Licence de Sciences Économiques Année 2004-2005 Université de Nice Sophia-Antipolis Mathématiques L1

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 1

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Exercice 1.

Donner un sous-ensemble à 5 éléments de l’ensemble des entiers relatifs ℤ.

Exercice 2.

On considère l’ensemble A = \{−1, 0, 1, \frac{1}{2}, 2, 5\} et les ensembles B = \{0, 2, 5\} et C = {−1, 0, 1}.

Montrer que B et C sont des sous-ensembles de A. Calculer B ∪ C, B ∩ C, A − B et A − C. Montrer que A ⊂ ℚ, où ℚ est l’ensemble des nombres rationels. Calculer A ∩ ℕ.

Exercice 3.

Rappel : Tout nombre réel positif y peut s’écrire comme le carré d’un nombre réel y = x^{2}.

On considère la fonction f définie par \{ \begin{matrix}f : & ℝ → ℝ \\ & x ↦ x^{2}. \end{matrix}

Cette fonction est-elle injective, surjective ?

On considère la fonction g définie par \{ \begin{matrix}g : & ℝ → ℝ^{+} \\ & x ↦ x^{2}. \end{matrix}

Cette fonction est-elle injective, surjective ?

On considère la fonction h définie par \{ \begin{matrix}f : & ℝ^{+} → ℝ^{+} \\ & x ↦ x^{2}. \end{matrix}

Cette fonction est-elle injective, surjective ? Décrire la fonction inverse h^{−1}. A quelle fonction connue correspond h^{−1} ? Calculer h^{−1}(g).

Exercice 4.

On considère la fonction f : ℝ → ℝ définie par x ↦ f(x) = 5x + 17. Montrer que f est bijective. Déterminer f^{−1}. Vérfier par le calcul que f^{−1} ∘ f = id_{ℝ} et que

f ∘ f^{−1} = id_{ℝ}.

Exercice 5.

On considère la fonction f définie par \{ \begin{matrix}f : & ℝ → ℝ \\ & x ↦ \frac{x+2}{x+1}. \end{matrix}

Quel est le domaine de définition de f ? Montrer que 1 est la seule valeur de ℝ non atteinte par f.

Soit \{ \begin{matrix}g : & ℝ − \{−1\} → ℝ − \{1\} \\ & x ↦ \frac{x+2}{x+1}. \end{matrix}

Montrer que g est bien définie, bijective et calculer son inverse.

Exercice 6.

Soit f : ℝ → ℝ définie par x ↦ f(x) = (x + 1)(x + 2) et soit g : ℝ → ℝ définie par x ↦ g(x) = \sqrt{x}.

Quel est le domaine de définition de f et de g? Décrire g ∘ f, sans oublier le domaine de définition.

Exercice 7.

Déterminer les intersections suivantes : ]0, 1[ ∩ [\frac{1}{2}, 3] et ]0, 1[ ∩ [0, \frac{1}{2}[. Que vaut ]0, 1[ − [\frac{1}{2}, 1[ ?

Exercice 8.

Montrer que ] − ∞, −1[ et ]1, +∞[ sont des ouverts de ℝ. Déterminer ℝ − [−1, 1]. Montrer que [−1, 1] est un fermé de ℝ.

Exercice 9. Majoration et minoration de valeurs absolues.

Règle : on a |x| − |y| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y| (essayer de le démontrer).

Soient \frac{1}{2} ≤ x ≤ 1 et 1 ≤ y ≤ 2. Montrer que 3 ≤ |x^{2} − 4y| ≤ 9. Encadrer \frac{|x^{2}−4y|}{|x|}.