 

\section{G\'en\'eralit\'es sur les ensembles et les applications}
\label{sgea}

\begin{definition}
Un ensemble est une collection d'objets appel\'es \'el\'ements de
l'ensemble.
\end{definition}

\noindent $a \in A$ signifie que $a$ est un \'el\'ement de $A$. \\
$\{ a,b,c \}$ d\'esigne l'ensemble form\'e des \'el\'ements $a$, $b$ et $c$.\\
$\emptyset$ d\'esigne l'ensemble sans \'el\'ement.

\begin{definition} Soit $A$ un ensemble. Un sous-ensemble de $A$ est un ensemble fom\'e
d'\'el\'ements de $A$.
\end{definition}

\noindent $B \subset A$ signifie que $B$ est un sous-ensemble de $A$.
On dit aussi que $B$ est contenu dans $A$.\\

\noindent {\bf Op\'erations :} Soit $B$ et $C$ deux sous-ensembles de $A$.\\

L'intersection de $B$ et $C$, not\'ee $ B \cap C $ est le sous-ensemble de $A$ form\'e
des \'elements de $A$ qui sont dans $B$ et dans $C$~:
$$ B \cap C = \{ a \in A \quad  ; \quad   a \in B \quad    {\rm et}  \quad   a \in C \}\; ,$$
lire : ''l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $A$ tels que $a$ appartient \`a $B$ et $a$ appartient \`a $C$''.\\


La r\'eunion de $B$ et  $C$, not\'ee $ B \cup C $ est le sous-ensemble de $A$ form\'e
des \'elements de $A$ qui sont dans $B$ ou dans $C$~:
$$ B \cup C = \{ a \in A \quad  ; \quad   a \in B \quad    {\rm ou}  \quad   a \in C \} \; ,$$
lire : ''l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $A$ tels que $a$ appartient \`a $B$ ou  $a$ appartient \`a $C$''.\\


Le compl\'ementaire de $B$ dans $A$, not\'e $ A - B $, est l'ensemble des \'el\'ements de $A$ qui ne sont pas dans $B$~:
$$ A - B  = \{ a \in A \quad  ; \quad   a \notin B  \}\; , $$
 lire : ''l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $A$ tels que $a$ n'appartient pas \`a $B$''.\\

\newtheorem{defappl}[subsubsection]{D\'efinition (application)}
\begin{defappl}
 Une application $f: A \rightarrow B$
est un proc\'ed\'e qui associe \`a tout \'el\'ement $a$ de $A$ un unique \'el\'ement $b$ de $B$  not\'e $f(a)$
et appel\'e image de $a$ par $f$.
\end{defappl}

\noindent  On appelle identit\'e de l'ensemble $A$ et on note $ {\rm Id}_A $ l'application de $A$ vers $A$ d\'efinie par
$ {\rm Id}_A (a) = a$~:
$$ {\rm Id}_A  : A \rightarrow A \quad : \quad a \mapsto ({\rm Id}_A )(a) = a \; .$$


\newtheorem{defca}[subsubsection]{D\'efinition (composition des applications)}
\begin{defca}
 Soit $f:A \rightarrow B$ et $g : B \rightarrow C$
deux applications. On appelle compos\'ee de $g$ par $f$ et on note $g \circ f $ l'application de $A$
vers $C$ d\'efinie par $ (g \circ f)(a) = g (f(a))$ pour tout $a$ dans $A$~:
$$ g\circ f : A \rightarrow C \quad : \quad a \mapsto (g \circ f)(a) = g (f(a))\; .$$
\end{defca}

\newtheorem{defisb}[subsubsection]{D\'efinition (application injective, surjective et bijective)}
\begin{defisb}   Soit $f : A \rightarrow B$ une application. Si pour tout \'el\'ement $b$ de $B$ l'\'equation~:
$$ f(a) = b $$
admet
\begin{itemize}
\item z\'ero ou une solution, on dit que $f$ est injective,
\item une ou plus de solutions, on dit que $f$ est surjective,
\item exactement une   solution, on dit que $f$ est bijective.
\end{itemize}
\end{defisb}

\begin{definition}
Soit $f :  A \rightarrow B $ une application bijective. On appelle inverse de $f$, l'application not\'ee $f^{-1} : B \rightarrow A$
d\'efinie pour tout \'el\'ement $b$ de $B$
 par~:
\begin{center} $f^{-1}(b)$ est l'unique \'el\'ement $a$ de $A$ solution de $f(a) =b$.
\end{center}
\end{definition}

Si $f : A \rightarrow B$ est une application bijective, on peut v\'erifier~:
$$ f \circ f^{-1} = {\rm Id}_B \quad {\rm et} \quad f^{-1} \circ f = {\rm Id}_A \; . $$

\newtheorem{deff}[subsubsection]{D\'efinition (fonction)}
\begin{deff}
 Une fonction $f: A \rightarrow B$
est un proc\'ed\'e qui associe \`a tout \'el\'ement $a$ de $A$ z\'ero ou un
 \'el\'ement $b$ de $B$  not\'e alors $f(a)$ et appel\'e image de $a$. Le domaine de d\'efinition de la fonction
$f$ est l'ensemble des \'el\'ements de $A$ qui ont une image par $f$.  On   note cet ensemble ${\cal D}_f$.
 \end{deff}

Soit $f:A \rightarrow B$ et $g : B \rightarrow C$  deux fonctions, $g\circ f$ d\'esignera la fonction
de $A$ vers $C$ d\'efinie sur l'ensemble des \'el\'ements $a$ de ${\cal D}_f$ tels que $f(a)$ appartienne \`a
${\cal D}_g$ par $(g \circ f) (a) = g (f(a))$. Ainsi, par d\'efinition~:
$$ {\cal D}_{g \circ f} = \{ a \in {\cal D}_f \quad ; \quad f(a) \in {\cal D}_g \}\; .$$

\section{Fonctions num\'eriques}

\subsection{Sous-ensembles de $\mathbb{R}$}

Soit $a$ et $b$ deux nombres r\'eels avec $a < b$. Il y a neuf
types d'intervalle de ${\R}$~:


 $$\begin{array}{lll}
]a,b[  & = &\{ x \in {\R} \quad ; \quad a < x < b \} \\
]a,b] & =& \{ x \in {\R} \quad ; \quad a < x \leq b \} \\
 {[}a,b[  & = & \{ x \in {\R} \quad ; \quad a \leq x < b \} \\
 {[}a,b] &=& \{ x \in {\R} \quad ; \quad a \leq x \leq b \} \\
  ] - \infty , b[& =& \{ x \in {\R} \quad ; \quad   x < b \} \\
 ] - \infty , b]& =& \{ x \in {\R} \quad ; \quad   x \leq b \} \\
 ]a,\infty[ &=& \{ x \in {\R} \quad ; \quad a < x  \} \\
 {[} a,\infty[  & = & \{ x \in {\R} \quad ; \quad a \leq x  \}  \\
   ]- \infty ,\infty [   & = & {\R}
\end{array}$$

\noindent Consid\'erons  la fonction valeur absolue~:
$${\R} \rightarrow {\R}^+ \quad : \quad x \mapsto \mid x \mid \quad  = \quad
 \left\{  \begin{array}{ll}  x  & {\rm si} \;   x \geq 0 \, , \\
   -x & {\rm sinon } \, .
 \end{array} \right. $$

 Pour tout $x$ et $y$ dans ${\R}$~:

$$\left\{  \begin{array}{l} \mid x+y \mid \leq  \mid x \mid +  \mid y \mid \,   , \\
  \mid x y \mid =  \mid x \mid \mid y \mid \, , \\
    \mid x \mid = 0 \quad {\rm si \; et \; seulement \; si} \quad x =0  \; .
 \end{array} \right. $$



 Rappelons que pour $\epsilon $ r\'eel positif et $a$ r\'eel~:

$$\left\{  \begin{array}{lll}   \mid x - a  \mid   \leq \epsilon  & {\rm \acute{e}quivaut \; \grave{a} }  & x \in ]a - \epsilon, a + \epsilon [\, , \\
   & {\rm \acute{e}quivaut \; \grave{a} }   & a - \epsilon < x < a + \epsilon   \, .
 \end{array} \right. $$

\newtheorem{defo}[subsubsection]{D\'efinition (ouvert, ferm\'e, born\'e)}
\begin{defo}
 Un sous-ensemble $U$ de ${\R}$ est dit ouvert si pour tout $u \in U$, il existe  $\epsilon$
tel que $]u - \epsilon, u + \epsilon [$ soit contenu dans $U$
(attention que $\epsilon$ d\'epend du $u$ pris dans $U$). \\
Un sous-ensemble  ${\R}$ est dit ferm\'e si son compl\'emenatire dans ${\R}$ est ouvert.\\
Un  sous-ensemble $H$ de  ${\R}$ est dit born\'e s'il existe un
r\'eel $M$ tel que pour tout $h \in H$, on ait $\mid h \mid \leq
M$.
\end{defo}

\begin{remar} Soit $a$ et $b$ deux nombres r\'eels avec $a < b$. Les
intervalles $]a,b[$,   $]-\infty, a[$, $]b, \infty[$  sont ouverts.
Les intervalles $[a,b]$, $]-\infty, a]$, $[b, \infty[$  sont ferm\'es.
\end{remar}

\begin{remar} L'intersection et la r\'eunion de deux ouverts de ${\R}$
sont des ouverts. De m\^eme, l'intersection et la r\'eunion de
deux ferm\'es de ${\R}$ sont  des ferm\'es et l'intersection et la
r\'eunion de deux sous-ensembles born\'es
 de ${\R}$ sont  born\'es.
\end{remar}



\subsection{Ouverts  de  ${\R}^2$ et ${\R}^n$}
Revenons aux intervalles de ${\R}$. Soit $ {\cal D} $ une droite.
Fixons  un rep\`ere de ${\cal D} $. L'ensemble des nombres r\'eels
${\R}$ s'identifie \`a  la droite ${\cal D} $   par l'application
qui \`a un r\'eel $x$
  associe le point $M$ de ${\cal D} $ d'abscisse $x$.\\

Soit $x$, $a$ deux r\'eels~; soit $M$    le point de $D$ d'abscisse $x$ et
$A$ celui d'abscisse $a$.
La longueur du segment $AM$ est  $ \mid x - a \mid $.
Soit de plus, $r $ un r\'eel positif. L'ensemble~:
$$B(a,r) :=  \{ x \in {\R} \; ; \; \mid x-a \mid < r \} = ] a -  r , a + r [ $$
s'identifie donc \`a l'ensemble  $M$ des points de  ${\cal D} $ qui sont \`a une distance de $A$
strictement inf\'erieur \`a $r$.
Comme $\sqrt{(x- a)^2} = \mid x - a \mid$, nous avons aussi~:
$$ B(a,r)= \{ x   \in  {\R}  \quad ; \quad  \sqrt{(x- a)^2} < r   \}  \; .$$





Consid\'erons l'ensemble ${\R}^2$ des couples de nombres r\'eels.
Soit ${\cal P}  $ un plan. Fixons un rep\`ere de ${\cal P}$.
L'ensemble ${\R}^2$ s'identifie alors au plan ${\cal P}$  par l'application qui au couple $(x_1,x_2)\in {\R}^2$ associe le point $M$ de ${\cal P}$  de coordonn\'ees $(x_1,x_2)$ dans le rep\`ere de ${\cal P}$.\\

Soit $x=(x_1,x_2) \in {\R}^2$, $a= (a_1,a_2) \in {\R}^2$. Soit $M$
le point de ${\cal P}$ de coordonn\'ees $x=(x_1,x_2)$ et $A$ celui
de coordonn\'ees $a= (a_1,a_2)$. La longueur du segment $AM$ est~:
$$ \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \; . $$
Soit de plus, $r $ un r\'eel positif. Notons~:
$$B(a,r )= \{ x=(x_1,x_2) \in  {\R}^2  \quad ; \quad  \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} < r   \} \; . $$
Cet ensemble s'identifie \`a l'ensemble  $M$ des points de  ${\cal P} $ qui sont \`a une distance de $A$
strictement inf\'erieur \`a $r$; c'est \`a dire au disque de centre $a$ et de rayon $r$
sans son bord.\\

Consid\'erons l'ensemble ${\R}^3$ des triplets de nombres r\'eels.
Soit $ {\cal E} $ un espace. Fixons un rep\`ere de $ {\cal E} $.
L'ensemble ${\R}^3$ s'identifie alors au plan ${\cal E}$  par l'application qui au couple $(x_1,x_2,x_3)\in {\R}^3$ associe le point $M$ de ${\cal E}$  de coordonn\'ees $(x_1,x_2,x_3)$ dans le rep\`ere de ${\cal E}$.\\

Soit $x=(x_1,x_2,x_3) \in {\R}^3$, $a= (a_1,a_2,a_3) \in {\R}^3$.
Soit $M$ le point de ${\cal E}$ de coordonn\'ees $x=(x_1,x_2,x_3)$
et $A$ celui de coordonn\'ees $a= (a_1,a_2,a_3)$. La longueur du
segment $AM$ est~:
$$ \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + (x_3 - a_3)^2} $$
Soit de plus, $r $ un r\'eel positif. Notons~:
$$B(a,r)= \{ x=(x_1,x_2,x_3) \in  {\R}^3    ;    \sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 +(x_3 - a_3)^2} < r \} \; . $$
Cet ensemble s'identifie \`a l'ensemble  $M$ des points de  ${\cal E} $ qui sont \`a une distance de $A$
strictement inf\'erieur \`a $r$; c'est \`a dire \`a la boule de centre $a$ et de rayon $r$
sans son bord.\\

Soit $n \geq 1$ un entier naturel . Les d\'efinitions ci-dessus se
g\'en\'eralisent  \`a l'ensemble ${\R}^n$ form\'e des $n$-uplets
de nombres r\'eels.

\newtheorem{defdist}[subsubsection]{D\'efinition (distance)}
\begin{defdist}
 Soit $x=(x_1, \ldots ,x_n)  $,  $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n $.
 On appelle distance de $x $ \`a $a $ le nombre r\'eel
positif~:
$$\sqrt{ \sum_{i=1}^n(x_i-a_i)^2 } = \sqrt{ (x_1-a_1)^2 + \cdots + (x_n-a_n)^2}   \; .$$
 et nous notons pour $r$ r\'eel positif~:
$$B(a,r)= \{ x=(x_1,\ldots, x_n) \in  {\R}^n    \quad ;   \quad
 \sqrt{ \sum_{i=1}^n(x_i-a_i)^2} < r  \} \; . $$
 \end{defdist}

\newtheorem{defon}[subsubsection]{D\'efinition (ouvert, ferm\'e, born\'e)}
\begin{defon}
 Un sous-ensemble $U$ de ${\R}^n $ est dit ouvert si pour tout $u \in U$, il existe  $\epsilon$
tel que $B(u,\epsilon)$ soit contenu dans $U$
(attention~: $\epsilon$ d\'epend du $u$ pris dans $U$). \\
Un sous-ensemble  ${\R}^n$ est dit ferm\'e si son compl\'emenatire dans ${\R}^n$ est ouvert.\\
Un  sous-ensemble $H$ de  ${\R}^n$ est dit born\'e s'il existe un
r\'eel $M$ tel que pour tout $ x=(x_1, \ldots ,x_n)  \in H$, on
ait $\sqrt{  x_1^2 + \cdots + x_n^2 } < M$.
\end{defon}


\begin{remar} Soit $x=(x_1, \ldots ,x_n) \in {\R}^n$ et $r$ un r\'eel positif. Alors
$B(x,r)$ est un ouvert de ${\R}^n$. On appelle cet ensemble la
boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$.
\end{remar}

Soit $a=(a_1, \ldots ,a_n)  \in {\R}^n$ et  $r$ r\'eel positif.
D\'esignons par~:
$$\tilde{B}(a,r) = \{  x=(x_1,\ldots, x_n) \in  {\R}^n    \; ;   \;
 {\rm max}\{ \mid x_1 - a_1 \mid , \ldots , \mid x_n - a_n \mid  \} < r   \} \; .$$
Pour $n=2$, si $A$ d\'esigne le point de coordonnn\'ees $a=(a_1,a_2)$, $\tilde{B}(a,r)$
s'identifie au carr\'e de centre $a$ dont la longueur des cot\'es est $2r$. \\

Nous avons~:
$$ B(a,r) \subset \tilde{B}(a,r) \subset  B(a,\sqrt{n} \, r) \subset \tilde{B}(a,\sqrt{n} \, r) \; .$$

 L'ensemble ${\R}^n$ des $n$-uplets de r\'eels est muni d'une addition, d'une soustraction et d'une multiplication par les r\'eels. Soit~:
 $$x=(x_1,\ldots, x_n) \quad ,   \quad x=(y_1,\ldots, y_n)  \in  {\R}^n  \quad {\rm  et } \quad
\lambda \in {\R}$$
\begin{itemize}
\item la somme de $x$ et $y$ est le n-uplet not\'e $x+y$ d\'efini par~:
$$ x+ y = (x_1+y_1, \ldots ,x_n+y_n) \; , $$
\item la diff\'erence  de $x$ par $y$ est le n-uplet not\'e $x-y$ d\'efini par~:
$$ x - y = (x_1-y_1, \ldots ,x_n-y_n) \; , $$
\item le produit  de $x$ par $\lambda$ est le n-uplet not\'e $\lambda x$ d\'efini par~:
$$ \lambda x  = ( \lambda x_1+y_1, \ldots , \lambda x_n  )\; .$$
\end{itemize}
On note $0 \in {\R}^n$ le n-uplet $(0,\ldots,0)$.  \\

On peut v\'erifier que pour tout $x$,$y$,$z \in {\R}^n$ et
$\lambda,\mu \in {\R}$, on a~:
$$ \begin{array}{l}(x+y)+z = (x+y)+z \; , \\ \lambda(\mu x)= (\lambda \mu) x \; , \\
\lambda (x+y) = \lambda x + \lambda y \; , \\
(\lambda + \mu ) x = \lambda x + \mu x \; , \\x -x =0 \; .

\end{array}$$

\begin{remar} L'intersection et la r\'eunion de deux ouverts de ${\R}^n$
sont des ouverts. De m\^eme, l'intersection et la r\'eunion de
deux ferm\'es de ${\R}^n$ sont  des ferm\'es et l'intersection et
la r\'eunion de deux sous-ensembles born\'es
 de ${\R}^n$ sont  born\'es.
\end{remar}





\subsection{Fonctions num\'eriques :  d\'efinitions et  exemples}
 On appelle fonction num\'erique \`a $n$ variables une fonction $f : U \rightarrow {\R}$
d'un sous-ensemble $U$ de ${\R}^n$ vers l'ensemble des nombres r\'eels.\\

{\noindent} {\bf Exemple} :  Consid\'erons la fonction~:
$$ g :{\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad x= (x_1,x_2) \mapsto \frac{ \sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \; .$$
Son domaine de d\'efinition est~:
$${\cal D}_g = \{ x= (x_1,x_2)  \quad  ; \quad x_1\geq 0 \; {\rm et} \; x_2 >0 \}\; .$$
 Consid\'erons la fonction~:
$$ h :{\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad x= (x_1,x_2) \mapsto \frac{ x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}\; .$$
Son domaine de d\'efinition est~:
$${\cal D}_g = \{ x= (x_1,x_2)  \quad  ; \quad x_1 \neq  0 \; {\rm ou} \; x_2\neq 0 \}$$
qui s'identifie  \`a la r\'eunion des axes de coordonn\'ees.\\

Consid\'erons deux fonctions $f  :  U \rightarrow {\R}$,
$g  :  U \rightarrow {\R}$, et un r\'eel $\lambda$.  \\

On appelle somme de $f$ et $g$  la fonction not\'ee $f+g  :  U
\rightarrow {\R}$ d\'efinie pour tout $x = (x_1, \ldots ,x_n) \in
U$ par~:
$$
(f+g)(x_1, \ldots ,x_n) := (f(x_1, \ldots ,x_n) + g(x_1, \ldots
,x_n) \; .$$ On appelle produit de $f$ par $g$  la fonction
not\'ee $fg  :  U \rightarrow {\R}$ d\'efinie pour tout $x = (x_1,
\ldots ,x_n) \in U$ par~:

$$
(fg)(x_1, \ldots ,x_n) := f(x_1, \ldots ,x_n)   g(x_1, \ldots ,x_n) \; .$$
Les fonctions $f+g$ et $fg$ sont d\'efinies en tout point o\`u $f$ et  $g$ le sont.
Les domaines de d\'efinitions de $f+g$ et $fg$ sont  donc ${\cal D}_f \cap {\cal D}_g$
l'intersection du domaine de  d\'efinition  de $f$ et du domaine de  d\'efinition  de $g$.\\

On appelle quotient  de $f$ par $g$  la fonction not\'ee $
\displaystyle \frac{f}{g}   :  U \rightarrow {\R}$ d\'efinie pour
tout $x = (x_1, \ldots ,x_n) \in U$ par~:

$$
\frac{f}{g} (x_1, \ldots ,x_n) = \frac{f(x_1, \ldots ,x_n)  }{ g(x_1, \ldots ,x_n)}\; .$$
La fonction   $ \displaystyle
\frac{f}{g} $ est    d\'efinie  en tout point o\`u $f$ et  $g$   sont d\'efinies et o\`u $g$ ne s'annule
pas.
$$ {\cal D}_{f/g} =  \{ x \in {\cal D}_g \cap {\cal D}_f \quad ; \quad g(x) \neq 0 \} $$
 On appelle produit de $f$ par $\lambda \in {\R}$  la fonction not\'ee $\lambda f  :  U \rightarrow {\R}$ d\'efinie pour tout $x =
(x_1, \ldots ,x_n) \in U$ par~:
$$
( \lambda f )(x_1, \ldots ,x_n) =  \lambda f(x_1, \ldots ,x_n)  \; . $$
Le domaine de d\'efinition de $\lambda f  $ co\"{\i}ncide avec celui de $f$.\\

\noindent {\bf Exemple}
Soient $f$,$g$ les fonctions num\'eriques~:
$$f:  {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto x_1+x_2-x_1^2 \; , $$
$$g: {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto 2x_1^2+x_2^2 \; .$$
La fonction $\displaystyle \frac{f+g}{g}$ est la fonction~:
$${\R}^2 \rightarrow {\R} \quad :\quad (x_1,x_2) \mapsto \frac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{ 2x_1^2+x_2^2}\; .$$
Montrer que cette fonction est d\'efinie sur ${\R}^2$.

\newtheorem{defnu}[subsubsection]{D\'efinition (norme usuelle)}
\begin{defnu} Nous appelons norme usuelle de $ {\R}^n $ l'application de  ${\R}^n$
vers l'ensemble $ {\R}^+ $ des r\'eels positifs d\'efinie par~:
$$ {\R}^n  \rightarrow {\R}^+  \quad : \quad x= (x_1, \ldots ,x_n)  \mapsto
\mid \mid x \mid \mid = \sqrt{x_1^2 + \cdots +x_n^2}  \; .$$
\end{defnu}

Avec cette d\'efinition si
 $a=(a_1, \ldots ,a_n)  \in {\R}^n$  et  si est un $r$ r\'eel positif.

$$B(a,r)= \{ x=(x_1, \ldots ,x_n) \in {\R}^n \; ; \; \mid \mid x -a \mid \mid <r\} \; .$$
En effet, par d\'efinition de la soustraction dans ${\R}^n$~:
$$  \mid \mid x -a \mid \mid = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2} $$
qui n'est d'ailleurs rien d'autre que la distance de $x$ \`a $a$.\\

Pour tout $x$, $ y\in  {\R}^n$ et tout $\lambda \in {\R}$, on peut
montrer~:

$$\left\{  \begin{array}{l} \mid \mid x+y \mid \mid \leq  \mid \mid x \mid \mid +  \mid \mid y \mid \mid \,   , \\
\mid \mid \lambda x  \mid \mid  =  \mid \lambda \mid\,  \mid \mid x \mid \mid \, ,
\\ \mid\mid x \mid \mid = 0 \quad {\rm si \; et \; seulement \; si} \quad x =0  \; .
\end{array} \right. $$


Consid\'erons la fonction num\'erique d'une seule variable~:
$$ f : {\R} \rightarrow {\R}  \quad :\quad x \mapsto f(x) = \frac{1 }{2}x^{17}+5x-4$$
Cette fonction est d\'efinie sur  ${\R }$. C'est une fonction
polyn\^omiale d'une variable de degr\'e $17$.

\newtheorem{deffp1}[subsubsection]{D\'efinition (fonction polyn\^omiale d'une variable)}
\begin{deffp1} Soit $m+1$ r\'eels \\
$a_0, a_1, \ldots ,a_m$ tels que
$a_0 \neq 0$. On appelle
 fonction polyn\^omiale d'une variable de degr\'e $m$   la fonction~:
$$ f : {\R} \rightarrow {\R}  \quad :\quad x \mapsto f(x) =  a_0x^m + a_1x^{m-1} + \cdots +a_0 \; .$$
\end{deffp1}

Consid\'erons la fonction num\'erique de deux variables~:
$$ f : {\R}^2 \rightarrow {\R}  \quad :\quad x= (x_1,x_ 2) \mapsto f(x) =
 \frac{2 }{3}x_1^{12}x_2^5+5x_1^3x_2^{7}-4 \; .$$
Cette fonction est d\'efinie sur  ${\R }^2$. C'est une fonction
polyn\^omiale de deux variables.

 \newtheorem{deffpn}[subsubsection]{D\'efinition (fonction polyn\^omiale de $n$ variables)}
\begin{deffpn} Soit $I$ un sous-ensemble fini de n-uplets d'entiers naturels. Donnons nous
pour chaque \'el\'ement  $(k_1, \ldots, k_n)$ de $I$ un r\'eel not\'e $a_{k_1, \ldots, k_n}$.
La fonction~:
$$f : {\R}^n \rightarrow {\R}  \quad :\quad x =( x_1, \ldots , x_n)  \mapsto f(x) =
\sum_{k_1, \ldots, k_n \in I} a_{k_1, \ldots, k_n} x_1^{k_1} \ldots  x_n^{k_n} $$
 est appel\'ee  fonction polyn\^omiale de $n$ variables.
\end{deffpn}

On remarque que la somme et le produit de deux fonctions polyn\^omiales de $n$ variables
est une fonction polyn\^omiale de $n$ variables, de m\^eme que le produit d'une fonction
polyn\^omiale  de $n$ variables par un r\'eel.\\

 \newtheorem{deffr}[subsubsection]{D\'efinition (fonction rationelle de $n$ variables)}
\begin{deffr} On appelle fonction rationelle de $n$ variables le quotient de deux fonctions
polyn\^omiales de $n$ variables
\end{deffr}

\noindent {\bf Exemple} La fonction~:
$$ h : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad x= (x_1,x_2) \mapsto h(x_1,x_2) =
\frac{x_1^5 x_2 +x_1x_2^3}{x_1^3x_2^6 + x_1 +2 } $$
est une fonction rationelle de deux variables. Elle  est d\'efinie sur~:
$$   \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \quad ; \quad x_1^3 x_2^6 + x_1 +2   \neq 0 \}\; . $$
Cet ensemble n 'est pas du tout \'evident \`a repr\'esenter  g\'eom\'etriquent. \\

On remarque que la somme,   le produit et le quotient  de deux fonctions rationelles de $n$ variables
est une fonction rationelle de $n$ variables, de m\^eme que le produit d'une fonction
rationelle  de $n$ variables par un r\'eel.

\subsection{Fonctions num\'eriques : limite et continuit\'e}


\newtheorem{defpa}[subsubsection]{D\'efinition (point adh\'erent)}
\begin{defpa} Soit $A$ un sous-ensemble de ${\R}^n$. Un point   $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
est dit adh\'erent \`a $A$ si pour tout r\'eel strictement positif, $B(a,r)$ rencontre $A$.
\end{defpa}

 \noindent {\bf Exemple avec $n=1$ :} Le r\'eel $u$ est adh\'erent \`a $A= ]u,v[ \subset {\R}$.
En effet, pour tout r\'eel strictement positif $r$, $B(u,r)=]u-r,\, u+r[$  rencontre $]u,\, v[$.\\

 \noindent {\bf Exemple avec $n=2$ :} Le point $(2,0)$ est adh\'erent au sous-ensemble~:
$$ A = \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \quad ; \quad x_2 > 0\} \; .$$
En effet, il est clair que la boule $B((2,0),r)$ qui est le disque de centre $(2,0)$ et de rayon $r$
rencontre $A$ pour tout $r$ r\'eel strictement positif. Par contre le point $(2,-1)$ n'est pas adh\'erent
\`a $A$.\\

\begin{remar}Un point de $A$ est toujours adh\'erent \`a $A$.
\end{remar}

\newtheorem{defl}[subsubsection]{D\'efinition (limite)}
\begin{defl} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
 adh\'erent \`a $A$ et $l \in {\R}$. On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers
$a$, ou encore que $f$ a pour limite $l$  quand $x$ tend vers $a$
si '' f est proche de $l$ quand $x$ est proche de $a$'',
c'est-\`a-dire~: si pour tout r\'eel   $\epsilon > 0$, il existe
un r\'eel $\eta >0$ tel que
$$ x = (x_1, \ldots ,x_n) \in B(a,\eta) \quad {\rm et} \quad x \in A
\quad {\rm implique} \quad \mid f(x) - l \mid < \epsilon \; .$$
Si cette limite existe, elle est unique. Nous la notons~:
$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l \; .$$
\end{defl}

\noindent {\bf Exemple} $f : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad
(x_1,x_2) \mapsto x_1$. Le point $a=(17,2)$ est adh\'erent \`a
${\R}^2$, car c'est un point de ${\R}^2$. Nous avons~:
$$ \lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (17,2)} f(x_1,x_2) = f(17,2) =  17 \; .$$
En effet, soit $ \epsilon >0$.  Rappelons que~:
$$ B( (17,2), \eta ) = \{  (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ; \; \sqrt{ (x_1 - 17)^2 + (x_2 -  2)^2 }< \eta  \}\; . $$
Nous devons montrer que~:
tout r\'eel   $\epsilon > 0$, il existe un r\'eel $\eta >0$ tel que
$$  \sqrt{ (x_1 - 17)^2 + (x_2 -  2)^2 }< \eta    \quad {\rm implique} \quad \mid x_1 -17 \mid < \epsilon \; .$$
Il suffit de prendre $ \eta = \epsilon $, puisque pour tout $(x_1,x_2)$~:
$$\mid x_1 - 17 \mid \leq \sqrt{(x_1- 17)^2 + (x_2 -  2)^2} \quad .$$

Plus g\'en\'eralement, on montre de m\^eme que pour tout
$a=(a_1,a_2) \in {\R}^2$, on a~:
$$ \lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (a_1,a_2) } f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2)= a_1 \quad .$$

\noindent{\bf Op\'erations sur les limites :} Soient $f, g  :A
\rightarrow {\R}$ deux fonctions d\'efinies sur un ensemble $A$ de
${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
 adh\'erent \`a $A$. On suppose que $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) = l'$, $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = l''$.
Nous avons~:
 \begin{itemize}
 \item[i)]  $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} (f+g)(x) $  existe et vaut $l'+l''$,
 \item[ii)]  $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} (\lambda f)(x) $  existe et vaut $\lambda l'$,
\item[iii)]  $\displaystyle   \lim_{x \rightarrow a} (\lambda
f)(x) $  existe et vaut $\lambda l'$ o\`u $\lambda \in {\R}$.
 \end{itemize}
Si de plus, $g$ est non nulle sur $A$ et   $l'' \neq 0$, alors $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} (f/g)(x) $  existe et vaut $l'/l''$.\\

Donnons une propri\'et\'e utile pour calculer des limites.

\begin{proposition} Soient $f,g,h :A \rightarrow {\R}$ trois fonctions d\'efinies sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$
adh\'erent \`a $A$. Supposons qu'il existe un r\'eel $r>0$ tel que
si $x$ appartient \`a $B(a,r)$, on ait~:
$$ f(x) \geq g(x) \geq h(x) \; .$$
Supposons alors que $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =\lim_{x \rightarrow a} h(x)  = l$, alors
 $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} g(x)$ existe et vaut $l$.

\end{proposition}




\begin{remar} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Si $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in {\R}^n$ et
$\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$, alors $l=f(a)$.
\end{remar}

\newtheorem{defc}[subsubsection]{D\'efinition (continuit\'e)}
\begin{defc} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in A$
  On dit que $f$ est continue en $a$ si $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x)$ existe.
Comme $a \in A$, on a alors~:   $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) $.
On dit que $f$ est continue si $f$ est continue en tout point de $A$.
\end{defc}

\noindent{ \bf Op\'erations sur les fonctions continues :} Soient
$f, g  :A \rightarrow {\R}$ deux fonctions d\'efinies sur un
ensemble $A$ de ${\R}^n$.   Supposons que $f$ et $g$ sont
continues en un point $a= (a_1, \ldots ,a_n) \in A$. Alors les
fonctions $f+g$, $fg$ et $\lambda f$ (o\`u $\lambda \in {\R}$)
sont continues en $a$. Si de plus $g$ est non nul sur $A$, la
fonction $f/g$ est continue en $a$. Il en est de m\^eme si on
remplace continue en $a$ par continue.

\begin{proposition} \label{pcfpfr} Une fonction polynomiale de ${\R}^n$ vers ${\R}$ est continue. Une fonction
rationelle est continue sur son domaine de d\'efinition.
\end{proposition}

 \noindent Id\'ee de la preuve : On montre comme dans l'exemple pr\'ec\'edent
que les fonctions coordonn\'ees ${\R}^n \rightarrow {\R} \; : \;
(x_1 , \ldots ,x_n) \mapsto x_j$ sont continues. On en d\'eduit
que les fonctions polynomiales sont continues, car elles
s'obtiennent comme
produit et sommes finies de fonctions coordonn\'ees. \\

 \noindent {\bf Exemple :} La fonction~:
 $$ \displaystyle f : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) = x_1^2 + x_1x_2 + \frac{1}{2}x_2^2$$
 est continue car polynomiale. En particulier,
$$\lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (3,2)} f(x_1,x_2) = f(3,2) =  17 \; .$$
Consid\'erons la fonction rationelle~:
$$ g : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto g(x_1,x_2) =  \frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \; .$$
Son domaine de d\'efinition est~:
$$D= \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 ; x_1\geq 0\quad {\rm  et} \quad  x_2 > 0 \} \; .$$
 Consid\'erons
la fonction
$$h :  D \rightarrow {\R} \; : \; (x_1,x_2) \mapsto h(x_1,x_2) =  \frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \; .$$
La propostion \ref{pcfpfr} signifie que $h$ est continue.  En particulier,
$$\lim_{(x_1,x_2) \rightarrow (3,2)} h(x_1,x_2) =  \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \; .$$

\begin{proposition} Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un ensemble
$A$ de ${\R}^n$. Soit $B \subset A$, on appelle restriction de $f$
\`a $B$ l'application not\'ee $f_{\mid B}$~:
$$f_{\mid B} :  B \rightarrow {\R} \quad : \quad x \mapsto f(x) \; .$$
Alors si $f$ est continue, la restriction de  $f$ \`a $B$ est continue.
\end{proposition}

 \noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction $f$~:
 $$f   : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) = x_2 \; .$$
 Cette fonction  est continue car polynomiale.
La restriction de cette fonction \`a $ {\cal C} = \{(x_1,x_2)  \in
{\R}^2 \; ; \; x_1 ^2 + x_2^2 = 1 \}$~:
 $$ {\cal C}  \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f_{\mid {\cal C} }(x_1,x_2) = x_2$$
est donc continue.\\



\noindent{\bf Composition de limites et de fonctions continues~:} \\
Soit $f : A \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un
ensemble $A$ de ${\R}^n$. Soit $g : B \rightarrow {\R}$ une
fonction d\'efinie sur un ensemble $B$ de ${\R}$. Pour composer
$g$ par $f$,  il faut et il suffit   que pour $x \in A$, $f(x) \in
B$. On peut alors d\'efinir~:
$$g \circ f :  A  \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto g(f(x)) \; .$$
\begin{itemize}
\item[i)] Supposons que $a \in {\R}^n$ est adh\'erent \`a $A$ et
que $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow a} f(x) =b  $. Alors, $b$
est adh\'erent \`a $B$. Supposons aussi que  $\displaystyle
\lim_{y \rightarrow b} g(y) = l$. Alors~:
 $$\displaystyle   \lim_{x \rightarrow a} (g \circ f )(x) \quad {\rm  existe \;  et \; vaut}\quad  l \; . $$
\item[ii)] Si $f$ est continue en $a \in A$ et si $g$ est continue en $f(a)$, alors $g\circ f$
est continue en $a$.
\item[iii)] Si $f$ et $g$ sont continues, $g \circ f$ est continue.
\end{itemize}


 \noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction $f$~:
 $$f   : {\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) =  \sqrt{2x_1^2+3x_2^2} \; .$$
Cette fonction s'obtient par compos\'ee de la fonction polynomiale~:
$${\R}^2 \rightarrow {\R}
\quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto  ) = 2x_1^2+3x_2^2$$
et de la fonction racine~:
 $${\R}^+ \rightarrow {\R}
\quad : \quad x \mapsto    = \sqrt{x} \; .$$
 La premi\`ere fonction est continue car polynomiale. En revenant 
 \`a la d\'efinition des limites, on peut montrer
que la fonction racine est continue (nous l'admettrons).


G\'en\'eralisons quelque peu ce principe de composition.
Consid\'erons  $p$ fonctions $f_1, \ldots ,f_p  : A \rightarrow
{\R}$  d\'efinies sur un ensemble $A$ de ${\R}^n$. Ces fonctions
permettent de d\'efinir une application~:
$$   f : A \rightarrow {\R}^p \; : \; x\mapsto (f_1(x), \ldots f_p(x)) \; .$$
Soit $g : B \rightarrow {\R}$ une fonction d\'efinie sur un
ensemble $B \subset {\R}^p$. Pour composer $g$ par $f$, il suffit
que   pour $x \in A$~: $f(x) \in B$. La fonction $g \circ f$ est
alors d\'efinie~:
$$g \circ f :  A  \rightarrow {\R} \; : \; x \mapsto g(f_1(x),\ldots ,f_p(x))\; .$$

\begin{itemize}
\item[i)] Supposons que $a \in {\R }^n$ est adh\'erent \`a $A$ et
que pour tout entier $1 \leq j \leq p$, on ait~:  $\displaystyle
\lim_{x \rightarrow a} f_j(x) =b_j $. Alors, $b= (b_1, \ldots
,b_p) $ est adh\'erent \`a $B$. Supposons aussi que  $\lim_{y
\rightarrow b} g(y) = l$. Alors, $ \displaystyle  \lim_{x
\rightarrow a} (g \circ f )(x) $ existe et vaut $l$. \item[i))] Si
$f$ est continue en $a \in A$ et si $g$ est continue en $f(a)$,
alors $g\circ f$ esr continue en $a$. \item[i)))] Si $f$ et $g$
sont continues, $g \circ f$ est continue.
\end{itemize}

\subsection{Trois r\'esultats sur les fonctions continues}

  
\begin{proposition}\label{piio}
Soit $f$ une fonction num\'erique d\'efinie et continue sur ${\R}^n$.
 \begin{enumerate}
\item Soit $U$  un ouvert de ${\R}$, alors $ \{ x \in {\R}^n \; ;\; f(x) \in U\} $
est un ouvert de ${\R}^n$.
\item Soit $F$  un ferm\'e de ${\R}$, alors $\{ x \in {\R}^n \; ;\; f(x) \in F\}$
est un ferm\'e de ${\R}^n$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

Signalons que ce r\'esultat est vrai sous la forme plus g\'en\'erale suivante
que nous ne devrions pas utiliser~:
 
 \begin{proposition}
Soit $f: A \rightarrow {\R} $ une fonction num\'erique d\'efinie sur un sous-ensemble
$A$ de ${\R}^n $ et continue.
\begin{enumerate}
\item Soit $U$ est   ouvert de ${\R}$, alors $\{ x \in A \; ;\; f(x) \in U\}$
est l'intersection de $A$ avec  un ouvert de ${\R}^n$.
\item Soit $F$   un ferm\'e de ${\R}$, alors $\{ x \in A \; ;\; f(x) \in F\}$
 est l'intersection de $A$ avec   un ferm\'e de ${\R}^n$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction polynomiale~:
$$ f : {\R}^2 \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2) \mapsto 2 x_1^2 + x_2^2 \; .$$
 L'ensemble $F = \{ 1 \} $ r\'eduit \`a un \'el\'ement   est un ferm\'e de ${\R}$, car son compl\'ementaire
${\R} -  \{ 1 \} = ] - \infty , 1 [ \cup   ] 1, \infty[ $ est un ouvert de ${\R}$.
D'une part, nous avons~:
$$ \begin{array}{ll}
\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; f( x_1,x_2 ) \in F \}&  = \quad  
  \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; f( x_1,x_2 ) \in  \{ 1 \} \}\; ,  \\
&  = \quad  
  \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 = 1   \}  \; . \end{array} $$
D'autre part,   $f$ est une fonction polynomiale, donc  d\'efinie sur ${\R}^2 $ et continue.
Il r\'esulte donc la proposition  \ref{piio},  que l'ensemble~: 
$$\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 = 1   \} $$
est un ferm\'e de  ${\R}^2$.\\

Consid\'erons la m\^eme fonction $f$ et le sous-ensemble $U= ]-\infty , 1[ $.
Nous avons~:
$$ \begin{array}{ll}
\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; f( x_1,x_2 ) \in U \}&  = \quad  
 \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; f( x_1,x_2 ) \in  ]-\infty , 1[ \}  \; , \\
&  = \quad  
  \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 < 1   \} \; . \end{array} $$
Comme $U$ est un sous-ensemble ouvert de $ {\bf R }$, l'ensemble~:
$$\{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 < 1   \} $$
 est   d'apr\`es la proposition \ref{piio} un ouvert 
de ${\R}^2$.

\begin{theoreme}\label{tmfcfb}
Soit $A$ un sous-ensemble ferm\'e et born\'e de ${\R}^n$ et
$f: A \rightarrow {\R}$ une fonction continue. Alors $f$ poss\`ede un maximum et un minimum
qui sont atteints~:
 \begin{enumerate}
\item[i)] il existe $M$ un r\'eel tel que pour tout $x$ dans $A$, nous ayons $f(x)\leq M$ et de plus,
il existe $n$-uplet $a$ dans $A$ tel que $f(a) = M$~;
\item[ii)]  il existe $m$ un r\'eel tel que pour tout $x$ dans $A$, nous ayons $m \leq f(x) $ et de plus,
il existe $n$-uplet $b$ dans $A$ tel que $f(b) = m$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}


\noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons l'ensemble~:
$$ A = \{ (x_1,x_2) \in {\R}^2 \; ;\; 2 x_1^2 + x_2^2 = 1   \} \; . $$
Nous avons montr\'e que c'est un ferm\'e de  ${\R}^2$.
Soit $ (x_1,x_2)\in A$.  Nous avons~:
$$ x_1^2 +   x_2^2     \leq     2 x_1^2 + x_2^2   = 1 \; .$$
Ainsi, $ x_1^2 +   x_2^2 \leq 1$ et  $(x_1,x_2) $ appartient \`a la boule de centre
l'origine et de rayon $1$. L'ensemble $A$,  contenu dans la boule de centre
l'origine et de rayon $1$, est donc born\'e. Consid\'erons alors l'application~:
$$h :  A \rightarrow {\R} \quad : \quad (x_1,x_2)  \rightarrow x_1$$
Cette application $h$ est continue, car c'est la restriction \`a $A$
d'une application   polynomiale et donc continue. Comme $A$ est un 
sous-ensemble ferm\'e et born\'e de ${\R}^2$, le th\'eor\`eme  \ref{tmfcfb}
nous assure que $f$ poss\`ede un maximum et un minimum qui sont tous les deux  atteints. \\
Nous allons au moyen d'un calcul direct d\'eterminer ces donn\'ees. Pour ce faire, commencons par  remarquer que 
si $ (x_1,x_2)\in A$ , $ 2 x_1^2 + x_2^2 = 1$ et donc
$ 2 x_1^2 \leq  1$. De la croissance de fonction $ x \mapsto x^2$ sur les r\'eels positifs,
il en r\'esulte que $ \displaystyle \mid x_1 \mid \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.  Ainsi pour tout
 $ (x_1,x_2)\in A$, nous avons~:
$$ - \frac{1}{\sqrt{2}} \leq h( x_1,x_2 ) \leq  \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 
Mais nous avons~:
 $$   (- \frac{1}{\sqrt{2}},0 ) \in A \quad {\rm  et} \quad  h (- \frac{1}{\sqrt{2}},0 ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
  $$   ( \frac{1}{\sqrt{2}},0 ) \in A \quad {\rm  et} \quad  h ( \frac{1}{\sqrt{2}},0 ) =  \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Donc $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ est un maximum de $h$ atteint en
$ \displaystyle (  \frac{1}{\sqrt{2}},0 )$ et $ \displaystyle  -\frac{1}{\sqrt{2}}$ est un minimum de $h$ atteint en
$ \displaystyle (- \frac{1}{\sqrt{2}},0 )$.


\newtheorem{tvi}[subsubsection]{Th\'eor\`eme (des valeurs interm\'ediaires)}  
\begin{tvi} \label{tvi} Soit $I \subset {\R} $ et $f : I \rightarrow {\R}$ continue. Soit $a<b$ deux r\'eels   avec 
$[a,b] \in I$. Alors $f$ prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$~:
pour tout $\gamma$ entre $f(a)$ et $f(b)$
il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = \gamma$.
\end{tvi}
 

\noindent {\bf Exemple :}  Consid\'erons la fonction~:
$$ f \; : \; {\R} \rightarrow {\R} \quad  : \quad 
x \mapsto \frac{2 - x^3}{x+ 1 } \; .$$
La fonction $f$ est une fraction rationelle. Elle est donc
continue sur son domaine de d\'efinition $  {\R} - \{ -1 \}$.
L'intervalle $[0,1]$  est contenu dans ${\R} - \{ -1 \}$.
Comme $f(0) =  2$ et $\displaystyle f(1)= \frac{1}{2}  $, il r\'esulte du th\'eor\`eme
\ref{tvi} que $f$ prend au moins toutes les valeurs comprises entre 
 $\displaystyle  \frac{1}{2}  $ et $2$.\\

Soit $J$ un intervalle de ${\R}$ et $g : J \rightarrow {\R}$ une fonction num\'erique
d'une variable. Rappelons que l'on dit que $g$ est strictement croissante sur $J$
si~:
$$ \forall x,   y \in J \quad , \quad x<y \Rightarrow f(x) < f(y) \; .$$
De m\^eme, $g$ est dite strictement d\'ecroissante si~:
 $$ \forall x,   y \in J \quad , \quad x < y \Rightarrow f(x)> f(y) \; .$$
La fonction $g$ est dite strictement monotone si elle est strictement croissante
ou strictement d\'ecroissante.

\begin{corollaire}
Soit $I \subset {\R} $ et $f : I \rightarrow {\R}$ continue. Soit $a<b$ deux r\'eels   avec 
$[a,b] \in I$. Supposons de plus que $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$. Alors pour tout 
r\'eel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique r\'eel $c$ dans l'intervalle
$[a,b]$ tel que $f(c)=k$. 
\end{corollaire}

 



 
