Licence de Sciences Économiques Année 2004-2005 Université de Nice Sophia-Antipolis Mathématiques L1

FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS 3

Exercice 1. On considère la fonction \{ \begin{matrix}f : ℝ^{2} → ℝ \\ (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}. \end{matrix}

Quel est son domaine de définition ? Pourquoi cette fonction est continue ? Posons A = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{+}^{2} ; x_{1} + x_{2} = 1}. Représenter graphiquement A. Montrer que A est un ensemble fermé et borné de ℝ^{2}. Montrer que la fonction f admet un maximum M et un minimum m sur A et qu’ils sont atteints. Que valent M et m? Où sont-ils atteints ?

Exercice 2. Une ménagère achète un adoucissant P_{1} et une lessive P_{2}. Le prix de l’adoucissant P_{1} est p_{1} et le prix de la lessive P_{2} est p_{2}. Elle achète des deux produits pour un panier global de 10 euros. Posons x_{1} la quantité d’adoucissant achetée et x_{2} la quantité de lessive achetée. Écrire l’équation qui représente la valeur du panier acheté.

On modélise l’utilité du panier par la fonction \{ \begin{matrix}f : ℝ^{2} → ℝ \\ (x_{1}, x_{2}) ↦ ln(x_{1} + 1) + 2 ln(x_{2} + 1). \end{matrix}

Existe-t-il une utilité optimale ? Si oui pour quelles quantités achetées ? On pose α(p_{1}, p_{2}) la quantité de lessive achetée dans ce cas. Que se passe-t-il si 2p_{1} ⩽ p_{2}+10 et si 2p_{1} ⩾ p_{2}+10 ? Commenter ces résultats.

Quel est le signe de \frac{∂α}{∂p_{1}} et de \frac{∂α}{∂p_{2}} ? Commenter.

Si l’adoucissant coute 2 euros et la lessive 5 euros, en quelles proportions faut-il acheter les deux produits pour un résultat maximal ? Commenter.

Exercice 3. Soit f la fonction polynomiale défnie par f(x) := x^{4} + x^{3} − 55x^{2} − 45x + 36. Calculer f(−2), f(0) et f(1). Montrer que f s’annule entre −2 et 0 et entre 0 et 1.

Exercice 4. Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue croissante. Montrer que f admet au moins un point fixe (c’est-à-dire une solution à l’équation f(x) = x).

Exercice 5. Soit f la fonction définie par \{ \begin{matrix}f : ℝ → ℝ \\ x ↦ \frac{2}{1 + e^{−4x^{3}}} . \end{matrix}

Quel est le domaine de définition de f ? Montrer que f est continue et strictement croissante (sans utiliser la dérivée). En déduire que la valeur \frac{e}{2} est atteinte une seule fois par f.

Préciser si \frac{e}{2} est l’image d’un nombre positif ou negatif.

Exercice 6. Calculer 81^{\frac{1}{4}} , 256^{\frac{3}{8}} et 125−\frac{1}{3} . Calculer ln(e^{\frac{1}{2}} ) + ln(\frac{1}{2}) + ln(4\sqrt{2}) − ln 2.

Exercice 7. Résoudre les équations suivantes

2e^{2x} − 9e^{x} + 7 = 0, (1)

5^{x} = 3^{x^{2}}, (2)

x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}^{x}. (3)