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\newtheorem{ex}{\bf Exercice}

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\newenvironment{proo}{\begin{trivlist} \item{\sc {Proof.}}}
  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

%  Newcommand

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\pagestyle{plain}

\title{\bf Feuille de Travaux Dirig\'es 3}

\begin{document}


{Licence de Sciences \'Economiques} \hfill {Ann\'ee 2004-2005}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Math\'ematiques L1}\\

\vskip10pt

\maketitle

\begin{ex} $\ $
On consid\`ere la fonction $\displaystyle \left\{ 
\begin{array}{l}
f \ : \ \RR^2 \to \RR \\
\quad \quad  (x_1,\, x_2) \mapsto x_1^2+x_2^2.
\end{array} \right.$ \\

Quel est son domaine de d\'efinition ? Pourquoi cette fonction est 
continue ?

Posons $A=\{ (x_1,\, x_2) \in {\RR^+}^2 \ ; \ x_1+x_2=1\}.$ Repr\'esenter graphiquement $A$.

Montrer que $A$ est un ensemble ferm\'e et born\'e de $\RR^2$. 

Montrer que la fonction $f$ admet un maximum $M$ et un minimum $m$ sur $A$ et qu'ils sont atteints. 
Que valent $M$ et $m$ ? O\`u sont-ils atteints ?
\end{ex}

%\begin{ex} \texttt{(Partiel ?)}$\ $
%M\^emes questions avec la fonction $\displaystyle \left\{ 
%\begin{array}{l}
%f \ : \ \RR^2 \to \RR \\
%\quad \quad  (x_1,\, x_2) \mapsto  |x_1|+|x_2|.
%\end{array} \right.$

%et l'ensemble $A=\{(x_1,\, x_2)\in \RR^2 \ ;\ x_1^2+3x_2^2=1 \}$.
%\end{ex}

\begin{ex} $\ $
Une m\'enag\`ere ach\`ete un adoucissant $P_1$ et une lessive $P_2$. Le prix de l'adoucissant 
$P_1$ est $p_1$ et le prix de la lessive $P_2$ est $p_2$. Elle ach\`ete des deux produits pour un
panier global de $10$ euros. Posons $x_1$ la quantit\'e d'adoucissant achet\'ee et $x_2$ la
quantit\'e de lessive achet\'ee. 

\'Ecrire l'\'equation qui repr\'esente la valeur du panier
achet\'e. \\

On mod\'elise l'utilit\'e du panier par la fonction $\displaystyle \left\{ 
\begin{array}{l}
f \ : \ \RR^2 \to \RR \\
\quad \quad  (x_1,\, x_2) \mapsto \ln(x_1+1)+2\ln(x_2+1).
\end{array} \right.$\\

Existe-t-il une utilit\'e optimale ? Si oui pour quelles quantit\'es achet\'ees ? 
On pose $\alpha(p_1,\, p_2)$ la quantit\'e de lessive achet\'ee dans ce cas. 
Que se passe-t-il si $\displaystyle 2p_1 \leqslant p_2+10$ et si 
$\displaystyle 2p_1 \geqslant p_2+10$ ? Commenter ces r\'esultats.\\

Quel est le signe de $\displaystyle \frac{\partial \alpha}{\partial p_1}$ et de 
$\displaystyle \frac{\partial \alpha}{\partial p_2}$ ? Commenter. \\

Si l'adoucissant coute $2$ euros et la lessive $5$ euros, en quelles proportions faut-il acheter 
les deux produits pour un r\'esultat maximal ? Commenter.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
Soit $f$ la fonction polynomiale d\'efnie par $\displaystyle f(x):=x^4+x^3-55x^2-45x+36$. 

Calculer $f(-2)$, $f(0)$ et $f(1)$. Montrer que $f$ s'annule entre $-2$ et $0$ et entre 
$0$ et $1$.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
Soit $f \, : \, [0,\, 1] \to [0,\, 1]$ une fonction continue croissante. 

Montrer que 
$f$ admet au moins un point fixe (c'est-\`a-dire une solution \`a l'\'equation $f(x)=x$).
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
Soit $f$ la fonction d\'efinie par  $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
f \ : \ \RR \to \RR \\
\quad \quad  x \mapsto {\displaystyle \frac{2}{1+e^{-4x^3}}}.
\end{array} \right.$\\

Quel est le domaine de d\'efinition de $f$ ? Montrer que $f$ est continue et strictement
croissante (sans utiliser la d\'eriv\'ee). 

En d\'eduire que la valeur $\displaystyle \frac{e}{2}$ est atteinte 
une seule fois par $f$. 

Pr\'eciser si $\displaystyle \frac{e}{2}$ est l'image d'un nombre positif ou negatif. 
\end{ex}


\begin{ex} $\ $
Calculer $81^{\textstyle \frac{1}{4}}$, $256^{\textstyle \frac{3}{8}}$ et 
$125^{ \textstyle -\frac{1}{3}}$. 


Calculer $\ln(e^{\frac{1}{2}})+\ln(\frac{1}{2})+\ln(4\sqrt{2})-\ln 2$.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $
R\'esoudre les \'equations suivantes
\begin{eqnarray}
&& 2e^{2x}-9e^x+7=0,\\
&& 5^x=3^{x^2}, \\
&& x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x}^x.
\end{eqnarray}
\end{ex}
\end{document}
