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%  Parameters

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%  Newtheorem
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{ex}{\bf \large EXERCICE}

% Newenvironment

\newenvironment{proo}{\begin{trivlist} \item{\sc {Proof.}}}
  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

%  Newcommand

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\pagestyle{plain}

\title{\bf $\boxed{\textbf{\Large CONTR\^OLE CONTINU}}$}
\author{{\it Dur\'ee} : 1 heure}
\begin{document}
\normalsize

{Licence \'Economie-Gestion} \hfill {Math\'ematiques L1}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {D\'ecembre  2004}\\
\large
\vskip50pt


\maketitle

\bigskip
\vskip50pt

\bf

VOTRE NUM\'ERO D'\'ETUDIANT :

\bigskip
\bigskip

\rm

NOM :

\bigskip

PR\'ENOM :

\bigskip

DATE DE NAISSANCE :

\bigskip

GROUPE :

\bigskip
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\vskip30pt

\begin{center}
{\bf CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS}
\end{center}

\bigskip
\vskip25pt

\normalsize
\rm

Pour chacune des questions de ce contr\^ole, vous devez jutifier votre r\'eponse. Vous devez r\'epondre sur la pr\'esente
feuille et \`a chaque fois dans l'espace pr\'evu. Cela suppose un travail pr\'ealable au brouillon. Ne reportez sur cette
feuille que les points essentiels de raisonnement. Aucune page suppl\'ementaire ne sera accept\'ee ni corrig\'ee. \'Evitez les ratures.






\newpage


\begin{ex} $\ $
\vskip1cm

On consid\`ere la fonction $\left\{ \begin{array}{cl}
f  : &  \RR-\{-3\} \to \RR-\{2\} \\ & \\
 & \displaystyle x \mapsto f(x)=\frac{2x+1}{x+3}.
 \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
\vskip1cm
\bf \item \rm Montrer que la fonction $f$ est bijective.\\
\vskip0.5cm
 \hrule
\vskip0.5cm
\smallskip

\noindent {\bf Correction : } Soit $y\in \RR-\{2\}$, on cherche
\`a r\'esoudre l'\'equation, en $x$,
$$ f(x)=\frac{2x+1}{x+3}=y. \qquad (\xi)$$
Pour $x\neq -3$, on a
\begin{eqnarray*}
\frac{2x+1}{x+3}=y & \Longleftrightarrow & 2x+1=y(x+3) \\
& \Longleftrightarrow & x(2-y)=3y-1 \\
& \Longleftrightarrow & \boxed{x= \frac{3y-1}{2-y}}\, .\\
\end{eqnarray*}
\vskip0.5cm \noindent On en conclut que pour tout $y\in
\RR-\{2\}$, l'\'equation $(\xi)$ admet une unique solution. (Si on
note $\mathcal{S}_y$ l'ensemble des solutions de $(\xi)$ pour $y$
fix\'e, on a $\mathcal{S}_y=\left\{ \displaystyle
\frac{3y-1}{2-y}\right\}$). \underline{La fonction $f$ est donc
bijective}. \vskip2cm

\bf \item \rm D\'eterminer la fonction r\'eciproque $f^{-1}$.
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm

\noindent {\bf Correction : } Le calcul pr\'ec\'edent donne la
fonction r\'eciproque $f^{-1}$. On a
$$\boxed{ \left\{ \begin{array}{cl}
f^{-1}  : &  \RR-\{2\} \to \RR-\{-3\} \\ & \\
 & \displaystyle y \mapsto f^{-1}(y)=\frac{3y-1}{2-y}.
 \end{array} \right.    }  $$

\end{enumerate}
\end{ex}

\newpage

\begin{ex}   $\ $
\vskip1cm

Soit $O$ le point de coordonn\'ees $(0,\, 0)$ de $\RR^2$. Posons
$A=\RR^2-\{O\}$.
\begin{enumerate}
\bf \item \rm L'ensemble $A$ est-il ouvert ?\\
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm \noindent
 {\bf Correction : } Soit $X\in A$.
On a que $X\neq O$. Posons $\epsilon = ||X||$ (norme de $X$). La
boule $B(X,\, \epsilon)$ de centre $X$ et de rayon est $\epsilon$
correspond \`a l'ensemble des points de $\RR^2$ qui sont \`a une
distance strictement inf\'erieure \`a $||X||$ de $X$. Donc $O$
n'appartient pas \`a cette boule. On a $B(X,\, \epsilon)
\subset A$, ce qui montre que \underline{$A$ est un ensemble
ouvert de $\RR^2$}. (D'autres r\'edactions sont possibles).
\vskip2cm

\bf \item \rm L'ensemble $A$ est-il born\'e ?\\
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm

\noindent {\bf Correction : } Un ensemble $C$ est born\'e s'il
existe un nombre $M>0$ tel que pour tout $X\in C$, $||X||\leq M$.
Ici, nous allons montrer que $A$ v\'erifie le contraire \`a savoir
:
$$\forall M>0, \quad  \exists X \in A ,\quad  ||X||>M. $$
Soit $M>0$, consid\'erons le point $X=(M+1,\, 0)$ de $A$. On a
alors $||X||=\sqrt{(M+1)^2+0^2}=M+1>M.$ On en conclut que
\underline{$A$ n'est pas un ensemble born\'e}. \vskip2cm

 \bf \item
\rm Le point de $I$ de coordonn\'ees $(1,\, 1)$ est-il
adh\'erent de $A$ ? Le point $O$ est-il adh\'erent de $A$ ?\\
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm

\noindent {\bf Correction : } Le point $I=(1,\, 1)$ appartient \`a
$A$, \underline{il
est donc adh\'erent \`a $A$}. \\
\noindent Pour tout $\epsilon >0$, on a
\begin{eqnarray*}
B(O, \, \epsilon) \cap A &=& B(O, \, \epsilon) \cap \left( \RR^2
-\{O\}\right) \\
&=& B(O, \, \epsilon)-\{ O \} \neq \emptyset.
\end{eqnarray*}
Donc \underline{le point $O$ est adh\'erent \`a $A$}.
\end{enumerate}
\end{ex}

\newpage

\begin{ex}  $\ $
\vskip1cm
 On consid\`ere la fonction $\left\{ \begin{array}{cl}
f  : &  \RR^2 \to \RR \\
 & \displaystyle (x,\, y) \mapsto f(x,\, y)=x+y.
 \end{array} \right.$

\begin{enumerate}
\bf \item \rm Donner le domaine de d\'efinition de $f$.\\
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm \noindent
 {\bf Correction : }
\underline{$\mathcal{D}_f=\RR^2$}. \vskip1cm

\bf \item \rm Expliquer en une phrase pourquoi la fonction $f$ est continue.\\
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm

\noindent
 {\bf Correction : } \underline{La
fonction $f$ est polyn\^omiale, donc elle est continue sur
$\RR^2$}.\vskip1cm


\noindent On pose $E=\{(x,\, y)\in \RR^2 \, ; \, x^2+4y^2=1\}$.\\

\bf \item \rm A quoi correspond l'ensemble $E$ ? Repr\'esenter le
graphiquement.\\
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm

\noindent {\bf Correction : } L'ensemble $E$ est une
\underline{ellipse} de centre $O$, d'axes celui des abscisses et
celui des ordonn\'ees et passant par les points $(0,\, 1)$ et
$(\displaystyle \frac{1}{2},\, 0)$. \vskip1cm




\bf \item \rm Montrer que $E$ est un ensemble ferm\'e et born\'e
de $\RR^2$. \\
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm

 \noindent
{\bf Correction : }\\

\noindent
 $\bullet$ Consid\'erons la fonction $g(x,\,
y)=x^2+4y^2$ qui polyn\^omiale donc \underline{continue}. Soit le
sous-ensemble \underline{ferm\'e} $F=\{1\}$ de $\RR$. On remarque
que l'ensemble $E$ est \'egal \`a l'ensemble $\{(x,\, y)\in
\RR^2,\  x^2+4y^4\in \{1\}\}$=$\{(x,\, y)\in \RR^2,\  g(x,\, y)\in
F\}$=$g^{-1}(F)$. On sait que l'image r\'eciproque d'un ferm\'e
par une application continue est un ferm\'e. \underline{On a donc
que $E$ est ferm\'e}.

\noindent $\bullet$ Soit $X=(x,\, y)$ un point de $E$. De
$x^2+4y^2=1$, on tire $x^2=1-4y^2\leq 1$ et $\displaystyle
y^2=\frac{1}{4}(1-x^2)\leq \frac{1}{4}$. D'o\`u,
$$||X||=\sqrt{x^2+y^2}\leq\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$$
Donc pour tout point $X$ de $E$, on a $\displaystyle
||X||\leq\frac{\sqrt{5}}{2}$ ce qui montre que \underline{$E$ est
born\'e}. \vskip1cm

\bf \item \rm Donner le th\'eor\`eme (du cours) qui permet
d'affirmer que la restriction $f_{|E}$ d'une fonction $f$ \`a un
sous-ensemble $E$ de son domaine de d\'efinition admet un maximum
et un minimum et qu'ils sont atteints. \\
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm \noindent
 {\bf Correction : } La
restriction $f_{|E}$ d'une fonction $f$ \underline{continue} sur
un ensemble $E$ \underline{ferm\'e et born\'e} admet un maximum et
un minimum qui sont atteints. \vskip1cm

\bf \item \rm On note $M$ ce maximum. Calculer $M$ et d\'eterminer
en quel point de $E$ la valeur $M$ est-elle atteinte ? \\
\vskip0.5cm \hrule \vskip0.5cm

\noindent {\bf Correction : } Pour chercher le maximum de $f$ sur
$E$, il suffit de consid\'erer les points $X=(x,\, y)$ de $E$ \`a
coordonn\'ees positives. On va se ramener \`a un probl\`eme \`a
une seule variable. Soit $X$ un point de $E$, on a 
$x^2+4y^2=1$, d'o\`u $x^2=1-4y^2$. Comme $x\ge 0$, on a 
$x=\sqrt{1-4y ^2}$. L'image de $X$ par la fonction $f$ vaut donc
$f(x,\, y)=\sqrt{1-4y ^2}+y$.

\noindent Posons \underline{$g(y)=y+\sqrt{1-4y ^2}$} cette
fonction de $\displaystyle [0,\, \frac{1}{2}]$ vers $\RR$ que nous
allons \'etudier. \noindent La d\'eriv\'ee de la fonction $g$ vaut
$\displaystyle g'(y)=1-\frac{4y}{\sqrt{1-4y^2}}$ .
%\vskip1cm
 On a

\begin{eqnarray*}
g'(y) \ge 0 &\Longleftrightarrow & 1 \ge \frac{4y}{\sqrt{1-4y^2}}
\\
&\Longleftrightarrow & \sqrt{1-4y^2}\ge 4y   \\
&\Longleftrightarrow & 1-4y^2 \ge 16y^2 \\
&\Longleftrightarrow & 20y^2 \leq 1 \\
&\Longleftrightarrow & y \leq \frac{\sqrt{5}}{10}.
\end{eqnarray*}

\noindent On en conclut le tableau de variation suivant


$$\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & 0 & &\displaystyle  \frac{\sqrt{5}}{10} & & \frac{1}{2} \\
\hline g'(y) &  & + & 0 & - &   \\
\hline g(y) & & \nearrow & \displaystyle {\frac{\sqrt{5}}{2}}  & \searrow &  \\
\hline
\end{array} $$

\noindent En conclusion, le maximum $M$ vaut
$\boxed{\frac{\sqrt{5}}{2}}$ et est atteint au point de
coordonn\'ees $\boxed{\left( \frac{2\sqrt{5}}{5},\,
\frac{\sqrt{5}}{10} \right)}$ .

\end{enumerate}



\end{ex}



\end{document}
