\documentclass{amsart}[14pt]

%Package

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{a4wide}
%\usepackage{fancyhdr}


%  Parameters

\setlength{\parindent}{0pt}
%\addtolength{\headsep}{0.5cm}n
\addtolength{\footskip}{0.5cm}

%  Newtheorem
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{ex}{\bf Exercice}

% Newenvironment

\newenvironment{proo}{\begin{trivlist} \item{\sc {Proof.}}}
  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

%  Newcommand

\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}


\pagestyle{plain}

\title{\bf Feuille de Travaux Dirig\'es 2}

\begin{document}


{Licence de Sciences \'Economiques} \hfill {Ann\'ee 2004-2005}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Math\'ematiques L1}\\

\vskip10pt

\maketitle

\begin{ex} $\ $
On consid\`ere l'ensemble $A:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \,
x_1>0\}$.

Dessiner $A$. Montrer que $A$ est ouvert.

Montrer que $B:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \, x_1 \leq 0\}$ est un
ferm\'e de $\RR^2$. Est-il born\'e ?

L'ensemble $C:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \, x_1=0 \}$ est-il
ferm\'e ? ouvert ? born\'e ?

L'ensemble $D:=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \, x_1^2+x_2^2=9 \}$
est-il ferm\'e ? ouvert ? born\'e ?
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
On consid\`ere l'ensemble $A=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \, x_1>0
\ \textrm{et} \ x_2>0\}$.

Dessiner $A$. Montrer que $A$ est ouvert. Quel est le compl\'ementaire
de $A$ ?

On consid\`ere $F=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \, ; \, x_1\ge 0 \
\textrm{et} \ x_2\ge 0\}$. Montrer que $F$ est un ferm\'e de
$\RR^2$.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
Calculer dans $\RR^2$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] (1,\, 2)+(5,\, 0)

\item[$\bullet$] (-3).(1,\, 2)

\item[$\bullet$] (1,\, 2)-(5,\, 0)
\end{itemize}

Quelle est la distance de $(1,\, 2)$ \`a $(5,\, 0)$ ?

Soit $A$ le point de coordonn\'ees $(1,\, 2)$ dans le plan et $B$
le point de coordonn\'ees $(5,\, 0)$.

\`A quoi correspondent les points de coordonn\'ees $(1,\, 2)+(5,\,
0)$, $(-3).(1,\, 2)$ et $(1,\, 2)-(5,\, 0)$ ?
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
On pose $f(x_1,\, x_2):=x_1^2+x_1x_2+x_2^2+5$ et $g(x_1,\,
x_2):=x_1x_2-5$.

Que vaut la fonction $f+g$ ?

Calculer $f(0,\, 0)$, $f(1,\, -1)$ ?
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
On consid\`ere la fonction
$$h \, : \, (x_1,\, x_2) \mapsto
\frac{x_1^2+5x_2^2}{x_1^2+x_2^2-4}.$$ Quelle est le domaine de
d\'efinition de $h$ ? \`A quoi correspond ce domaine
g\'eom\'etriquement ?

On consid\`ere la fonction
$$k \, : \, (x_1,\, x_2) \mapsto \sqrt{h(x_1,\, x_2)}.$$
Quelle est le domaine de d\'efinition de $k$ ? \`A quoi correspond
ce domaine g\'eom\'etriquement ?
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
On pose
$$  \left\{
\begin{array}{lll}
f &:& (x_1,\, x_2) \mapsto {\displaystyle \frac{x_2}{x_1+x_2^2}}, \\
g &:& (x_1,\, x_2) \mapsto { \displaystyle \frac{x_2}{x_1}}.
\end{array} \right. $$
Calculer la somme des fractions rationnelles $f+g$ et le quotient
$\frac{f}{g}$.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
Posons $\displaystyle f(x):=\frac{x^2+x-2}{x-1}+1$.

Quel est le domaine de d\'efinition $\mathcal{D}_f$ de $f$ ? En
quels points de $\RR$ la fonction $f$ est-elle continue ? \\
Montrer que $0$ et $1$ sont adh\'erents \`a $\mathcal{D}_f$. Que vaut la
limite de $f$ en $0$, en $1$ ? Repr\'esenter graphiquement la
fonction $f$.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
Consid\'erons la fonction
$$ \xymatrix@R=0pt@C=20pt{f :& \RR^2 \ar[r] & \RR \\
& (x,\, y) \ar@{|->}[r] & {\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}.}$$ Quel est le
domaine de d\'efinition $\mathcal{D}_f$ de $f$ ? En
quels points de $\RR$ la fonction $f$ est-elle continue ? 

Montrer que $(0,\, 0)$ et $(1,\, 1)$ sont adh\'erents \`a
$\mathcal{D}_f$. \\

On pose
$$\left\{
\begin{array}{lll}
g_1 &:& \RR \to \RR^2 \\
& & t \mapsto (t,\, t) \\
g_2 &:& \RR \to \RR^2 \\
& & t \mapsto (t ,\, 2t) \\
g_3 &:& \RR \to \RR^2 \\
& & t \mapsto (t,\, t^2).
\end{array} \right. $$

Quel est le domaine de d\'efinition $\mathcal{D}_{f\circ g_1}$ de
$f\circ g_1$ ? En quels points de $\RR$ la fonction $f\circ g_1$
est-elle continue ?

Montrer que $1$ et $0$ sont adh\'erents \`a $\mathcal{D}_{f\circ
g_1}$. Montrer que $f\circ g_1$ admet une limite en $1$ et la
calculer. Montrer que $f\circ g_1$ admet une limite en $0$ et la
calculer.

M\^emes questions avec $f\circ g_2$ et $f\circ g_2$. \\

Peut-on dire que $f$ admette une limite en $(0,\, 0)$ ?

\end{ex}
\end{document}
