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%\def\preuve{\ifhmode\par\fi\noindent{\bf Preuve : }\ignorespaces}

 %\title{Licence de Sciences \'Economiques \\Math\'ematiques  L1    \\ Ann\'ee 2004-2005}

 % \begin{document}

%\maketitle
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%\tableofcontents
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\section{D\'eriv\'ees partielles d'une fonction  num\'erique}

\subsection{Compl\'ements sur les limites}

\begin{definition} Soit $ B \subset A$ deux sous-ensembles de ${\bf R}^n$ et $f: A \rightarrow {\bf R}$
une fonction d\'efinie sur $A$. On appelle restriction de $f$ \`a $B$ et on note $ f_{\mid B} $ l'application~:
$$ f_{\mid B} :  B \rightarrow {\bf R} \quad : \quad x \rightarrow f(x) \quad .$$
\end{definition}

 Soit $b$   un point adh\'erent \`a $B$. Lorsqu'elle existe on pourra noter
la limite de $ f_{\mid B} $  quand $x$ tend vers $b$~: 
$$ \lim_{x \rightarrow b ,x \in B }f(x) \quad .$$

\begin{proposition}\label{plr} Soit $B \subset A$ deux sous-ensembles de ${\bf R}^n$ et $f: A \rightarrow {\bf R}$
une fonction d\'efinie sur $A$. Soit $x_0$ un point adh\'erent \`a $B$ (donc \`a $A$).\\
 Si $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow  x_0} f(x) =l$, alors $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow b ,x \in B }f(x) $ existe et $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow b ,x \in B }f(x) = l  $~. 
\end{proposition}

\noindent {\bf Illustration :} Soit $f : {\bf R} \rightarrow {\bf R} \quad : \quad x \mapsto f(x)= x+1$. \\
Soit $B = {\bf R} -  \{ 2 \}$. Le r\'eel $2$ est bien adh\'erent \`a $B$. Comme $f$ est continue, car polynomiale~:
 $$  \lim_{x \rightarrow 2} f(x) = f(2) = 3 \quad ,$$
 ainsi~:
$$ \lim_{x \rightarrow 2 ,x \neq 2 }f(x) = 3 \quad .$$

\begin{proposition}\label{plnl} Soit   $f: A \rightarrow {\bf R}$ et  $g: B \rightarrow {\bf R}$
deux fonctions d\'efinies sur des sous-ensembles $A$ et $B$ de ${\bf R}^n$.  On suppose que $f=g$ sur un ouvert 
de ${\bf R}^n$ contenant un point $x_0$ (par exemple 
la boule $B(x_0,r)$  pour  un r\'eel $r>0$).
  Alors, $\displaystyle  \lim_{x \rightarrow  x_0} f(x)  $ existe si et seulement si
$\displaystyle  \lim_{x \rightarrow  x_0} g(x)  $ existe. Dans ce cas,  on a~:
$$\displaystyle  \lim_{x \rightarrow  x_0} f(x) =  \lim_{x \rightarrow  x_0} g(x)  $$ 
\end{proposition}

 

 


\subsection{D\'eriv\'ee d'une fonction  num\'erique d'une variable}

\begin{definition} Soit $I \subset {\bf R}$  et  $f:  I \rightarrow {\bf R}$
une fonction d\'efinie sur $I$. Soit   $x_0 \in I$. On dit que la fonction
$f$ est d\'erivable en $x_0$ si la fonction~:
$$ I - \{x_0\} \rightarrow {\bf R} \quad : \quad x \mapsto \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} $$
admet une limite quand $x$ tend vers $x_0$. Dans ce cas, la limite est appel\'ee
 la d\'eriv\'ee de $f$ en $x_0$ et not\'ee~:
$$ f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0,x \neq x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \quad .$$
\end{definition}

Nous notons $f'$ la fonction qui asocie \`a   un point $x$ o\`u $f$ est d\'erivable, le r\'eel   
 $f'(x)$   d\'eriv\'ee de $f$ en $x$. Cette fonction est appel\'ee la d\'eriv\'ee de $f$.\\

\noindent {\bf Exemple :} Soit $f : {\bf R} \rightarrow {\bf R} \quad : \quad x \mapsto f(x)= \mid x \mid$.\\
Pour $x>0$, $f(x)$ co\"{\i}ncide avec la fonction polynomiale $g$ d\'efinie par $g(x)= x$.\\
Soit $x_0 >0$, pour $x \neq x_0$ dans un petit intervalle ouvert contenant $x_0$, 
nous avons $x>0$ et donc~:
$$ \delta(x) = \frac{\mid x \mid  -  \mid x_0 \mid }{x-x_0}= \frac{x - x_0}{x-x_0} = 1$$
On en d\'eduit que $f$ est d\'erivable en $x_0$ et   $f'(x_0)=1$. De m\^eme pour
$x_0< 0$,  on montre que $f$ est   d\'erivable en $x_0$ et  $f'(x_0)=-1$.\\
Il reste \`a regarder si $f$ est d\'erivable en $x_0=0$.    Pour $x \neq 0$~:
$$ \frac{\mid x \mid  -  \mid x_0 \mid }{x-x_0} = \frac{\mid x \mid  }{x }$$
Or pour $x>0$, $\displaystyle   \frac{\mid x \mid  }{x } =1$ et pour $x<0$, 
$\displaystyle   \frac{\mid x \mid  }{x } = -1$, nous obtenons alors   en utilisant la proposition
\ref{plnl}~: 
$$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0,x>0} \frac{\mid x \mid  }{x } =1 \quad {\rm et} \quad
 \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0,x<0} \frac{\mid x \mid  }{x } = -1  \quad,$$
Ainsi,   
 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\mid x \mid  }{x } $ n'existe pas (car sinon
d'apr\`es la proposition \ref{plr} on aurait
 $1=-1$) et $f$ n'est donc pas d\'erivable en $0$.\\

Notons que plus g\'en\'eralement la notion de d\'eriv\'ee est locale. Si deux fonctions $f$ et $g$
co\"{\i}ncident sur un intervalle ouvert contenant $t$, alors $f$ d\'erivable en $t$ \'equivaut \`a $g$
d\'erivable en $t$. Dans ce cas, on a de plus~: $f'(t)=g'(t)$.\\

\noindent {\bf Compl\'ements~: d\'eriv\'ees \`a gauche et \`a droite}\\

Soit $f:I \rightarrow {\bf R}$ une fonction d\'efinie sur un sous-ensemble $I$ de 
${\bf R}$ et $x_0 \in I$. On suppose qu'il existe $\eta$ tel que $]x_0 - \eta , x_0] \subset I$
(resp. $[x_0, x_0 + \eta[$). On dit que $f$ est d\'erivable \`a gauche (resp. \`a droite) en $x_0$
si le restriction de $f$ \`a $]x_0 - \eta , x_0] $ (resp. $[x_0, x_0 + \eta[ $) est d\'erivable
en $x_0$. La d\'eriv\'ee de la restriction de $f$ \`a $]x_0 - \eta , x_0]$ (resp. $[x_0, x_0 + \eta[ $)
s'appelle la d\'eriv\'ee \`a gauche
(resp. \`a droite) et not\'ee $f'_g(x_0)$ (resp. $ f'_d(x_0) $)~:

$$ f'_g(x_0)= \lim_{x \rightarrow x_0,x<x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}  \quad {\rm et} \quad f'_d(x_0) = 
\lim_{x \rightarrow x_0,x>x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \; .$$
Si $f$ \`a une d\'eriv\'ee \`a gauche et \`a droite en $x_0$ et si   $f'_g(x_0) = f'_d(x_0) $,
la fonction $f$ est   d\'erivable en $x_0$ et $f'(x_0)=f'_g(x_0) = f'_d(x_0) $.\\

\noindent {\bf Op\'erations sur les fonctions d\'erivables :}\\

Soit $f: I \rightarrow {\bf R}$, $g: I \rightarrow {\bf R}$ deux fonctions d\'efinies
sur un sous-ensemble $I$ de ${\bf R}$. Soit $\lambda \in {\bf R}$ et $x_0 \in I$. 
Si $f$ et $g$ sont d\'erivables en $x_0$~:
$$\begin{array}{lll} f+g \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en}  x_0 & {\rm et} & (f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0) \; ,\\
\lambda f \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en}  x_0 & {\rm et} &  (\lambda f)'(x_0) =\lambda  f'(x_0)  \; ,\\
fg \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en}  x_0 & {\rm et} & (fg)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) +  f(x_0) g'(x_0) \; .
\end{array}$$
Si de plus, $f(x_0) \neq 0$~:\\
$$\begin{array}{lll} \displaystyle \frac {1}{f} \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en}  x_0 & {\rm et} & \displaystyle (\frac{1}{f})'(x_0) = - \frac{f'(x_0) }{f(x_0)^2}\; ,\\
\displaystyle \frac {g}{f} \; {\rm est \; d\acute{e}rivable \; en}  x_0 & {\rm et} & \displaystyle (\frac{g}{f})'(x_0) =  \frac{f(x_0)g'(x_0)-g(x_0)f'(x_0) }{f(x_0)^2}\; .
\end{array}$$


\noindent {\bf Exemple~:} Soit $n$ un entier et $a_0, \ldots,a_n$ des r\'eels. La fonction polynomiale~:
$$f : {\bf R} \rightarrow {\bf R} \quad : \quad x \mapsto a_0 x^n + a_1 x^{n-1}+ \cdots + a_n  $$
est d\'erivable pour tout $x$ r\'eel et $f'$ est la fonction polynomiale~:
$$f : {\bf R} \rightarrow {\bf R} \quad : \quad x \mapsto n a_0 x^{n-1} + (n-1)a_1 x^{n-2}+ \cdots + 2a_2x + a_1 \quad .$$


Soit $f: I \rightarrow {\bf R}$ et  $g: J \rightarrow {\bf R}$ deux fonctions d\'efinies
sur des sous-ensembles $I$ et $J$  de ${\bf R}$. Soit $x \in I$ tel que $f(x) \in J$.
Si $f$ est d\'erivable en $x$ et $g$ est d\'erivable en $f(x)$, alors $g \circ f$
est d\'erivable en $x$ et~:
$$ (g\circ f)' (x ) = f'(x ) \, g'(f(x )) \quad .$$



\noindent {\bf Exemple~:} La fonction $h :{\bf R} \rightarrow {\bf R} \; : \; x \mapsto {\rm ln}
(x^2 + x +1)$ est d\'efinie sur ${\bf R}$, car pour tout $x$ r\'eel $ x^2 + x +1 > 0 $.
Elle  est la compos\'ee $ g\circ f$ de la  fonction ~:
$$ f:{\bf R} \rightarrow {\bf R} \; : \; x \mapsto x^2 + x +1$$
par la fonction~: 
$$ g:{\bf R}^+ - \{ 0 \} \rightarrow {\bf R} \; : \; x \mapsto {\rm ln}
 x \quad .$$ 
Ces deux fonctions \'etant d\'erivables, $h$ est d\'erivable pour tout r\'eel $x$ et~:
$$ h'(x)=  f'(x)\,  g'(f(x)) = \frac{2x+1}{x^2+x+1} \quad .$$
 
\begin{proposition} Soit $f: I \rightarrow {\bf R}$ une 
fonction  d\'efinie sur un sous-ensemble  $I$ de ${\bf R}$  et $x_0 \in I$. Alors, 
 $f$ est d\'erivable en $x_0$  si et seulement s'il existe une fonction num\'erique
$\epsilon$ d'une variable avec $ \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \epsilon  (h) = 0$ telle que~:  
 $$   {\rm pour} \;  h \in {\bf R} \; {\rm tel \; que } \; x_0 + h \in I \; : \;
f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0) h + \epsilon(h) \, h \quad . $$
 \end{proposition}

Ainsi, pour $h$ voisin de $0$, $f(x_0+h)$ est proche  de $f(x_0) + f'(x_0) h$.

\begin{proposition} Soit $f: I \rightarrow {\bf R}$ une 
fonction  d\'efinie sur un sous-ensemble  $I$ de ${\bf R}$.    Si $f$ est d\'erivable en
$x_0 \in I$ alors $f$ est continue en $x_0$.
\end{proposition}

\preuve Par d\'efinition de la d\'eriv\'ee, la fonction~:
$$\delta : I \rightarrow {\bf R} \quad : \quad x \mapsto 
\delta (x) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &\; {\rm si} \; x \neq x_0 \; , \\
f'(x_0) &\;  {\rm si} \; x = x_0 \, .\end{array} \right.$$
est continue en $x_0$.  Or pour tout $x \in I$, $f(x)= f(x_0) + \delta(x) (x - x_0)$.
Ainsi, $f$ est continue en $x_0$ comme somme et produit de telles fonctions.\\

On appelle d\'eriv\'ee seconde d'une fonction num\'erique d'une seule variable $f$
et on note $f''$ la d\'eriv\'ee de la fonction $f'$. Plus g\'en\'eralement, la d\'eriv\'ee
$p^{i\grave{e}me}$ de $f$, not\'ee $f^{(p)}$ est la d\'eriv\'ee de la fonction
$f^{(p-1)}$. 
 

\subsection{D\'eriv\'ees  partielles}

\begin{definition} Soit 
 $f : \Omega \rightarrow {\bf R} \; : \;  (x_1, \ldots ,x_n) \rightarrow  f(x_1,\ldots ,x_n)$ 
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\bf R}^n$.\\
 Soit $a=(a_1, \ldots ,a_n) \in \Omega$.
On dit que $f$ admet une d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x_i$ en $a$ si la fonction~:
$$ {\bf R} \rightarrow {\bf R} \; : \; x_i \mapsto f(a_1, \ldots , a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)$$
est d\'erivable en $a_i$. Cette d\'eriv\'ee est appel\'ee la d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a
$x_i$ de $f$ en $a$ et not\'ee~: 
$$ \frac{\partial f}{\partial x_i} (a) \quad .$$
\end{definition}
Autrement dit,  la d\'eriv\'ee partielle $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i} (a)$
est la limite~:
$$ \lim_{x \rightarrow a_i,x\neq a_i} 
\frac{f(a_1, \ldots , a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, \ldots, a_n) - f(a_1, \ldots , a_{i-1}, a_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)}{x- a_i}$$
Nous notons $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i} $
 la fonction qui associe \`a   un point $x=(x_1, \ldots ,x_n) \in \Omega$ o\`u $f$ est d\'erivable par rapport \`a $x_i$, le r\'eel   
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$   d\'eriv\'ee partielle
par rapport \`a $x_i$ de $f$ en $x$. Cette fonction est appel\'ee  la d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a
$x_i$ de $f$. \\

\noindent {\bf R\`egle :} Pour d\'eterminer $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1, \ldots ,x_n)$,
il suffit de d\'eriver  la fonction d'une variable obtenue \`a partir de $f$ en 
fixant $x_1, \ldots, x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n$.\\

Lorsque $n=1$, la d\'eriv\'ee partielle relativement \`a la seule variable $x$ n'est autre que la d\'eriv\'ee
usuelle.\\


La notion de d\'eriv\'ees partielles est une notion locale. Si deux fonctions num\'eriques $f$ et $g$
co\"{\i}ncident sur un ouvert de ${\bf R}^n$  contenant $x$, alors $f$ admet  un d\'eriv\'ee partielle par
rapport \`a la variable $x_i$ si et seulement si $g$ admet  un d\'eriv\'ee partielle par
rapport \`a la variable $x_i$. Dans ce cas, on a de plus~:


~: 
$$ \frac{\partial f}{\partial x_i} (x)= \frac{\partial g}{\partial x_i} (x) \quad .$$


\noindent {\bf Exemple :} Consid\'erons la fonction polynomiale~:
$$ {\bf R}^3 \rightarrow {\bf R} \; : \; (x_1,x_2,x_3) \mapsto x_1^2 + x_2^2  + x_3^2  + x_1x_2+ x_1x_3+ x_2x_3 \quad .$$
Elle admet des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a chacune des trois variables en tous les points, car lorsque
l'on fixe deux variables, la fonction d'une variable obtenue est polynomiale. Nous obtenons~:
$$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3) = 2x_1 + x_3 + x_2 \; ,\\
\displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2,x_3) = 2x_2  + x_1 + x_3 \; , \\
\displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_3}(x_1,x_2,x_3) = 2x_3  + x_1 + x_2 \; .  \end{array} \right.$$
Plus g\'en\'eralement, les fonctions polynomiales admettent des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a toutes les
variables et ces d\'eriv\'ees partielles  sont encore des fonctions polynomiales.\\
 \\
\noindent {\bf Exemple d'une fonction non continue admettant des d\'eriv\'ees partielles~:} Consid\'erons la fonction~:
$$ {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R} \; : \; (x,y) \mapsto 
\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle  \frac{xy}{x^2+y^2} & {\rm si} \quad (x,y)\neq (0,0) \; ,\\
0 & {\rm si} \quad  (x,y)= (0,0)\; .\end{array} \right.  $$
Pour tout $x$ r\'eel, on a donc $f(x,0) = 0$.
La fonction d'une variable~:
$$ x \mapsto f(x,0) =0 $$
 est d\'erivable de d\'eriv\'ee la fonction nulle. Ainsi, pour tout $x\in {\bf R}$,
$f$ admet une d\'eriv\'ee partielle   par rapport \`a $x$ en $(x,0)$ et
$ \displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x}(x,0) =0 \quad $.
De m\^eme, pour tout $y\in {\bf R}$,
$f$ admet une d\'eriv\'ee partielle   par rapport \`a $y$ en $(0,y)$ et 
$ \displaystyle   \frac{\partial f}{\partial y}(0,y) =0 \quad $.
Donc, $f$ admet des d\'eriv\'ees partielles en $(0,0)$ par rapport \`a $x$ et $y$.\\

Nous allons montrer   par contre  que $f$ n'est pas continue en $(0,0)$. En effet sinon, il existerait un
r\'eel $l$ tel que $ \displaystyle \lim_{ (x,y)  \rightarrow (0,0) } f(x,y) = l \; . $ 
Consid\'erons alors la  fonction  continue~:
 $$a : {\bf R} \rightarrow {\bf R} \; : \; t \mapsto a(t) = t $$
D'une part, $ \displaystyle  \lim_{t\rightarrow 0} a(t)= a(0) =0$. Par composition des limites, nous aurions alors~:
$$ \lim_{t\rightarrow 0} f(a(t),a(t))= l \; .$$  Comme pour $t\neq 0$,  $f(a(t),a(t))= f(t,t)= 1/2$,
nous obtiendrons $l =1/2$. D'autre part,  nous avons aussi
$ \displaystyle  \lim_{t\rightarrow 0} -a(t)= -a(0) =0$. Par composition des limites, nous aurions alors~:
$$ \lim_{t\rightarrow 0} f(a(t),-a(t))= l \; .$$  Comme pour $t\neq 0$,  $f(a(t),-a(t))= f(t,-t)= -1/2$,
nous obtiendrons $l =-1/2$.\\
 Ainsi, $f$ n'est pas continue en $(0,0)$.\\

\noindent {\bf Op\'erations sur les   d\'eriv\'ees partielles :}\\

Soit $f: \Omega \rightarrow {\bf R}$, $g: \Omega \rightarrow {\bf R}$ deux fonctions d\'efinies
sur un ouvert  $\Omega $ de ${\bf R}^n$. Soit $\lambda \in {\bf R}$ et $x_0 \in \Omega$. 
Si $f$ et $g$ admettent des d\'eriv\'ees partielles en $x$ relativement \`a la variable $x_i$, 
il en est de m\^eme des fonctions $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ et nous avons~:
$$ \begin{array}{l}
  \displaystyle \frac{\partial (f+g)}{\partial x_i}(x) =  \frac{\partial f }{\partial x_i}(x) +  \frac{\partial g}{\partial x_i}(x) \quad , \\
 \displaystyle \frac{\partial \lambda f }{\partial x_i}(x) =   \lambda \frac{\partial f }{\partial x_i}(x) 
\quad , \\
\displaystyle \frac{\partial fg}{\partial x_i}(x) =  \frac{\partial f }{\partial x_i}(x) g(x) +  f(x) \frac{\partial g}{\partial x_i}(x) \quad .
  \end{array}$$
 Si de plus $f(x ) \neq 0$, les fonctions $1/f$ et $g/f$ admettent des d\'eriv\'ees partielles en $x$ relativement \`a la variable $x_i$ et nous avons~:
$$ \begin{array}{l}
 \displaystyle  \frac{\partial ( \displaystyle \frac{1}{f})}{\partial x_i}(x) = -\frac{ \displaystyle
\frac{\partial f }{\partial x_i}(x)}{f(x)^2}\\
\displaystyle  \frac{\partial ( \displaystyle \frac{g}{f})}{\partial x_i}(x) =  \frac{ \displaystyle
 \frac{\partial g }{\partial x_i}(x)f(x)  - g(x ) \frac{\partial f }{\partial x_i}(x)}{f(x)^2}
\end{array}$$ 

\noindent {\bf Exemple de cons\'equences~:} Les fonctions rationelles ademettent des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a toutes les variables aux points o\`u elles sont d\'efinies. \\



Donnons quelques r\'esultats sur l'existence et le calcul des d\'eriv\'ees partielles
d'une fonction compos\'ee. \\

Consid\'erons tout d'abord   une fonction
  $g : {\bf R}  \rightarrow {\bf R}$ d'une variable    admettant une d\'eriv\'ee     sur ${\bf R}$. Soit $f :
\Omega \rightarrow {\bf R} \; , \; (x_1,\ldots ,x_n) \mapsto f(x_1,\ldots ,x_n) $ une fonction   d\'efinie  sur un ouvert
$\Omega$ de ${\bf R}^n$   
admettant des d\'eriv\'ees partielles. Il r\'esulte des r\'esultats sur les d\'eriv\'ees
de fonction d'une variable que 
  la fonction~:
$$ h : \Omega \rightarrow {\bf R} \; : \; (x_1,\ldots ,x_n) \mapsto g( f(x_1,\ldots ,x_n) )$$
admet des  d\'eriv\'ees partielles  et pour tout $1\leq i \leq n$~:
$$ \frac{\partial h }{\partial x_i}(x_1,\ldots ,x_n) =  \frac{\partial f }{\partial x_i}(x_1,\ldots ,x_n)   g'(f(x_1,\ldots ,x_n) ) \; .$$

Le cas g\'en\'eral est plus compliqu\'e et demande des hypoth\`eses
plus fortes que les simples hypoth\`eses d'existence de certaines d\'eriv\'ees partielles.


\begin{proposition}
Soit $\Omega$ un ouvert de ${\bf R}^n$   et  $f$ la fonction de $ \Omega \rightarrow {\bf R}^p$ d\'efinie par~:
$ \displaystyle (x_1, \ldots ,x_n) \mapsto (y_1, \ldots ,y_p) = 
(f_1 (x_1, \ldots ,x_n), \ldots ,f_p (x_1, \ldots ,x_n)) \quad .$\\
On suppose que les fonctions num\'eriques $f_j$, $1\leq j \leq n$, admettent des d\'eriv\'ees partielles continues
sur $\Omega$ relativement \`a toutes les variables $x_1, \ldots , x_n$.\\
Soit $U$ un ouvert de  ${\bf R}^p$ et $g : U \rightarrow {\bf R}$ d\'efinie par~:
$\displaystyle (y_1, \ldots ,y_p) \mapsto g (y_1, \ldots ,y_p) \quad .$\\
On suppose que $g$ admet  des d\'eriv\'ees partielles continues
sur $U$ relativement \`a toutes les variables $y_1, \ldots , y_p$.\\
 On suppose enfin que pour tout $x \in \Omega $, $ f(x) \in U$. Alors la fonction~:
$$g\circ f : \Omega \rightarrow {\bf R} \quad ; \quad g \circ f (x_1, \ldots ,x_n) =
g (f_1 (x_1, \ldots ,x_n), \ldots ,f_p (x_1, \ldots ,x_n))$$
est d\'efinie sur $\Omega$ et admet des d\'eriv\'ees partielles continues
en tout point de $\Omega$ relativement \`a toutes les variables $x_1, \ldots , x_n$.\\
De plus,  pour  tout $1\leq j \leq n$ et tout  $x= (x_1, \ldots ,x_n) \in \Omega$, on a~:
$$  \frac{\partial ( g \circ f) }{\partial x_i}(x) =
\sum_{j=1}^p    
\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x) \frac{ \partial g }{\partial y_j}(f_1 (x), \ldots ,f_p (x ))\quad . $$
\end{proposition}

Reformulons cette proposition dans un  cas particulier.\\

 Consid\'erons une fonction
  $g : {\bf R}^p \rightarrow {\bf R}$ d\'efinie sur ${\bf R}^p $ par~:
$$ (y_1, \ldots ,y_p) \mapsto g (y_1, \ldots ,y_p) $$
et admettant des d\'eriv\'ees partielles continues
sur ${\bf R}^p$.
Soit~: 
$$f_1, \ldots ,f_p : I \rightarrow {\bf R}$$
 des fonctions d'une variable  
admettant des d\'eriv\'ees continues sur un intervalle ouvert $I$. Alors la fonction~:
$$ h : I \rightarrow {\bf R} \; : \; t \mapsto g(f_1(t), \ldots ,f_p(t))$$
est d\'erivable sur $I$ et pour tout $t \in I$~:
$$ h'(t)= \sum_{j=1}^p f_j'(t) \frac{ \partial g }{\partial y_j}(f_1 (t), \ldots ,f_p (t )) \quad .$$

 %Consid\'erons une fonction
 % $g : {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R}$ d\'efinie sur ${\bf R}^2 $ par~:
%$$ (y_1, y_2) \mapsto g (y_1,  y_2) $$
%et admettant des d\'eriv\'ees partielles continues
%sur ${\bf R}^2$.\\
%Soit $f_1,  f_2 : \Omega \rightarrow {\bf R}$ des fonctions  d\'efinies sur un ouvert
%$\Omega$ de ${\bf R}^3$ et 
%admettant des d\'eriv\'ees partielles continues. Alors la fonction~:
%$$ h : \Omega \rightarrow {\bf R} \; : \; (x_1,x_2,x_3) \mapsto g(f_1(x_1,x_2,x_3)  ,f_2(x_1,x_2,x_3)$$
%admet des d\'eriv\'ees partielles relativement \`a $x_1,x_2,x_3$. On a par exemple,
%pour tout  $x=(x_1,x_2,x_3) \in \Omega$~:
 %$$ \frac{\partial h }{\partial x_3} (x_1,x_2,x_3) =
  %   \frac{\partial f_1}{\partial x_3}(x) \frac{ \partial g}{\partial y_1} (f_1 (x ), f_2 (x )) +  \frac{\partial f_2 %}{\partial x_3}(x)  \frac{ \partial g}{\partial y_2}
%( f_1 (x ), f_2 (x ) ) \; .$$

\begin{proposition} Soit 
 $f : \Omega \rightarrow {\bf R} \; : \;  (x_1, \ldots ,x_n) \mapsto  f(x_1,\ldots ,x_n)$ 
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\bf R}^n$. On suppose   que les
d\'eriv\'ees partielles de $f$ existent  sur $\Omega$  et sont continues au point
 $a =(a_1, \ldots ,a_n) \in \Omega$. \begin{itemize}
\item[1)]  Alors $f$ est continue en $a$. 
 \item[2)] Il existe une fonction num\'erique de $n$ variables $\epsilon$  avec
$$\lim_{ (h_1, \ldots ,h_n) \rightarrow 0} \epsilon (h_1, \ldots ,h_n)  = 0 $$ 
telle que pour tout
 $(h_1, \ldots ,h_n)$ v\'erifiant $(x_1+h_1, \ldots ,x_n+h_n) \in  \Omega$, on ait~:
$$ f(a_1+h_1, \ldots ,a_n+h_n) = f(a ) + \sum_{i=1}^n  \frac{\partial f }{\partial x_i}(a )h_i
+ \epsilon (h_1, \ldots ,h_n) \sqrt{\sum_{i=1}^n h_i^2}$$
\end{itemize}
\end{proposition}

Autement dit pour  $(h_1, \ldots ,h_n)$ petit, $f(a_1+h_1, \ldots ,a_n+h_n)$ est proche de~:
$$ f(a ) + \sum_{i=1}^n  \frac{\partial f }{\partial x_i}(a )h_i \quad .$$
 
\begin{definition}Soit 
 $f : \Omega \rightarrow {\bf R} \; : \;  (x_1, \ldots ,x_n) \mapsto  f(x_1,\ldots ,x_n)$ 
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\bf R}^n$. On suppose   que les
d\'eriv\'ees partielles de $f$ existent  sur $\Omega$  et sont continues au point $a =(a_1, \ldots ,a_n) \in \Omega$.
L'application~:
$$  {\bf R}^n \stackrel{Df(a)}{\longrightarrow }{\bf R} \quad : \quad
(h_1, \ldots h_n) \mapsto \sum_{i=1}^n  \frac{\partial f }{\partial x_i}(a )h_i $$
est appel\'ee la diff\'erentielle (totale) de $f$ en $a$.
\end{definition}
 
Soit 
 $f : \Omega \rightarrow {\bf R} \; : \;  (x_1, \ldots ,x_n) \mapsto  f(x_1,\ldots ,x_n)$ 
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\bf R}^n$. Supposons que   la
d\'eriv\'ee  partielle  de $f$ existe par rapport \`a $x_i$ existe en tout point de $\Omega$.
Si elle existe, nous notons alors~:
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial x_j \partial x_i}(x)$$
  la d\'eriv\'ee partielle par rapport \`a $x_j$
de la fonction $\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x_i}$ en $x$. La fonction
$\displaystyle  \frac{\partial ^2 f }{\partial x_j \partial x_i}$ est appel\'e d\'eriv\'ee partielle d'ordre deux.\\

Par it\'eration, on d\'efinit les d\'eriv\'ees partielles d'ordre $k \geq 3$ d'une fonction num\'erique de
plusieurs variables.

\subsection{Quelques r\'esultats}
 
\newtheorem{tts}[subsubsection]{Th\'eor\`eme de Schwarz}  
\begin{tts}
Soit 
 $f : \Omega \rightarrow {\bf R} \; : \;  (x_1, \ldots ,x_n) \mapsto  f(x_1,\ldots ,x_n)$ 
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\bf R}^n$. Supposons que  
les d\'eriv\'ees partielles $ \displaystyle \frac{\partial ^2 f }{\partial x_j \partial x_i} $ existent sur $\Omega$ pour $1\leq i,j \leq n$
et sont continues, alors $1\leq i,j \leq n$~:
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial ^2 f }{\partial x_i \partial x_j} \quad .$$
\end{tts}

\noindent {\bf Contre-exemple sans l'hypoth\`ese de continuit\'e:}   Consid\'erons la fonction~:
$$ {\bf R}^2 \rightarrow {\bf R} \; : \; (x,y) \mapsto 
\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle  \frac{xy (x^2 - y^2)}{x^2+y^2} & {\rm si} \quad (x,y)\neq (0,0) \; ,\\
0 & {\rm si} \quad  (x,y)= (0,0)\; .\end{array} \right.  $$
En dehors de  $(0,0)$, $f$ co\"{\i}ncide avec la fraction rationelle
$ \displaystyle  \frac{xy (x^2 - y^2)}{x^2+y^2}$ d\'efinie sur l'ouvert  ${\bf R}^2 -(0,0)$.
Ainsi, $f$ admet en dehors de l'origine des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a $x$ et $y$.
On a~:
$$ \forall (x,y) \neq (0,0) \quad , \quad  \frac{\partial f }{\partial x }(x,y) = 
\frac{(x^2+y^2)y(3x^2- y^2 )- 2x^2y(x^2- y^2)  }{(x^2+y^2)^2}$$
$$ \forall (x,y) \neq (0,0) \quad , \quad  \frac{\partial f }{\partial y }(x,y)= 
\frac{(x^2+y^2)x( x^2- 3y^2 )- 2x y^2(x^2- y^2)  }{(x^2+y^2)^2}$$
Comme pour tout $x$ r\'eel $f(x,0)=0$, par d\'efinition des d\'eriv\'ees  partielles nous obtenons~:
$$ \frac{\partial f }{\partial x }(0,0) = 0 \quad .$$
Et de m\^eme, pour tout $y$ r\'eel $f(0,y)=0$ et   $ \displaystyle \frac{\partial f }{\partial y}(0,0) =0$.\\
Nous avons alors par d\'efinition~:
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial y \partial x }(0,0)
= \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ \frac{\partial f }{\partial x }(0,y) - \frac{\partial f }{\partial x }(0,0) }{y}
= \lim_{y \rightarrow 0} \frac{ -y^5 }{y^5} = -1  $$
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial x \partial y }(0,0)
= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{\partial f }{\partial y }(x,0) - \frac{\partial f }{\partial y }(0,0) }{y}
= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ x^5 }{x^5} =  1  $$
 Ainsi~:
$$  \frac{\partial ^2 f }{\partial y \partial x }(0,0) \neq  \frac{\partial ^2 f }{\partial x \partial y }(0,0)
\quad .$$ 
On peut noter que sur l'ouvert ${\bf R}^2 -(0,0)$ les d\'eriv\'ees
partielles d'ordre $2$ de $f$ existent et sont continues (car sur l'ouvert  $ {\bf R}^2 -(0,0) $
$f$ co\"{\i}ncide avec une fraction rationelle d\'efinie). Le thg\'eor\`eme de Schwarz donne quand m\^eme~;
$$ \forall (x,y) \in {\bf R}^2 -(0,0) \; : \; 
\frac{\partial ^2 f }{\partial y \partial x }(x,y) =  \frac{\partial ^2 f }{\partial x \partial y }(x,y)
\quad .$$

\noindent {\bf Extremums locaux d'une fontion num\'erique :}\\

Soit $A$ un sous-ensemble de ${\bf R}^n$ et $f:A \rightarrow {\bf R}$. On dit que $f$
admet un maximum absolu (ou global) au point $a$ si pour tout $x\in A$~: $f(x) \leq f(a)$. \\
On dit que $f$ admet un maximum relatif (ou local) au point $a$ s'il existe un ouvert $V$
de ${\bf R}^n$ contenant $a$ tel que pour tout $x\in  A \cap V$~: $f(x) \leq f(a)$. \\

On d\'efinit de m\^eme en rempla\c{c}ant $\leq$ par $\geq$ les notions de minimum absolu 
et relatif. Par extremum, on entend minimum ou maximum.

\begin{proposition} Soit $A \subset {\bf R}^n$, $a \in A$ et 
$$f : A \rightarrow {\bf R} \quad , \quad x= (x_1, \ldots ,x_n) \mapsto f(x_1, \ldots ,x_n)$$
On suppose qu'il existe un ouvert $U$ de ${\bf R}^n$ contenant $a$ et contenu dans $A$
(par exemple une boule ouverte $B(a,r)$ de centre $a$ de rayon $r>0$ petit) et on suppose que $f$ admet 
des d\'eriv\'ees  partielles sur $U$. Alors si $f$ poss\`ede un extremum local an $a$, nous avons~
$$ \forall i \in \{1, \ldots ,n\} \quad , \quad \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)= 0 \quad .$$
\end{proposition}

\noindent {\bf Preuve :} Supposons par exemple que $a$ soit un maximum local.  Pour $h$ r\'eel petit non nul
 le taux d'accroissement~:
$$ \frac{f(a_1, \ldots ,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1},\ldots ,a_n) - f(a_1, \ldots ,a_n)}{h}$$
est du signe de $-h$. Sa limite quand $h$ tend vers z\'ero est 
$\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)$. D'apr\'es la proposition \ref{plr}, on en d\'eduit~:
$$ \lim_{h\rightarrow 0,h>0} \frac{f(a_1, \ldots ,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1},\ldots ,a_n) - f(a_1, \ldots ,a_n)}{h}
=
\frac{\partial f }{\partial x_i}(a) \quad .$$
Il en r\'esulte que $\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)$ est n\'egatif ou nul.
De m\^eme en  consid\'erant $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0,h>0}$, on obtient
 que $\displaystyle \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)$ est positif ou nul. D'o\`u~:
$$\frac{\partial f }{\partial x_i}(a)= 0 \quad .  $$ 

\begin{definition} 
 $f : \Omega \rightarrow {\bf R} \; : \;  (x_1, \ldots ,x_n) \rightarrow  f(x_1,\ldots ,x_n)$ 
une fonction num\'erique d\'efinie sur $\Omega$  sous-ensemble ouvert de ${\bf R}^n$. 
On appelle point critique de $f$ un point $x=  (x_1, \ldots ,x_n) $ de $\Omega$  tel que~:
$$\frac{\partial f }{\partial x_1}(x) = \cdots =\frac{\partial f }{\partial x_n}(x) = 0 $$
\end{definition}

\noindent {\bf Exemple :} Soit $A = \{ (x_1,x_2) \in {\bf R}^2 \; ; \; x_1^2+x_2^2\leq 2 \}$ et 
$f : A \rightarrow {\bf R}$, la fonction d\'efinie par~:
$$ (x_1,x_2) \mapsto x_1^2 + 2 x_2^2 + x_1x_ 2 - 5 x_1 - 6x_ 2 \; .$$
Cette fonction $f$ est la restriction \`a $A$ d'une fonction polynomiale. Elle est donc continue.
L'ensemble $A$ est born\'ee par d\'efinition.  Consid\`erons l'application polynomiale
(donc continue)~:
$$g :{\bf R} \rightarrow {\bf R} \; , \;   
  (x_1,x_2) \mapsto x_1^2 +   x_2^2 \; . $$
Nous remarquons que $A = \{ (x_1,x_2) \in {\bf R}^2 \; ; \; g (x_1,x_2)  \in [0,2] \}$. Comme
$[0,2]$ est un ensemble ferm\'e dans ${\bf R}$, il r\'esulte de la proposition \ref{piio}
que $A$ est un ferm\'e de ${\bf R}^2$. Ainsi, $A$ est ferm\'e et born\'e, il r\'esulte
du th\'eor\`eme \ref{tmfcfb} que $f$ admet un maximum et un minimum.
Si un extremum est atteint en un point $a= (a_1,a_2 )$
de la boule ouverte~:
  $$B(0,\sqrt{2}= 
\{ (x_1,x_2) \in {\bf R}^2 \; ; \; x_1^2+x_2^2 = 2 \} \quad ,$$
comme $f$ admet des d\'eriv\'ees partielles sur $B(0,\sqrt{2})$ 
le point $a$  serait un point critique de $f$, donc le point $a=(a_1,a_2) $ v\'erifient~:
$$\begin{array}{l}
 2x_1+x_2+5=0 \\x_1+4x_2-6=0 \quad .
\end{array}$$
Or ce syst\`eme lin\'eaire a une unique solution $(2,1)$ qui n'est pas dans $B(0,\sqrt{2})$.
On peut ainsi conclure que $f$ a bien un maximum et minimum et que ces valeurs sont atteintes sur
le bord de $A$~:
$$ \{ (x_1,x_2) \in {\bf R}^2 \; ; \; x_1^2+x_2^2 = 2 \} \quad .  $$



 %\end{document}

 

 

 

 