,\,x_2)  \in {\cal D}_f $ l'identit\'e d'Euler :
$$ x_1 \frac{\partial f}{ \partial x_1}(x_1,\,x_2) + x_2 \frac{\partial f}{ \partial x_2}(x_1,\,x_2)  =
0.$$

\bigskip

\begin{center}         $\bf\boxed{\bf FIN}$ \end{center}


%\end{document}






% \begin{thebibliography}{99}



%\bibitem[L-M]{L-M} F. Liret, D. Martinais, Math\'ematiques pour le DEUG, Analyse de
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\end{document}
