Licence de Sciences Économiques Année 2004-2005 Université de Nice Sophia-Antipolis Mathématiques L1

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 2

Exercice 1. On considère l’ensemble A := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} > 0}. Dessiner A. Montrer que A est ouvert. Montrer que B := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} ≤ 0} est un fermé de ℝ^{2}. Est-il borné ? L’ensemble C := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} = 0} est-il fermé ? ouvert ? borné ? L’ensemble D := {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 9} est-il fermé ? ouvert ? borné ?

Exercice 2. On considère l’ensemble A = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} > 0 et x_{2} > 0}. Dessiner A. Montrer que A est ouvert. Quel est le complémentaire de A? On considère F = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} ; x_{1} ≥ 0 et x_{2} ≥ 0}. Montrer que F est un fermé de ℝ^{2}.

Exercice 3. Calculer dans ℝ^{2} :

• (1, 2)+(5, 0)

• (-3).(1, 2)

• (1, 2)-(5, 0) Quelle est la distance de (1, 2) à (5, 0) ? Soit A le point de coordonnées (1, 2) dans le plan et B le point de coordonnées (5, 0). À quoi correspondent les points de coordonnées (1, 2) + (5, 0), (−3).(1, 2) et (1, 2) − (5, 0) ?

Exercice 4. On pose f(x_{1}, x_{2}) := x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + 5 et g(x_{1}, x_{2}) := x_{1}x_{2} − 5. Que vaut la fonction f + g? Calculer f(0, 0), f(1, −1) ?

Exercice 5. On considère la fonction

h : (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 4}.

Quelle est le domaine de définition de h? À quoi correspond ce domaine géométriquement ? On considère la fonction

k : (x_{1}, x_{2}) ↦ \sqrt{h(x_{1}, x_{2})}.

Quelle est le domaine de définition de k? À quoi correspond ce domaine géométriquement ?

Exercice 6. On pose

\{ \begin{matrix}f & : & (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{2}}{x_{1} + x_{2}^{2}} , \\ g & : & (x_{1}, x_{2}) ↦ \frac{x_{2}}{x_{1}} . \end{matrix}

Calculer la somme des fractions rationnelles f + g et le quotient \frac{f}{g}.

Exercice 7. Posons f(x) := \frac{x^{2} + x − 2}{x − 1} + 1.

Quel est le domaine de définition D_{f} de f ? En quels points de ℝ la fonction f est-elle continue ? Montrer que 0 et 1 sont adhérents à D_{f}. Que vaut la limite de f en 0, en 1 ? Représenter graphiquement la fonction f.

Exercice 8. Considérons la fonction

\xymatrix{f : & ℝ^{2} \ar[r] & ℝ \\  & (x, y) \ar@{|->}[r] & \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} .}

Quel est le domaine de définition D_{f} de f ? En quels points de ℝ la fonction f est-elle continue ?

Montrer que (0, 0) et (1, 1) sont adhérents à D_{f}.

On pose

\{ \begin{matrix}g_{1} & : & ℝ → ℝ^{2} \\ & & t ↦ (t, t) \\ g_{2} & : & ℝ → ℝ^{2} \\ & & t ↦ (t, 2t) \\ g_{3} & : & ℝ → ℝ^{2} \\ & & t ↦ (t, t^{2}). \end{matrix}

Quel est le domaine de définition D_{f∘g_{1}} de f ∘ g_{1} ? En quels points de ℝ la fonction f ∘ g_{1} est-elle continue ? Montrer que 1 et 0 sont adhérents à D_{f∘g_{1}}. Montrer que f ∘g_{1} admet une limite en 1 et la calculer. Montrer que f ∘ g_{1} admet une limite en 0 et la calculer. Mêmes questions avec f ∘ g_{2} et f ∘ g_{2}.

Peut-on dire que f admette une limite en (0, 0) ?