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  {\hfill $\square$ \end{trivlist}}

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\pagestyle{plain}

\title{\bf Feuille de Travaux Dirig\'es 4}

\begin{document}


{Licence de Sciences \'Economiques} \hfill {Ann\'ee 2004-2005}

{Universit\'e de Nice Sophia-Antipolis} \hfill {Math\'ematiques L1}\\

\vskip10pt

\maketitle



\begin{ex} $\ $

Pr\'eciser le domaine de d\'erivabilit\'e et calculer la d\'eriv\'ee des fonctions suivantes.
$$\displaystyle \begin{array}{lll}
\displaystyle
{\bf 1.} \  x \mapsto \frac{5}{x^5}-\frac{1}{x^7} & \displaystyle{\bf 2.}\ x \mapsto \frac{2x+3}{\sqrt{x^3}}
& \displaystyle{\bf 3.}\ x \mapsto \frac{x}{1+\sqrt{x}} \\
\\
\displaystyle{\bf 4.}\ x \mapsto \sqrt{x^2-3x+5} &\displaystyle {\bf 5.} \ x 
\mapsto \cos(\cos{x}) & \displaystyle{\bf 6.}\ x \mapsto \sin(\sqrt{3x+1})\\
\\
\displaystyle{\bf 7.}\ x \mapsto e^{2x^2+1} & \displaystyle{\bf 8.}\ x \mapsto \ln{\frac{1}{3x-1}} & 
\displaystyle {\bf 9.}\ x \mapsto  3^{\textstyle \frac{1}{x}}
\end{array} $$
\end{ex}


\begin{ex} $\ $

Pour les fonctions suivantes, pr\'eciser leur domaine de d\'efinition, leur domaine de
d\'erivabilit\'e et calculer leurs d\'eriv\'ees partielles. 

$$\displaystyle \begin{array}{lll}
\displaystyle
{\bf 1.} \  (x,\, y) \mapsto \ln(1+x)+2\ln(1+y) & \displaystyle{\bf 2.}\ (x,\, y) \mapsto 
10 \, x^{\textstyle\frac{1}{2}}+2y^{\textstyle\frac{1}{2}}
& \displaystyle{\bf 3.}\ (x,\, y) \mapsto (3x+2y)^{\textstyle\frac{1}{2}}\\
\\
\displaystyle{\bf 4.}\ (x,\, y) \mapsto \sqrt{xy} &\displaystyle {\bf 5.} \ (x,\, y)
\mapsto \sqrt{2x^2+3y^2} & \displaystyle{\bf 6.}\ (x_1,\, x_2,\, x_3) \mapsto 
x_1^{\textstyle\frac{1}{4}}x_2^{\textstyle\frac{1}{4}}x_3^{\textstyle\frac{1}{2}}
\end{array} $$\\

D\'eterminer quelles fonctions sont homog\`enes. 
Donner leur degr\'e et v\'erifier l'identit\'e d'Euler. \\


Pr\'eciser si les fonctions v\'erifient les hypoth\`eses du th\'eor\`eme de Schwarz et
retrouver le r\'esultat. 
\end{ex}


\begin{ex} $\ $

Quelle est la formule de la d\'eriv\'ee de $f\circ g \circ h$ ? \\

\underline{Application} : Calculer la d\'eriv\'ee de $\ln \left(
\sqrt{3+\displaystyle \frac{2}{x}}\right)$.


\end{ex}

\begin{ex} $\ $

Donner une \'equation de la tangente au graphe de $f$, au point P o\`u

\begin{enumerate}
\item $f(x)=5(1+x^2)^{-1}$ et $P=(-2,\, 1)$.
\item $f(x)=3x^2-2\sqrt{x}$ et $P=(4,\, 44)$.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex} $\ $

En quel(s) point(s) la courbe d'\'equation $y=x^3+2x^2-4x+5$ admet-elle un tangente 

\begin{enumerate}
\item horizontale ?
\item parall\`ele \`a la droite d'\'equation  $2y+8x=1$ ?
\end{enumerate}
\end{ex}




\begin{ex} $\ $

Donner sans calcul la tangente \`a $y=1+2x+x^4$ au point d'abscisse $0$ et la position de la courbe 
par rapport \`a la tangente en ce point. 
\end{ex}


\begin{ex} $\ $

Soit $f \, : \, \RR \to \RR$ une fonction d\'erivable. Que dire de la d\'eriv\'ee de $f$ si 
$f$ est paire, si $f$ est impaire et si $f$ est p\'eriodique ? 
\end{ex}

\begin{ex} $\ $

En quels points la fonction $x\mapsto |\sin x|$ est-elle d\'erivable ? En quels points
admet-elle des d\'eriv\'ees \`a gauche ou \`a droite ? 

\end{ex}

\begin{ex} $\ $

On consid\`ere la fonction $\displaystyle \left\{ 
\begin{array}{l}
f \ : \ \RR^2 \to \RR \\
\quad \quad  (x,\, y) \mapsto \displaystyle \frac{1}{1+x^2+y^2}.
\end{array} \right.$

Pourquoi $f$ est-elle continue et admet-elle des d\'eriv\'ees partielles sur $\RR^2$ ? \\

Montrer que $f$ admet un maximum global et pr\'eciser en quel point il est atteint.
\end{ex}

\begin{ex} $\ $

Pour $t>0$ et $l>0$, on consid\`ere la fonction $\displaystyle u(t,\, l)=\frac{7tl}{l+7t}$.\\

Calculer $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}$ et $\displaystyle \frac{\partial
u}{\partial t}$. Chercher les points critiques de $u$. \\

D\'eterminer les couples $(t,\, l)$ tels que $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial
t}(t,\, l)=\frac{\partial u}{\partial
l}(t,\, l)$.\\

Chercher si $u$ admet un maximum lorsque $t+l=24$.
\end{ex}


\end{document}
