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%  Newtheorem
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\newtheorem{ex}{\bf Exercice}

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\newenvironment{proo}{\begin{trivlist} \item{\sc {Proof.}}}
  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

%  Newcommand

\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}


\pagestyle{plain}

\title{\bf Feuille de Travaux Dirig\'es 1}

\begin{document}


{Licence de Sciences \'Economiques} \hfill {Ann\'ee 2004-2005}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Math\'ematiques L1}\\

\vskip10pt

\maketitle 

// $//$ $\backslash\backslash $




\begin{ex} $\ $ 

Donner un sous-ensemble \`a 5 \'el\'ements de l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $ 

On consid\`ere l'ensemble $A=\{-1,\, 0,\, 1,\, \frac{1}{2},\, 2,\, 5\}$ et les 
ensembles $B=\{0,\, 2,\, 5\}$ et $C=\{-1,\, 0,\, 1\}$.

Montrer que $B$ et $C$ sont des sous-ensembles de $A$. Calculer $B\cup C$, $B\cap C$, 
$A-B$ et $A-C$. 

Montrer que $A\subset \mathbb{Q}$, o\`u $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres rationels. 
Calculer $A\cap \mathbb{N}$.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $  

\textsc{Rappel :} {\it Tout nombre r\'eel positif $y$ peut s'\'ecrire comme le carr\'e 
d'un nombre r\'eel $y=x^2$.}\\

On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie par 
$\left\{ \begin{array}{cl}
f  : &  \RR \to \RR \\
 & x \mapsto x^2 . 
 \end{array} \right.$

Cette fonction est-elle injective, surjective ?\\

On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie par 
$\left\{\begin{array}{cl}
g  : &  \RR \to \RR^+ \\
 & x \mapsto x^2 . 
 \end{array} \right.$

Cette fonction est-elle injective, surjective ? \\
 
On consid\`ere la fonction $h$ d\'efinie par 
$\left\{ \begin{array}{cl}
f  : &  \RR^+ \to \RR^+ \\
 & x \mapsto x^2 . 
 \end{array} \right.$

Cette fonction est-elle injective, surjective ? 
D\'ecrire la fonction inverse $h^{-1}$. A quelle fonction connue correspond 
$h^{-1}$ ? Calculer $h^{-1}(g)$.
\end{ex}

\begin{ex}$\ $ 

On consid\`ere la fonction $f :   \RR \to \RR$ d\'efinie par 
$x \mapsto f(x)=5x+17$.

Montrer que $f$ est bijective. D\'eterminer $f^{-1}$. V\'erfier par le calcul que 
$f^{-1}\circ f = id_\RR$ et que $f\circ f^{-1} = id_\RR$.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $ 

On consid\`ere la fonction  $f$ d\'efinie par 
$\left\{ \begin{array}{cl}
f  : &  \RR \to \RR \\
 & x \mapsto \frac{x+2}{x+1}. 
 \end{array}\right.$

Quel est le domaine de d\'efinition de $f$ ?

Montrer que $1$ est la seule valeur de $\RR$ non atteinte par $f$. 

Soit $\left\{\begin{array}{cc}
g  : &  \RR-\{-1\} \to \RR-\{1\} \\
 & x \mapsto \frac{x+2}{x+1}. 
 \end{array}\right.$

Montrer que $g$ est bien d\'efinie, bijective et calculer son inverse. 
\end{ex}

\begin{ex}$\ $  

Soit $f :   \RR \to \RR$ d\'efinie par $x \mapsto f(x)=(x+1)(x+2)$ et soit 
$g :   \RR \to \RR$ d\'efinie par $x \mapsto g(x)=\sqrt{x}$.

Quel est le domaine de d\'efinition de $f$ et de $g$ ? D\'ecrire $g\circ f$, sans oublier
le domaine de d\'efinition.
\end{ex}

\begin{ex}$\ $ 

D\'eterminer les intersections suivantes : $]0,\, 1[ \ \cap \ [\frac{1}{2},\, 3]$ et 
$]0,\, 1[ \ \cap \ [0,\, \frac{1}{2}[$.

Que vaut $]0,\, 1[ \ - \ [\frac{1}{2},\, 1[ \ $ ?
\end{ex}

\begin{ex}$\ $ 

Montrer que $]-\infty, \,-1[$ et  $]1, \, +\infty[$ sont des ouverts de $\RR$. 

D\'eterminer $\RR-[-1,\, 1]$. 
Montrer que $[-1,\, 1]$ est un ferm\'e de $\RR$. 
\end{ex}


\begin{ex} {\bf Majoration et minoration de valeurs absolues.}\\


{\sc R\`egle} : on a $|x|-|y|\leq |x-y|\leq |x|+|y|$ (essayer de le d\'emontrer).\\

Soient $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ et $1\leq y \leq 2$. 

Montrer que $3 \leq |x^2-4y| \leq  9$. 

Encadrer $\frac{|x^2-4y|}{|x|}$. 
\end{ex}

\end{document}























